Álgebra Exemplos

${(\frac{1}{2} x - y)}^{4}$

Etapa 1

O triângulo de Pascal pode ser exibido assim:

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

$1 - 4 - 6 - 4 - 1$

O triângulo pode ser usado para calcular os coeficientes da expansão de ${(a + b)}^{n}$ , usando o expoente $n$ e somando $1$ . Os coeficientes corresponderão à linha $n + 1$ do triângulo. Para ${(\frac{1}{2} x - y)}^{4}$ , $n = 4$ , de forma que os coeficientes da expansão corresponderão à linha $5$ .

Etapa 2

A expansão segue a regra ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . Os valores dos coeficientes, do triângulo, são $1 - 4 - 6 - 4 - 1$ .

$1 a^{4} b^{0} + 4 a^{3} b + 6 a^{2} b^{2} + 4 a b^{3} + 1 a^{0} b^{4}$

Etapa 3

Substitua os valores reais de $a$ $\frac{1}{2} x$ e $b$ $- y$ na expressão.

$1 {(\frac{1}{2} x)}^{4} {(- y)}^{0} + 4 {(\frac{1}{2} x)}^{3} {(- y)}^{1} + 6 {(\frac{1}{2} x)}^{2} {(- y)}^{2} + 4 {(\frac{1}{2} x)}^{1} {(- y)}^{3} + 1 {(\frac{1}{2} x)}^{0} {(- y)}^{4}$

Etapa 4

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1

Multiplique ${(\frac{1}{2} x)}^{4}$ por $1$ .

${(\frac{1}{2} x)}^{4} {(- y)}^{0} + 4 {(\frac{1}{2} x)}^{3} {(- y)}^{1} + 6 {(\frac{1}{2} x)}^{2} {(- y)}^{2} + 4 {(\frac{1}{2} x)}^{1} {(- y)}^{3} + 1 {(\frac{1}{2} x)}^{0} {(- y)}^{4}$

Etapa 4.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $x$ .

${(\frac{x}{2})}^{4} {(- y)}^{0} + 4 {(\frac{1}{2} x)}^{3} {(- y)}^{1} + 6 {(\frac{1}{2} x)}^{2} {(- y)}^{2} + 4 {(\frac{1}{2} x)}^{1} {(- y)}^{3} + 1 {(\frac{1}{2} x)}^{0} {(- y)}^{4}$

Etapa 4.3

Aplique a regra do produto a $\frac{x}{2}$ .

$\frac{x^{4}}{2^{4}} {(- y)}^{0} + 4 {(\frac{1}{2} x)}^{3} {(- y)}^{1} + 6 {(\frac{1}{2} x)}^{2} {(- y)}^{2} + 4 {(\frac{1}{2} x)}^{1} {(- y)}^{3} + 1 {(\frac{1}{2} x)}^{0} {(- y)}^{4}$

Etapa 4.4

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$\frac{x^{4}}{16} {(- y)}^{0} + 4 {(\frac{1}{2} x)}^{3} {(- y)}^{1} + 6 {(\frac{1}{2} x)}^{2} {(- y)}^{2} + 4 {(\frac{1}{2} x)}^{1} {(- y)}^{3} + 1 {(\frac{1}{2} x)}^{0} {(- y)}^{4}$

Etapa 4.5

Aplique a regra do produto a $- y$ .

$\frac{x^{4}}{16} ({(- 1)}^{0} y^{0}) + 4 {(\frac{1}{2} x)}^{3} {(- y)}^{1} + 6 {(\frac{1}{2} x)}^{2} {(- y)}^{2} + 4 {(\frac{1}{2} x)}^{1} {(- y)}^{3} + 1 {(\frac{1}{2} x)}^{0} {(- y)}^{4}$

