Álgebra Exemplos

$\sec (x) \csc (x) (\tan (x) + \cot (x)) = \sec^{2} (x) + \csc^{2} (x)$

Etapa 1

Comece do lado esquerdo.

$\sec (x) \csc (x) (\tan (x) + \cot (x))$

Etapa 2

Converta em senos e cossenos.

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Etapa 2.1

Aplique a identidade recíproca a $\sec (x)$ .

$\frac{1}{\cos (x)} \csc (x) (\tan (x) + \cot (x))$

Etapa 2.2

Aplique a identidade recíproca a $\csc (x)$ .

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} (\tan (x) + \cot (x))$

Etapa 2.3

Escreva $\tan (x)$ nos senos e cossenos usando a fórmula do quociente.

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cot (x))$

Etapa 2.4

Escreva $\cot (x)$ nos senos e cossenos usando a fórmula do quociente.

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Multiplique $\frac{1}{\cos (x)}$ por $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{1}{\cos (x) \sin (x)} (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

Etapa 3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{\cos (x) \sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Etapa 3.3

Cancele o fator comum de $\sin (x)$ .

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Etapa 3.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{\sin (x) \cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Etapa 3.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Etapa 3.4

Multiplique $\frac{1}{\cos (x)}$ por $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{\cos (x) \cos (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Etapa 3.5

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{1} \cos (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Etapa 3.6

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1}} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Etapa 3.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{{\cos (x)}^{1 + 1}} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Etapa 3.8

Some $1$ e $1$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Etapa 3.9

Cancele o fator comum de $\cos (x)$ .

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Etapa 3.9.1

Fatore $\cos (x)$ de $\cos (x) \sin (x)$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{1}{\cos (x) (\sin (x))} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Etapa 3.9.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Etapa 3.9.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

Etapa 3.10

Multiplique $\frac{1}{\sin (x)}$ por $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{1}{\sin (x) \sin (x)}$

Etapa 3.11

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{1}{{\sin (x)}^{1} \sin (x)}$

Etapa 3.12

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{1}{{\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1}}$

Etapa 3.13

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{1}{{\sin (x)}^{1 + 1}}$

Etapa 3.14

Some $1$ e $1$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 4

Agora, considere o lado direito da equação.

$\sec^{2} (x) + \csc^{2} (x)$

Etapa 5

Converta em senos e cossenos.

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Etapa 5.1

Aplique a identidade recíproca a $\sec (x)$ .

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} + \csc^{2} (x)$

Etapa 5.2

Aplique a identidade recíproca a $\csc (x)$ .

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} + {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$

Etapa 5.3

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} + {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$

Etapa 5.4

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} + \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 6

Simplifique cada termo.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 7

Como os dois lados demonstraram ser equivalentes, a equação é uma identidade.

$\sec (x) \csc (x) (\tan (x) + \cot (x)) = \sec^{2} (x) + \csc^{2} (x)$ é uma identidade