Álgebra Exemplos

$2 x^{3} + 5 x^{2} - 8 x - 20 = 0$

Etapa 1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 5, \pm 10, \pm 20$

$q = \pm 1, \pm 2$

Etapa 2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm 2, \pm 4, \pm 5, \pm \frac{5}{2}, \pm 10, \pm 20$

Etapa 3

Substitua cada raiz possível no polinômio para encontrar as raízes reais. Simplifique para verificar se o valor é $0$ , o que significa que é uma raiz.

$2 {(2)}^{3} + 5 {(2)}^{2} - 8 \cdot 2 - 20$

Etapa 4

Simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Então, $x = 2$ é a raiz do polinômio.

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Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.1

Multiplique $2$ por ${(2)}^{3}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.1.1.1

Multiplique $2$ por ${(2)}^{3}$ .

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Etapa 4.1.1.1.1

Eleve $2$ à potência de $1$ .

$2^{1} {(2)}^{3} + 5 {(2)}^{2} - 8 \cdot 2 - 20$

Etapa 4.1.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2^{1 + 3} + 5 {(2)}^{2} - 8 \cdot 2 - 20$

Etapa 4.1.1.2

Some $1$ e $3$ .

$2^{4} + 5 {(2)}^{2} - 8 \cdot 2 - 20$

Etapa 4.1.2

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$16 + 5 {(2)}^{2} - 8 \cdot 2 - 20$

Etapa 4.1.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$16 + 5 \cdot 4 - 8 \cdot 2 - 20$

Etapa 4.1.4

Multiplique $5$ por $4$ .

$16 + 20 - 8 \cdot 2 - 20$

Etapa 4.1.5

Multiplique $- 8$ por $2$ .

$16 + 20 - 16 - 20$

Etapa 4.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 4.2.1

Some $16$ e $20$ .

$36 - 16 - 20$

Etapa 4.2.2

Subtraia $16$ de $36$ .

$20 - 20$

Etapa 4.2.3

Subtraia $20$ de $20$ .

$0$

Etapa 5

Como $2$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x - 2$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio poderá ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 8 x - 20}{x - 2}$

Etapa 6

Depois, encontre as raízes do polinômio restante. A ordem do polinômio foi reduzida em $1$ .

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Etapa 6.1

Coloque os números que representam o divisor e o dividendo em uma configuração semelhante à de divisão.

$2$	$2$	$5$	$- 8$	$- 20$

Etapa 6.2

O primeiro número no dividendo $(2)$ é colocado na primeira posição da área de resultado (abaixo da linha horizontal).

$2$	$2$	$5$	$- 8$	$- 20$

	$2$

Etapa 6.3

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(2)$ pelo divisor $(2)$ e coloque o resultado de $(4)$ sob o próximo termo no dividendo $(5)$ .

$2$	$2$	$5$	$- 8$	$- 20$
		$4$
	$2$

Etapa 6.4

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$2$	$2$	$5$	$- 8$	$- 20$
		$4$
	$2$	$9$

Etapa 6.5

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(9)$ pelo divisor $(2)$ e coloque o resultado de $(18)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 8)$ .

$2$	$2$	$5$	$- 8$	$- 20$
		$4$	$18$
	$2$	$9$

Etapa 6.6

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$2$	$2$	$5$	$- 8$	$- 20$
		$4$	$18$
	$2$	$9$	$10$

Etapa 6.7

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(10)$ pelo divisor $(2)$ e coloque o resultado de $(20)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 20)$ .

$2$	$2$	$5$	$- 8$	$- 20$
		$4$	$18$	$20$
	$2$	$9$	$10$

Etapa 6.8

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$2$	$2$	$5$	$- 8$	$- 20$
		$4$	$18$	$20$
	$2$	$9$	$10$	$0$

Etapa 6.9

Todos os números, exceto o último, tornam-se os coeficientes do polinômio do quociente. O último valor na linha de resultados é o resto.

$2 x^{2} + 9 x + 10$

Etapa 7

Fatore por agrupamento.

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Etapa 7.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 2 \cdot 10 = 20$ e cuja soma é $b = 9$ .

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Etapa 7.1.1

Fatore $9$ de $9 x$ .

$(x - 2) + 2 x^{2} + 9 (x) + 10$

Etapa 7.1.2

Reescreva $9$ como $4$ mais $5$

$(x - 2) + 2 x^{2} + (4 + 5) x + 10$

Etapa 7.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$(x - 2) + 2 x^{2} + 4 x + 5 x + 10$

Etapa 7.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 7.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(x - 2) (2 x^{2} + 4 x) + 5 x + 10$

Etapa 7.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$(x - 2) + 2 x (x + 2) + 5 (x + 2)$

Etapa 7.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $x + 2$ .

$(x - 2) + (x + 2) (2 x + 5)$

$(x - 2) (x + 2) (2 x + 5)$

Etapa 8

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 8.1

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 8.1.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(2 x^{3} + 5 x^{2}) - 8 x - 20 = 0$

Etapa 8.1.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$x^{2} (2 x + 5) - 4 (2 x + 5) = 0$

Etapa 8.2

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $2 x + 5$ .

$(2 x + 5) (x^{2} - 4) = 0$

Etapa 8.3

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$(2 x + 5) (x^{2} - 2^{2}) = 0$

Etapa 8.4

Fatore.

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Etapa 8.4.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 2$ .

$(2 x + 5) ((x + 2) (x - 2)) = 0$

Etapa 8.4.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(2 x + 5) (x + 2) (x - 2) = 0$

Etapa 9

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$2 x + 5 = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

Etapa 10

Defina $2 x + 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 10.1

Defina $2 x + 5$ como igual a $0$ .

$2 x + 5 = 0$

Etapa 10.2

Resolva $2 x + 5 = 0$ para $x$ .

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Etapa 10.2.1

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$2 x = - 5$

Etapa 10.2.2

Divida cada termo em $2 x = - 5$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 10.2.2.1

Divida cada termo em $2 x = - 5$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Etapa 10.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 10.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 10.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Etapa 10.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 5}{2}$

Etapa 10.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 10.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{5}{2}$

Etapa 11

Defina $x + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 11.1

Defina $x + 2$ como igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Etapa 11.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 12

Defina $x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 12.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 12.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 13

A solução final são todos os valores que tornam $(2 x + 5) (x + 2) (x - 2) = 0$ verdadeiro.

$x = - \frac{5}{2}, - 2, 2$

Etapa 14