Etapa 4.6

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

${(- 1)}^{0} \frac{x^{4}}{16} y^{0} + 4 {(\frac{1}{2} x)}^{3} {(- y)}^{1} + 6 {(\frac{1}{2} x)}^{2} {(- y)}^{2} + 4 {(\frac{1}{2} x)}^{1} {(- y)}^{3} + 1 {(\frac{1}{2} x)}^{0} {(- y)}^{4}$

Etapa 4.7

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$1 \frac{x^{4}}{16} y^{0} + 4 {(\frac{1}{2} x)}^{3} {(- y)}^{1} + 6 {(\frac{1}{2} x)}^{2} {(- y)}^{2} + 4 {(\frac{1}{2} x)}^{1} {(- y)}^{3} + 1 {(\frac{1}{2} x)}^{0} {(- y)}^{4}$

Etapa 4.8

Multiplique $\frac{x^{4}}{16}$ por $1$ .

$\frac{x^{4}}{16} y^{0} + 4 {(\frac{1}{2} x)}^{3} {(- y)}^{1} + 6 {(\frac{1}{2} x)}^{2} {(- y)}^{2} + 4 {(\frac{1}{2} x)}^{1} {(- y)}^{3} + 1 {(\frac{1}{2} x)}^{0} {(- y)}^{4}$

Etapa 4.9

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$\frac{x^{4}}{16} \cdot 1 + 4 {(\frac{1}{2} x)}^{3} {(- y)}^{1} + 6 {(\frac{1}{2} x)}^{2} {(- y)}^{2} + 4 {(\frac{1}{2} x)}^{1} {(- y)}^{3} + 1 {(\frac{1}{2} x)}^{0} {(- y)}^{4}$

Etapa 4.10

Multiplique $\frac{x^{4}}{16}$ por $1$ .

$\frac{x^{4}}{16} + 4 {(\frac{1}{2} x)}^{3} {(- y)}^{1} + 6 {(\frac{1}{2} x)}^{2} {(- y)}^{2} + 4 {(\frac{1}{2} x)}^{1} {(- y)}^{3} + 1 {(\frac{1}{2} x)}^{0} {(- y)}^{4}$

Etapa 4.11

Combine $\frac{1}{2}$ e $x$ .

$\frac{x^{4}}{16} + 4 {(\frac{x}{2})}^{3} {(- y)}^{1} + 6 {(\frac{1}{2} x)}^{2} {(- y)}^{2} + 4 {(\frac{1}{2} x)}^{1} {(- y)}^{3} + 1 {(\frac{1}{2} x)}^{0} {(- y)}^{4}$

Etapa 4.12

Aplique a regra do produto a $\frac{x}{2}$ .

$\frac{x^{4}}{16} + 4 \frac{x^{3}}{2^{3}} {(- y)}^{1} + 6 {(\frac{1}{2} x)}^{2} {(- y)}^{2} + 4 {(\frac{1}{2} x)}^{1} {(- y)}^{3} + 1 {(\frac{1}{2} x)}^{0} {(- y)}^{4}$

Etapa 4.13

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$\frac{x^{4}}{16} + 4 \frac{x^{3}}{8} {(- y)}^{1} + 6 {(\frac{1}{2} x)}^{2} {(- y)}^{2} + 4 {(\frac{1}{2} x)}^{1} {(- y)}^{3} + 1 {(\frac{1}{2} x)}^{0} {(- y)}^{4}$

Etapa 4.14

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 4.14.1

Fatore $4$ de $8$ .

$\frac{x^{4}}{16} + 4 \frac{x^{3}}{4 (2)} {(- y)}^{1} + 6 {(\frac{1}{2} x)}^{2} {(- y)}^{2} + 4 {(\frac{1}{2} x)}^{1} {(- y)}^{3} + 1 {(\frac{1}{2} x)}^{0} {(- y)}^{4}$

Etapa 4.14.2

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{4}}{16} + 4 \frac{x^{3}}{4 \cdot 2} {(- y)}^{1} + 6 {(\frac{1}{2} x)}^{2} {(- y)}^{2} + 4 {(\frac{1}{2} x)}^{1} {(- y)}^{3} + 1 {(\frac{1}{2} x)}^{0} {(- y)}^{4}$

Etapa 4.14.3

Reescreva a expressão.

