Álgebra Exemplos

$\frac{4 x^{5} + 17 x^{4} - 16 x^{3} - 5 x^{2} + x}{4 x^{2} + 21 x + 5}$

Etapa 1

Divida usando a divisão polinomial longa.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$4 x^{2}$

$21 x$

$5$

$4 x^{5}$

$17 x^{4}$

$16 x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$0$

Etapa 1.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $4 x^{5}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $4 x^{2}$ .

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$21 x$

$5$

$4 x^{5}$

$17 x^{4}$

$16 x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$0$

Etapa 1.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$21 x$

$5$

$4 x^{5}$

$17 x^{4}$

$16 x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$0$

$4 x^{5}$

$21 x^{4}$

$5 x^{3}$

Etapa 1.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $4 x^{5} + 21 x^{4} + 5 x^{3}$ .

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$21 x$

$5$

$4 x^{5}$

$17 x^{4}$

$16 x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$0$

$4 x^{5}$

$21 x^{4}$

$5 x^{3}$

Etapa 1.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$21 x$

$5$

$4 x^{5}$

$17 x^{4}$

$16 x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$0$

$4 x^{5}$

$21 x^{4}$

$5 x^{3}$

$4 x^{4}$

$21 x^{3}$

Etapa 1.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$21 x$

$5$

$4 x^{5}$

$17 x^{4}$

$16 x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$0$

$4 x^{5}$

$21 x^{4}$

$5 x^{3}$

$4 x^{4}$

$21 x^{3}$

$5 x^{2}$

Etapa 1.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 4 x^{4}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $4 x^{2}$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$4 x^{2}$

$21 x$

$5$

$4 x^{5}$

$17 x^{4}$

$16 x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$0$

$4 x^{5}$

$21 x^{4}$

$5 x^{3}$

$4 x^{4}$

$21 x^{3}$

$5 x^{2}$

Etapa 1.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$x^{3}$

$x^{2}$

$4 x^{2}$

$21 x$

$5$

$4 x^{5}$

$17 x^{4}$

$16 x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$0$

$4 x^{5}$

$21 x^{4}$

$5 x^{3}$

$4 x^{4}$

$21 x^{3}$

$5 x^{2}$

$4 x^{4}$

$21 x^{3}$

$5 x^{2}$

Etapa 1.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 4 x^{4} - 21 x^{3} - 5 x^{2}$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$4 x^{2}$

$21 x$

$5$

$4 x^{5}$

$17 x^{4}$

$16 x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$0$

$4 x^{5}$

$21 x^{4}$

$5 x^{3}$

$4 x^{4}$

$21 x^{3}$

$5 x^{2}$

$4 x^{4}$

$21 x^{3}$

$5 x^{2}$

Etapa 1.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$x^{3}$

$x^{2}$

$4 x^{2}$

$21 x$

$5$

$4 x^{5}$

$17 x^{4}$

$16 x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$0$

$4 x^{5}$

$21 x^{4}$

$5 x^{3}$

$4 x^{4}$

$21 x^{3}$

$5 x^{2}$

$4 x^{4}$

$21 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0$

Etapa 1.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$x^{3}$

$x^{2}$

$4 x^{2}$

$21 x$

$5$

$4 x^{5}$

$17 x^{4}$

$16 x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$0$

$4 x^{5}$

$21 x^{4}$

$5 x^{3}$

$4 x^{4}$

$21 x^{3}$

$5 x^{2}$

$4 x^{4}$

$21 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0$

$x$

$0$

Etapa 1.12

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$x^{3} - x^{2} + \frac{x}{4 x^{2} + 21 x + 5}$

Etapa 2

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 4 \cdot 5 = 20$ e cuja soma é $b = 21$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.1

Fatore $21$ de $21 x$ .

$\frac{x}{4 x^{2} + 21 (x) + 5}$

Etapa 2.1.1.2

Reescreva $21$ como $1$ mais $20$

$\frac{x}{4 x^{2} + (1 + 20) x + 5}$

Etapa 2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x}{4 x^{2} + 1 x + 20 x + 5}$

Etapa 2.1.1.4

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{x}{4 x^{2} + x + 20 x + 5}$

Etapa 2.1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{x}{(4 x^{2} + x) + 20 x + 5}$

Etapa 2.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{x}{x (4 x + 1) + 5 (4 x + 1)}$

Etapa 2.1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $4 x + 1$ .

