Álgebra Exemplos

$\frac{x + 3}{4} + \frac{y - 1}{3} = 1$ , $2 x - y = 12$

Etapa 1

Coloque cada equação do plano na forma padrão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Para escrever $\frac{x + 3}{4}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x + 3}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{y - 1}{3} = 1, 2 x - y = 12$

Etapa 1.1.2

Para escrever $\frac{y - 1}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x + 3}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{y - 1}{3} \cdot \frac{4}{4} = 1, 2 x - y = 12$

Etapa 1.1.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $12$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Multiplique $\frac{x + 3}{4}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{(x + 3) \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{y - 1}{3} \cdot \frac{4}{4} = 1, 2 x - y = 12$

Etapa 1.1.3.2

Multiplique $4$ por $3$ .

$\frac{(x + 3) \cdot 3}{12} + \frac{y - 1}{3} \cdot \frac{4}{4} = 1, 2 x - y = 12$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $\frac{y - 1}{3}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{(x + 3) \cdot 3}{12} + \frac{(y - 1) \cdot 4}{3 \cdot 4} = 1, 2 x - y = 12$

Etapa 1.1.3.4

Multiplique $3$ por $4$ .

$\frac{(x + 3) \cdot 3}{12} + \frac{(y - 1) \cdot 4}{12} = 1, 2 x - y = 12$

Etapa 1.1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{(x + 3) \cdot 3 + (y - 1) \cdot 4}{12} = 1, 2 x - y = 12$

Etapa 1.1.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x \cdot 3 + 3 \cdot 3 + (y - 1) \cdot 4}{12} = 1, 2 x - y = 12$

Etapa 1.1.5.2

Mova $3$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{3 \cdot x + 3 \cdot 3 + (y - 1) \cdot 4}{12} = 1, 2 x - y = 12$

Etapa 1.1.5.3

Multiplique $3$ por $3$ .

$\frac{3 \cdot x + 9 + (y - 1) \cdot 4}{12} = 1, 2 x - y = 12$

Etapa 1.1.5.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 x + 9 + y \cdot 4 - 1 \cdot 4}{12} = 1, 2 x - y = 12$

Etapa 1.1.5.5

Mova $4$ para a esquerda de $y$ .

$\frac{3 x + 9 + 4 \cdot y - 1 \cdot 4}{12} = 1, 2 x - y = 12$

Etapa 1.1.5.6

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\frac{3 x + 9 + 4 \cdot y - 4}{12} = 1, 2 x - y = 12$

Etapa 1.1.5.7

Subtraia $4$ de $9$ .

$\frac{3 x + 4 y + 5}{12} = 1, 2 x - y = 12$

Etapa 1.2

Divida a fração $\frac{3 x + 4 y + 5}{12}$ em duas frações.

$\frac{3 x + 4 y}{12} + \frac{5}{12} = 1$

$2 x - y = 12$

Etapa 1.3

Divida a fração $\frac{3 x + 4 y}{12}$ em duas frações.

$\frac{3 x}{12} + \frac{4 y}{12} + \frac{5}{12} = 1$

$2 x - y = 12$

Etapa 1.4

Cancele o fator comum de $3$ e $12$ .

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Etapa 1.4.1

Fatore $3$ de $3 x$ .

$\frac{3 (x)}{12} + \frac{4 y}{12} + \frac{5}{12} = 1$

$2 x - y = 12$

Etapa 1.4.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.4.2.1

Fatore $3$ de $12$ .

$\frac{3 x}{3 \cdot 4} + \frac{4 y}{12} + \frac{5}{12} = 1$

$2 x - y = 12$

Etapa 1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x}{3 \cdot 4} + \frac{4 y}{12} + \frac{5}{12} = 1$

$2 x - y = 12$

Etapa 1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{x}{4} + \frac{4 y}{12} + \frac{5}{12} = 1$

$2 x - y = 12$

$\frac{x}{4} + \frac{4 y}{12} + \frac{5}{12} = 1$

$2 x - y = 12$

$\frac{x}{4} + \frac{4 y}{12} + \frac{5}{12} = 1$

$2 x - y = 12$

Etapa 1.5

Cancele o fator comum de $4$ e $12$ .

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Etapa 1.5.1

Fatore $4$ de $4 y$ .

$\frac{x}{4} + \frac{4 (y)}{12} + \frac{5}{12} = 1$

$2 x - y = 12$

Etapa 1.5.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.5.2.1

Fatore $4$ de $12$ .

$\frac{x}{4} + \frac{4 y}{4 \cdot 3} + \frac{5}{12} = 1$

$2 x - y = 12$

Etapa 1.5.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{x}{4} + \frac{4 y}{4 \cdot 3} + \frac{5}{12} = 1$

$2 x - y = 12$

Etapa 1.5.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{x}{4} + \frac{y}{3} + \frac{5}{12} = 1$

$2 x - y = 12$

$\frac{x}{4} + \frac{y}{3} + \frac{5}{12} = 1$

$2 x - y = 12$

$\frac{x}{4} + \frac{y}{3} + \frac{5}{12} = 1$

$2 x - y = 12$

Etapa 1.6

Subtraia $\frac{5}{12}$ dos dois lados da equação.