$\frac{x^{4}}{16} + \frac{x^{3}}{2} {(- y)}^{1} + 6 {(\frac{1}{2} x)}^{2} {(- y)}^{2} + 4 {(\frac{1}{2} x)}^{1} {(- y)}^{3} + 1 {(\frac{1}{2} x)}^{0} {(- y)}^{4}$

Etapa 4.15

Simplifique.

$\frac{x^{4}}{16} + \frac{x^{3}}{2} (- y) + 6 {(\frac{1}{2} x)}^{2} {(- y)}^{2} + 4 {(\frac{1}{2} x)}^{1} {(- y)}^{3} + 1 {(\frac{1}{2} x)}^{0} {(- y)}^{4}$

Etapa 4.16

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{x^{4}}{16} - \frac{x^{3}}{2} y + 6 {(\frac{1}{2} x)}^{2} {(- y)}^{2} + 4 {(\frac{1}{2} x)}^{1} {(- y)}^{3} + 1 {(\frac{1}{2} x)}^{0} {(- y)}^{4}$

Etapa 4.17

Combine $y$ e $\frac{x^{3}}{2}$ .

$\frac{x^{4}}{16} - \frac{y x^{3}}{2} + 6 {(\frac{1}{2} x)}^{2} {(- y)}^{2} + 4 {(\frac{1}{2} x)}^{1} {(- y)}^{3} + 1 {(\frac{1}{2} x)}^{0} {(- y)}^{4}$

Etapa 4.18

Combine $\frac{1}{2}$ e $x$ .

$\frac{x^{4}}{16} - \frac{y x^{3}}{2} + 6 {(\frac{x}{2})}^{2} {(- y)}^{2} + 4 {(\frac{1}{2} x)}^{1} {(- y)}^{3} + 1 {(\frac{1}{2} x)}^{0} {(- y)}^{4}$

Etapa 4.19

Aplique a regra do produto a $\frac{x}{2}$ .

$\frac{x^{4}}{16} - \frac{y x^{3}}{2} + 6 \frac{x^{2}}{2^{2}} {(- y)}^{2} + 4 {(\frac{1}{2} x)}^{1} {(- y)}^{3} + 1 {(\frac{1}{2} x)}^{0} {(- y)}^{4}$

Etapa 4.20

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{x^{4}}{16} - \frac{y x^{3}}{2} + 6 \frac{x^{2}}{4} {(- y)}^{2} + 4 {(\frac{1}{2} x)}^{1} {(- y)}^{3} + 1 {(\frac{1}{2} x)}^{0} {(- y)}^{4}$

Etapa 4.21

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.21.1

Fatore $2$ de $6$ .

$\frac{x^{4}}{16} - \frac{y x^{3}}{2} + 2 (3) \frac{x^{2}}{4} {(- y)}^{2} + 4 {(\frac{1}{2} x)}^{1} {(- y)}^{3} + 1 {(\frac{1}{2} x)}^{0} {(- y)}^{4}$

Etapa 4.21.2

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{x^{4}}{16} - \frac{y x^{3}}{2} + 2 \cdot 3 \frac{x^{2}}{2 \cdot 2} {(- y)}^{2} + 4 {(\frac{1}{2} x)}^{1} {(- y)}^{3} + 1 {(\frac{1}{2} x)}^{0} {(- y)}^{4}$

Etapa 4.21.3

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{4}}{16} - \frac{y x^{3}}{2} + 2 \cdot 3 \frac{x^{2}}{2 \cdot 2} {(- y)}^{2} + 4 {(\frac{1}{2} x)}^{1} {(- y)}^{3} + 1 {(\frac{1}{2} x)}^{0} {(- y)}^{4}$

Etapa 4.21.4

Reescreva a expressão.

