Álgebra Exemplos

${(5 (\cos (30) + i \sin (30)))}^{3}$

Etapa 1

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

O valor exato de $\cos (30)$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

${(5 (\frac{\sqrt{3}}{2} + i \sin (30)))}^{3}$

Etapa 1.1.2

O valor exato de $\sin (30)$ é $\frac{1}{2}$ .

${(5 (\frac{\sqrt{3}}{2} + i \frac{1}{2}))}^{3}$

Etapa 1.1.3

Combine $i$ e $\frac{1}{2}$ .

${(5 (\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}))}^{3}$

Etapa 1.2

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

${(5 \frac{\sqrt{3}}{2} + 5 \frac{i}{2})}^{3}$

Etapa 1.2.2

Combine $5$ e $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

${(\frac{5 \sqrt{3}}{2} + 5 \frac{i}{2})}^{3}$

Etapa 1.2.3

Combine $5$ e $\frac{i}{2}$ .

${(\frac{5 \sqrt{3}}{2} + \frac{5 i}{2})}^{3}$

Etapa 2

Use o teorema binomial.

${(\frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{3} + 3 {(\frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{2} \frac{5 i}{2} + 3 \frac{5 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{2} + {(\frac{5 i}{2})}^{3}$

Etapa 3

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{5 \sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{{(5 \sqrt{3})}^{3}}{2^{3}} + 3 {(\frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{2} \frac{5 i}{2} + 3 \frac{5 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{2} + {(\frac{5 i}{2})}^{3}$

Etapa 3.1.1.2

Aplique a regra do produto a $5 \sqrt{3}$ .

$\frac{5^{3} {\sqrt{3}}^{3}}{2^{3}} + 3 {(\frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{2} \frac{5 i}{2} + 3 \frac{5 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{2} + {(\frac{5 i}{2})}^{3}$

Etapa 3.1.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1

Eleve $5$ à potência de $3$ .

$\frac{125 {\sqrt{3}}^{3}}{2^{3}} + 3 {(\frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{2} \frac{5 i}{2} + 3 \frac{5 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{2} + {(\frac{5 i}{2})}^{3}$

Etapa 3.1.2.2

Reescreva ${\sqrt{3}}^{3}$ como $\sqrt{3^{3}}$ .

$\frac{125 \sqrt{3^{3}}}{2^{3}} + 3 {(\frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{2} \frac{5 i}{2} + 3 \frac{5 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{2} + {(\frac{5 i}{2})}^{3}$

Etapa 3.1.2.3

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$\frac{125 \sqrt{27}}{2^{3}} + 3 {(\frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{2} \frac{5 i}{2} + 3 \frac{5 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{2} + {(\frac{5 i}{2})}^{3}$

Etapa 3.1.2.4

Reescreva $27$ como $3^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.4.1

Fatore $9$ de $27$ .

$\frac{125 \sqrt{9 (3)}}{2^{3}} + 3 {(\frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{2} \frac{5 i}{2} + 3 \frac{5 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{2} + {(\frac{5 i}{2})}^{3}$

Etapa 3.1.2.4.2

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{125 \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2^{3}} + 3 {(\frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{2} \frac{5 i}{2} + 3 \frac{5 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{2} + {(\frac{5 i}{2})}^{3}$

Etapa 3.1.2.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$\frac{125 \cdot 3 \sqrt{3}}{2^{3}} + 3 {(\frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{2} \frac{5 i}{2} + 3 \frac{5 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{2} + {(\frac{5 i}{2})}^{3}$

Etapa 3.1.2.6

Multiplique $125$ por $3$ .