$\frac{x}{(4 x + 1) (x + 5)}$

Etapa 2.2

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $A$ .

$\frac{A}{4 x + 1}$

Etapa 2.3

$\frac{A}{4 x + 1} + \frac{B}{x + 5}$

Etapa 2.4

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $(4 x + 1) (x + 5)$ .

$\frac{x (4 x + 1) (x + 5)}{(4 x + 1) (x + 5)} = \frac{(A) (4 x + 1) (x + 5)}{4 x + 1} + \frac{(B) (4 x + 1) (x + 5)}{x + 5}$

Etapa 2.5

Cancele o fator comum de $4 x + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x (4 x + 1) (x + 5)}{(4 x + 1) (x + 5)} = \frac{(A) (4 x + 1) (x + 5)}{4 x + 1} + \frac{(B) (4 x + 1) (x + 5)}{x + 5}$

Etapa 2.5.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x (x + 5)}{x + 5} = \frac{(A) (4 x + 1) (x + 5)}{4 x + 1} + \frac{(B) (4 x + 1) (x + 5)}{x + 5}$

Etapa 2.6

Cancele o fator comum de $x + 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x (x + 5)}{x + 5} = \frac{(A) (4 x + 1) (x + 5)}{4 x + 1} + \frac{(B) (4 x + 1) (x + 5)}{x + 5}$

Etapa 2.6.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{(A) (4 x + 1) (x + 5)}{4 x + 1} + \frac{(B) (4 x + 1) (x + 5)}{x + 5}$

Etapa 2.7

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.1

Cancele o fator comum de $4 x + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.1.1

Cancele o fator comum.

$x = \frac{A (4 x + 1) (x + 5)}{4 x + 1} + \frac{(B) (4 x + 1) (x + 5)}{x + 5}$

Etapa 2.7.1.2

Divida $(A) (x + 5)$ por $1$ .

$x = (A) (x + 5) + \frac{(B) (4 x + 1) (x + 5)}{x + 5}$

Etapa 2.7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x = A x + A \cdot 5 + \frac{(B) (4 x + 1) (x + 5)}{x + 5}$

Etapa 2.7.3

Mova $5$ para a esquerda de $A$ .

$x = A x + 5 \cdot A + \frac{(B) (4 x + 1) (x + 5)}{x + 5}$

Etapa 2.7.4

Cancele o fator comum de $x + 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.4.1

Cancele o fator comum.

$x = A x + 5 A + \frac{(B) (4 x + 1) (x + 5)}{x + 5}$

Etapa 2.7.4.2

Divida $(B) (4 x + 1)$ por $1$ .

$x = A x + 5 A + (B) (4 x + 1)$

Etapa 2.7.5

Aplique a propriedade distributiva.

$x = A x + 5 A + B (4 x) + B \cdot 1$

Etapa 2.7.6

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$x = A x + 5 A + 4 B x + B \cdot 1$

Etapa 2.7.7

Multiplique $B$ por $1$ .

$x = A x + 5 A + 4 B x + B$

Etapa 2.8

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.1

Mova $B$ .

$x = A x + 5 A + 4 x B + B$

Etapa 2.8.2

Mova $5 A$ .

$x = A x + 4 x B + 5 A + B$

Etapa 3

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$1 = A + 4 B$

Etapa 3.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$0 = 5 A + B$

Etapa 3.3

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$1 = A + 4 B$

$0 = 5 A + B$

$1 = A + 4 B$

$0 = 5 A + B$

Etapa 4

Resolva o sistema de equações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Resolva $A$ em $1 = A + 4 B$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Reescreva a equação como $A + 4 B = 1$ .

$A + 4 B = 1$

$0 = 5 A + B$

Etapa 4.1.2

Subtraia $4 B$ dos dois lados da equação.

$A = 1 - 4 B$

$0 = 5 A + B$

$A = 1 - 4 B$

$0 = 5 A + B$

Etapa 4.2

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $1 - 4 B$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $0 = 5 A + B$ por $1 - 4 B$ .

$0 = 5 (1 - 4 B) + B$

$A = 1 - 4 B$

Etapa 4.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Simplifique $5 (1 - 4 B) + B$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$0 = 5 \cdot 1 + 5 (- 4 B) + B$

$A = 1 - 4 B$

Etapa 4.2.2.1.1.2

Multiplique $5$ por $1$ .