$\frac{x^{4}}{16} - \frac{y x^{3}}{2} + 3 \frac{x^{2}}{2} {(- y)}^{2} + 4 {(\frac{1}{2} x)}^{1} {(- y)}^{3} + 1 {(\frac{1}{2} x)}^{0} {(- y)}^{4}$

Etapa 4.22

Combine $3$ e $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{x^{4}}{16} - \frac{y x^{3}}{2} + \frac{3 x^{2}}{2} {(- y)}^{2} + 4 {(\frac{1}{2} x)}^{1} {(- y)}^{3} + 1 {(\frac{1}{2} x)}^{0} {(- y)}^{4}$

Etapa 4.23

Aplique a regra do produto a $- y$ .

$\frac{x^{4}}{16} - \frac{y x^{3}}{2} + \frac{3 x^{2}}{2} ({(- 1)}^{2} y^{2}) + 4 {(\frac{1}{2} x)}^{1} {(- y)}^{3} + 1 {(\frac{1}{2} x)}^{0} {(- y)}^{4}$

Etapa 4.24

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{x^{4}}{16} - \frac{y x^{3}}{2} + {(- 1)}^{2} \frac{3 x^{2}}{2} y^{2} + 4 {(\frac{1}{2} x)}^{1} {(- y)}^{3} + 1 {(\frac{1}{2} x)}^{0} {(- y)}^{4}$

Etapa 4.25

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$\frac{x^{4}}{16} - \frac{y x^{3}}{2} + 1 \frac{3 x^{2}}{2} y^{2} + 4 {(\frac{1}{2} x)}^{1} {(- y)}^{3} + 1 {(\frac{1}{2} x)}^{0} {(- y)}^{4}$

Etapa 4.26

Multiplique $\frac{3 x^{2}}{2}$ por $1$ .

$\frac{x^{4}}{16} - \frac{y x^{3}}{2} + \frac{3 x^{2}}{2} y^{2} + 4 {(\frac{1}{2} x)}^{1} {(- y)}^{3} + 1 {(\frac{1}{2} x)}^{0} {(- y)}^{4}$

Etapa 4.27

Combine $\frac{3 x^{2}}{2}$ e $y^{2}$ .

$\frac{x^{4}}{16} - \frac{y x^{3}}{2} + \frac{3 x^{2} y^{2}}{2} + 4 {(\frac{1}{2} x)}^{1} {(- y)}^{3} + 1 {(\frac{1}{2} x)}^{0} {(- y)}^{4}$

Etapa 4.28

Combine $\frac{1}{2}$ e $x$ .

$\frac{x^{4}}{16} - \frac{y x^{3}}{2} + \frac{3 x^{2} y^{2}}{2} + 4 {(\frac{x}{2})}^{1} {(- y)}^{3} + 1 {(\frac{1}{2} x)}^{0} {(- y)}^{4}$

Etapa 4.29

Simplifique.

$\frac{x^{4}}{16} - \frac{y x^{3}}{2} + \frac{3 x^{2} y^{2}}{2} + 4 \frac{x}{2} {(- y)}^{3} + 1 {(\frac{1}{2} x)}^{0} {(- y)}^{4}$

Etapa 4.30

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.30.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{x^{4}}{16} - \frac{y x^{3}}{2} + \frac{3 x^{2} y^{2}}{2} + 2 (2) \frac{x}{2} {(- y)}^{3} + 1 {(\frac{1}{2} x)}^{0} {(- y)}^{4}$

Etapa 4.30.2

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{4}}{16} - \frac{y x^{3}}{2} + \frac{3 x^{2} y^{2}}{2} + 2 \cdot 2 \frac{x}{2} {(- y)}^{3} + 1 {(\frac{1}{2} x)}^{0} {(- y)}^{4}$

Etapa 4.30.3

Reescreva a expressão.

$\frac{x^{4}}{16} - \frac{y x^{3}}{2} + \frac{3 x^{2} y^{2}}{2} + 2 x {(- y)}^{3} + 1 {(\frac{1}{2} x)}^{0} {(- y)}^{4}$

Etapa 4.31

Aplique a regra do produto a $- y$ .