$\frac{375 \sqrt{3}}{2^{3}} + 3 {(\frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{2} \frac{5 i}{2} + 3 \frac{5 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{2} + {(\frac{5 i}{2})}^{3}$

Etapa 3.1.3

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$\frac{375 \sqrt{3}}{8} + 3 {(\frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{2} \frac{5 i}{2} + 3 \frac{5 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{2} + {(\frac{5 i}{2})}^{3}$

Etapa 3.1.4

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.4.1

Aplique a regra do produto a $\frac{5 \sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{375 \sqrt{3}}{8} + 3 \frac{{(5 \sqrt{3})}^{2}}{2^{2}} \frac{5 i}{2} + 3 \frac{5 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{2} + {(\frac{5 i}{2})}^{3}$

Etapa 3.1.4.2

Aplique a regra do produto a $5 \sqrt{3}$ .

$\frac{375 \sqrt{3}}{8} + 3 \frac{5^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} \frac{5 i}{2} + 3 \frac{5 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{2} + {(\frac{5 i}{2})}^{3}$

Etapa 3.1.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.5.1

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$\frac{375 \sqrt{3}}{8} + 3 \frac{25 {\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} \frac{5 i}{2} + 3 \frac{5 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{2} + {(\frac{5 i}{2})}^{3}$

Etapa 3.1.5.2

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.5.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{375 \sqrt{3}}{8} + 3 \frac{25 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} \frac{5 i}{2} + 3 \frac{5 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{2} + {(\frac{5 i}{2})}^{3}$

Etapa 3.1.5.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{375 \sqrt{3}}{8} + 3 \frac{25 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} \frac{5 i}{2} + 3 \frac{5 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{2} + {(\frac{5 i}{2})}^{3}$

Etapa 3.1.5.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{375 \sqrt{3}}{8} + 3 \frac{25 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} \frac{5 i}{2} + 3 \frac{5 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{2} + {(\frac{5 i}{2})}^{3}$

Etapa 3.1.5.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.5.2.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{375 \sqrt{3}}{8} + 3 \frac{25 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} \frac{5 i}{2} + 3 \frac{5 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{2} + {(\frac{5 i}{2})}^{3}$

Etapa 3.1.5.2.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{375 \sqrt{3}}{8} + 3 \frac{25 \cdot 3^{1}}{2^{2}} \frac{5 i}{2} + 3 \frac{5 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{2} + {(\frac{5 i}{2})}^{3}$

Etapa 3.1.5.2.5

Avalie o expoente.

$\frac{375 \sqrt{3}}{8} + 3 \frac{25 \cdot 3}{2^{2}} \frac{5 i}{2} + 3 \frac{5 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{2} + {(\frac{5 i}{2})}^{3}$

Etapa 3.1.6

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{375 \sqrt{3}}{8} + 3 \frac{25 \cdot 3}{4} \frac{5 i}{2} + 3 \frac{5 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{2} + {(\frac{5 i}{2})}^{3}$

Etapa 3.1.7

Multiplique $25$ por $3$ .

$\frac{375 \sqrt{3}}{8} + 3 (\frac{75}{4}) \frac{5 i}{2} + 3 \frac{5 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{2} + {(\frac{5 i}{2})}^{3}$

Etapa 3.1.8

Multiplique $3 (\frac{75}{4})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.8.1

Combine $3$ e $\frac{75}{4}$ .

$\frac{375 \sqrt{3}}{8} + \frac{3 \cdot 75}{4} \cdot \frac{5 i}{2} + 3 \frac{5 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{2} + {(\frac{5 i}{2})}^{3}$

Etapa 3.1.8.2

Multiplique $3$ por $75$ .

$\frac{375 \sqrt{3}}{8} + \frac{225}{4} \cdot \frac{5 i}{2} + 3 \frac{5 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{2} + {(\frac{5 i}{2})}^{3}$

Etapa 3.1.9

Multiplique $\frac{225}{4} \cdot \frac{5 i}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.9.1

Multiplique $\frac{225}{4}$ por $\frac{5 i}{2}$ .

$\frac{375 \sqrt{3}}{8} + \frac{225 (5 i)}{4 \cdot 2} + 3 \frac{5 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{2} + {(\frac{5 i}{2})}^{3}$

Etapa 3.1.9.2

Multiplique $5$ por $225$ .