$0 = 5 + 5 (- 4 B) + B$

$A = 1 - 4 B$

Etapa 4.2.2.1.1.3

Multiplique $- 4$ por $5$ .

$0 = 5 - 20 B + B$

$A = 1 - 4 B$

$0 = 5 - 20 B + B$

$A = 1 - 4 B$

Etapa 4.2.2.1.2

Some $- 20 B$ e $B$ .

$0 = 5 - 19 B$

$A = 1 - 4 B$

$0 = 5 - 19 B$

$A = 1 - 4 B$

$0 = 5 - 19 B$

$A = 1 - 4 B$

$0 = 5 - 19 B$

$A = 1 - 4 B$

Etapa 4.3

Resolva $B$ em $0 = 5 - 19 B$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Reescreva a equação como $5 - 19 B = 0$ .

$5 - 19 B = 0$

$A = 1 - 4 B$

Etapa 4.3.2

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$- 19 B = - 5$

$A = 1 - 4 B$

Etapa 4.3.3

Divida cada termo em $- 19 B = - 5$ por $- 19$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.1

Divida cada termo em $- 19 B = - 5$ por $- 19$ .

$\frac{- 19 B}{- 19} = \frac{- 5}{- 19}$

$A = 1 - 4 B$

Etapa 4.3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 19$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 19 B}{- 19} = \frac{- 5}{- 19}$

$A = 1 - 4 B$

Etapa 4.3.3.2.1.2

Divida $B$ por $1$ .

$B = \frac{- 5}{- 19}$

$A = 1 - 4 B$

$B = \frac{- 5}{- 19}$

$A = 1 - 4 B$

$B = \frac{- 5}{- 19}$

$A = 1 - 4 B$

Etapa 4.3.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.3.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$B = \frac{5}{19}$

$A = 1 - 4 B$

$B = \frac{5}{19}$

$A = 1 - 4 B$

$B = \frac{5}{19}$

$A = 1 - 4 B$

$B = \frac{5}{19}$

$A = 1 - 4 B$

Etapa 4.4

Substitua todas as ocorrências de $B$ por $\frac{5}{19}$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.1

Substitua todas as ocorrências de $B$ em $A = 1 - 4 B$ por $\frac{5}{19}$ .

$A = 1 - 4 (\frac{5}{19})$

$B = \frac{5}{19}$

Etapa 4.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.2.1

Simplifique $1 - 4 (\frac{5}{19})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.2.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.2.1.1.1

Multiplique $- 4 (\frac{5}{19})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.2.1.1.1.1

Combine $- 4$ e $\frac{5}{19}$ .

$A = 1 + \frac{- 4 \cdot 5}{19}$

$B = \frac{5}{19}$

Etapa 4.4.2.1.1.1.2

Multiplique $- 4$ por $5$ .

$A = 1 + \frac{- 20}{19}$

$B = \frac{5}{19}$

$A = 1 + \frac{- 20}{19}$

$B = \frac{5}{19}$

Etapa 4.4.2.1.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$A = 1 - \frac{20}{19}$

$B = \frac{5}{19}$

$A = 1 - \frac{20}{19}$

$B = \frac{5}{19}$

Etapa 4.4.2.1.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.2.1.2.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$A = \frac{19}{19} - \frac{20}{19}$

$B = \frac{5}{19}$

Etapa 4.4.2.1.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$A = \frac{19 - 20}{19}$

$B = \frac{5}{19}$

Etapa 4.4.2.1.2.3

Subtraia $20$ de $19$ .

$A = \frac{- 1}{19}$

$B = \frac{5}{19}$

Etapa 4.4.2.1.2.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$A = - \frac{1}{19}$

$B = \frac{5}{19}$

$A = - \frac{1}{19}$

$B = \frac{5}{19}$

$A = - \frac{1}{19}$

$B = \frac{5}{19}$

$A = - \frac{1}{19}$

$B = \frac{5}{19}$

$A = - \frac{1}{19}$

$B = \frac{5}{19}$

Etapa 4.5

Liste todas as soluções.

$A = - \frac{1}{19}, B = \frac{5}{19}$

Etapa 5

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $x^{3} - x^{2} + \frac{A}{4 x + 1} + \frac{B}{x + 5}$ pelos valores encontrados para $A$ e $B$ .

$x^{3} - x^{2} + \frac{- \frac{1}{19}}{4 x + 1} + \frac{\frac{5}{19}}{x + 5}$