$\frac{x^{4}}{16} - \frac{y x^{3}}{2} + \frac{3 x^{2} y^{2}}{2} + 2 x ({(- 1)}^{3} y^{3}) + 1 {(\frac{1}{2} x)}^{0} {(- y)}^{4}$

Etapa 4.32

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{x^{4}}{16} - \frac{y x^{3}}{2} + \frac{3 x^{2} y^{2}}{2} + 2 \cdot {(- 1)}^{3} x y^{3} + 1 {(\frac{1}{2} x)}^{0} {(- y)}^{4}$

Etapa 4.33

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$\frac{x^{4}}{16} - \frac{y x^{3}}{2} + \frac{3 x^{2} y^{2}}{2} + 2 \cdot - 1 x y^{3} + 1 {(\frac{1}{2} x)}^{0} {(- y)}^{4}$

Etapa 4.34

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{x^{4}}{16} - \frac{y x^{3}}{2} + \frac{3 x^{2} y^{2}}{2} - 2 x y^{3} + 1 {(\frac{1}{2} x)}^{0} {(- y)}^{4}$

Etapa 4.35

Multiplique ${(\frac{1}{2} x)}^{0}$ por $1$ .

$\frac{x^{4}}{16} - \frac{y x^{3}}{2} + \frac{3 x^{2} y^{2}}{2} - 2 x y^{3} + {(\frac{1}{2} x)}^{0} {(- y)}^{4}$

Etapa 4.36

Combine $\frac{1}{2}$ e $x$ .

$\frac{x^{4}}{16} - \frac{y x^{3}}{2} + \frac{3 x^{2} y^{2}}{2} - 2 x y^{3} + {(\frac{x}{2})}^{0} {(- y)}^{4}$

Etapa 4.37

Aplique a regra do produto a $\frac{x}{2}$ .

$\frac{x^{4}}{16} - \frac{y x^{3}}{2} + \frac{3 x^{2} y^{2}}{2} - 2 x y^{3} + \frac{x^{0}}{2^{0}} {(- y)}^{4}$

Etapa 4.38

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$\frac{x^{4}}{16} - \frac{y x^{3}}{2} + \frac{3 x^{2} y^{2}}{2} - 2 x y^{3} + \frac{1}{2^{0}} {(- y)}^{4}$

Etapa 4.39

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$\frac{x^{4}}{16} - \frac{y x^{3}}{2} + \frac{3 x^{2} y^{2}}{2} - 2 x y^{3} + \frac{1}{1} {(- y)}^{4}$

Etapa 4.40

Divida $1$ por $1$ .

$\frac{x^{4}}{16} - \frac{y x^{3}}{2} + \frac{3 x^{2} y^{2}}{2} - 2 x y^{3} + 1 {(- y)}^{4}$

Etapa 4.41

Multiplique ${(- y)}^{4}$ por $1$ .

$\frac{x^{4}}{16} - \frac{y x^{3}}{2} + \frac{3 x^{2} y^{2}}{2} - 2 x y^{3} + {(- y)}^{4}$

Etapa 4.42

Aplique a regra do produto a $- y$ .

$\frac{x^{4}}{16} - \frac{y x^{3}}{2} + \frac{3 x^{2} y^{2}}{2} - 2 x y^{3} + {(- 1)}^{4} y^{4}$

Etapa 4.43

Eleve $- 1$ à potência de $4$ .

$\frac{x^{4}}{16} - \frac{y x^{3}}{2} + \frac{3 x^{2} y^{2}}{2} - 2 x y^{3} + 1 y^{4}$

Etapa 4.44

Multiplique $y^{4}$ por $1$ .

$\frac{x^{4}}{16} - \frac{y x^{3}}{2} + \frac{3 x^{2} y^{2}}{2} - 2 x y^{3} + y^{4}$