$\frac{375 \sqrt{3}}{8} + \frac{1125 i}{4 \cdot 2} + 3 \frac{5 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{2} + {(\frac{5 i}{2})}^{3}$

Etapa 3.1.9.3

Multiplique $4$ por $2$ .

$\frac{375 \sqrt{3}}{8} + \frac{1125 i}{8} + 3 \frac{5 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{2} + {(\frac{5 i}{2})}^{3}$

Etapa 3.1.10

Multiplique $3 \frac{5 \sqrt{3}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.10.1

Combine $3$ e $\frac{5 \sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{375 \sqrt{3}}{8} + \frac{1125 i}{8} + \frac{3 (5 \sqrt{3})}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{2} + {(\frac{5 i}{2})}^{3}$

Etapa 3.1.10.2

Multiplique $5$ por $3$ .

$\frac{375 \sqrt{3}}{8} + \frac{1125 i}{8} + \frac{15 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{2} + {(\frac{5 i}{2})}^{3}$

Etapa 3.1.11

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.11.1

Aplique a regra do produto a $\frac{5 i}{2}$ .

$\frac{375 \sqrt{3}}{8} + \frac{1125 i}{8} + \frac{15 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{{(5 i)}^{2}}{2^{2}} + {(\frac{5 i}{2})}^{3}$

Etapa 3.1.11.2

Aplique a regra do produto a $5 i$ .

$\frac{375 \sqrt{3}}{8} + \frac{1125 i}{8} + \frac{15 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{5^{2} i^{2}}{2^{2}} + {(\frac{5 i}{2})}^{3}$

Etapa 3.1.12

Combine.

$\frac{375 \sqrt{3}}{8} + \frac{1125 i}{8} + \frac{15 \sqrt{3} (5^{2} i^{2})}{2 \cdot 2^{2}} + {(\frac{5 i}{2})}^{3}$

Etapa 3.1.13

Multiplique $2$ por $2^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.13.1

Multiplique $2$ por $2^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.13.1.1

Eleve $2$ à potência de $1$ .

$\frac{375 \sqrt{3}}{8} + \frac{1125 i}{8} + \frac{15 \sqrt{3} (5^{2} i^{2})}{2^{1} \cdot 2^{2}} + {(\frac{5 i}{2})}^{3}$

Etapa 3.1.13.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{375 \sqrt{3}}{8} + \frac{1125 i}{8} + \frac{15 \sqrt{3} (5^{2} i^{2})}{2^{1 + 2}} + {(\frac{5 i}{2})}^{3}$

Etapa 3.1.13.2

Some $1$ e $2$ .

$\frac{375 \sqrt{3}}{8} + \frac{1125 i}{8} + \frac{15 \sqrt{3} (5^{2} i^{2})}{2^{3}} + {(\frac{5 i}{2})}^{3}$

Etapa 3.1.14

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.14.1

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$\frac{375 \sqrt{3}}{8} + \frac{1125 i}{8} + \frac{15 \sqrt{3} \cdot 25 i^{2}}{2^{3}} + {(\frac{5 i}{2})}^{3}$

Etapa 3.1.14.2

Reescreva $i^{2}$ como $- 1$ .

$\frac{375 \sqrt{3}}{8} + \frac{1125 i}{8} + \frac{15 \sqrt{3} \cdot 25 \cdot - 1}{2^{3}} + {(\frac{5 i}{2})}^{3}$

Etapa 3.1.14.3

Combine expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.14.3.1

Multiplique $25$ por $15$ .

$\frac{375 \sqrt{3}}{8} + \frac{1125 i}{8} + \frac{375 \sqrt{3} \cdot - 1}{2^{3}} + {(\frac{5 i}{2})}^{3}$

Etapa 3.1.14.3.2

Multiplique $- 1$ por $375$ .

$\frac{375 \sqrt{3}}{8} + \frac{1125 i}{8} + \frac{- 375 \sqrt{3}}{2^{3}} + {(\frac{5 i}{2})}^{3}$

Etapa 3.1.15

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$\frac{375 \sqrt{3}}{8} + \frac{1125 i}{8} + \frac{- 375 \sqrt{3}}{8} + {(\frac{5 i}{2})}^{3}$

Etapa 3.1.16

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{375 \sqrt{3}}{8} + \frac{1125 i}{8} - \frac{375 \sqrt{3}}{8} + {(\frac{5 i}{2})}^{3}$

Etapa 3.1.17

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.17.1

Aplique a regra do produto a $\frac{5 i}{2}$ .

$\frac{375 \sqrt{3}}{8} + \frac{1125 i}{8} - \frac{375 \sqrt{3}}{8} + \frac{{(5 i)}^{3}}{2^{3}}$

Etapa 3.1.17.2

Aplique a regra do produto a $5 i$ .

$\frac{375 \sqrt{3}}{8} + \frac{1125 i}{8} - \frac{375 \sqrt{3}}{8} + \frac{5^{3} i^{3}}{2^{3}}$

Etapa 3.1.18

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.18.1

Eleve $5$ à potência de $3$ .

$\frac{375 \sqrt{3}}{8} + \frac{1125 i}{8} - \frac{375 \sqrt{3}}{8} + \frac{125 i^{3}}{2^{3}}$

Etapa 3.1.18.2

Fatore $i^{2}$ .

$\frac{375 \sqrt{3}}{8} + \frac{1125 i}{8} - \frac{375 \sqrt{3}}{8} + \frac{125 (i^{2} \cdot i)}{2^{3}}$

Etapa 3.1.18.3

Reescreva $i^{2}$ como $- 1$ .

$\frac{375 \sqrt{3}}{8} + \frac{1125 i}{8} - \frac{375 \sqrt{3}}{8} + \frac{125 (- 1 \cdot i)}{2^{3}}$

Etapa 3.1.18.4

Reescreva $- 1 i$ como $- i$ .

$\frac{375 \sqrt{3}}{8} + \frac{1125 i}{8} - \frac{375 \sqrt{3}}{8} + \frac{125 \cdot - 1 i}{2^{3}}$

Etapa 3.1.18.5

Combine expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.18.5.1

Fatore o negativo.

$\frac{375 \sqrt{3}}{8} + \frac{1125 i}{8} - \frac{375 \sqrt{3}}{8} + \frac{- (125 i)}{2^{3}}$

Etapa 3.1.18.5.2

Multiplique $125$ por $- 1$ .

$\frac{375 \sqrt{3}}{8} + \frac{1125 i}{8} - \frac{375 \sqrt{3}}{8} + \frac{- 125 i}{2^{3}}$

Etapa 3.1.19

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$\frac{375 \sqrt{3}}{8} + \frac{1125 i}{8} - \frac{375 \sqrt{3}}{8} + \frac{- 125 i}{8}$

Etapa 3.1.20

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{375 \sqrt{3}}{8} + \frac{1125 i}{8} - \frac{375 \sqrt{3}}{8} - \frac{125 i}{8}$

Etapa 3.2

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{375 \sqrt{3} + 1125 i - 375 \sqrt{3} - 125 i}{8}$

Etapa 3.2.2

Subtraia $375 \sqrt{3}$ de $375 \sqrt{3}$ .

$\frac{0 + 1125 i - 125 i}{8}$

Etapa 3.2.3

Some $0$ e $1125 i$ .

$\frac{1125 i - 125 i}{8}$

Etapa 3.2.4

Subtraia $125 i$ de $1125 i$ .

$\frac{1000 i}{8}$

Etapa 3.2.5

Cancele o fator comum de $1000$ e $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.5.1

Fatore $8$ de $1000 i$ .

$\frac{8 (125 i)}{8}$

Etapa 3.2.5.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.5.2.1

Fatore $8$ de $8$ .

$\frac{8 (125 i)}{8 (1)}$

Etapa 3.2.5.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{8 (125 i)}{8 \cdot 1}$

Etapa 3.2.5.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{125 i}{1}$

Etapa 3.2.5.2.4

Divida $125 i$ por $1$ .

$125 i$