$\frac{x}{4} + \frac{y}{3} = 1 - \frac{5}{12}, 2 x - y = 12$

Etapa 1.7

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.7.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{x}{4} + \frac{y}{3} = \frac{12}{12} - \frac{5}{12}, 2 x - y = 12$

Etapa 1.7.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x}{4} + \frac{y}{3} = \frac{12 - 5}{12}, 2 x - y = 12$

Etapa 1.7.3

Subtraia $5$ de $12$ .

$\frac{x}{4} + \frac{y}{3} = \frac{7}{12}, 2 x - y = 12$

Etapa 2

Para encontrar a intersecção da reta através de um ponto $(p, q, r)$ perpendicular ao plano $P_{1}$ $a x + b y + c z = d$ e ao plano $P_{2}$ $e x + f y + g z = h$ :

1. Encontre os vetores normais do plano $P_{1}$ e do plano $P_{2}$ , em que os vetores normais são $n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ e $n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ . Verifique se o produto escalar é 0.

2. Crie um conjunto de equações paramétricas como $x = p + a t$ , $y = q + b t$ e $z = r + c t$ .

3. Substitua essas equações na equação do plano $P_{2}$ , como $e (p + a t) + f (q + b t) + g (r + c t) = h$ , e resolva $t$ .

4. Usando o valor de $t$ , resolva as equações paramétricas $x = p + a t$ , $y = q + b t$ e $z = r + c t$ para $t$ para encontrar a intersecção $(x, y, z)$ .

Etapa 3

Encontre os vetores normais de cada plano e determine se eles são perpendiculares ao calcular o produto escalar.

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Etapa 3.1

$P_{1}$ é $\frac{x}{4} + \frac{y}{3} = \frac{7}{12}$ . Encontre o vetor normal $n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ da equação do plano da forma $a x + b y + c z = d$ .

$n_{1} = ⟨ \frac{1}{4}, \frac{1}{3}, 0 ⟩$

Etapa 3.2

$P_{2}$ é $2 x - y = 12$ . Encontre o vetor normal $n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ da equação do plano da forma $e x + f y + g z = h$ .

$n_{2} = ⟨ 2, - 1, 0 ⟩$

Etapa 3.3

Calcule o produto escalar de $n_{1}$ e $n_{2}$ com a soma dos produtos dos valores de $x$ , $y$ e $z$ correspondentes nos vetores normais.

$\frac{1}{4} \cdot 2 + \frac{1}{3} \cdot - 1 + 0 \cdot 0$

Etapa 3.4

Simplifique o produto escalar.

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Etapa 3.4.1

Remova os parênteses.

$\frac{1}{4} \cdot 2 + \frac{1}{3} \cdot - 1 + 0 \cdot 0$

Etapa 3.4.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.4.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.4.2.1.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{1}{2 (2)} \cdot 2 + \frac{1}{3} \cdot - 1 + 0 \cdot 0$

Etapa 3.4.2.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2 \cdot 2} \cdot 2 + \frac{1}{3} \cdot - 1 + 0 \cdot 0$

Etapa 3.4.2.1.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot - 1 + 0 \cdot 0$

Etapa 3.4.2.2

Combine $\frac{1}{3}$ e $- 1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{- 1}{3} + 0 \cdot 0$

Etapa 3.4.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} - \frac{1}{3} + 0 \cdot 0$

Etapa 3.4.2.4

Multiplique $0$ por $0$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{3} + 0$

Etapa 3.4.3

Para escrever $\frac{1}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3} + 0$

Etapa 3.4.4

Para escrever $- \frac{1}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} + 0$

Etapa 3.4.5

Escreva cada expressão com um denominador comum de $6$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 3.4.5.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3}{2 \cdot 3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} + 0$

Etapa 3.4.5.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{3}{6} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} + 0$

Etapa 3.4.5.3

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{6} - \frac{2}{3 \cdot 2} + 0$

Etapa 3.4.5.4

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{3}{6} - \frac{2}{6} + 0$

Etapa 3.4.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{3 - 2}{6} + 0$

Etapa 3.4.7

Subtraia $2$ de $3$ .

$\frac{1}{6} + 0$

Etapa 3.4.8

Some $\frac{1}{6}$ e $0$ .

$\frac{1}{6}$

Etapa 4

Em seguida, crie um conjunto de equações paramétricas $x = p + a t$ , $y = q + b t$ e $z = r + c t$ usando a origem $(0, 0, 0)$ para o ponto $(p, q, r)$ e os valores do vetor normal $\frac{1}{6}$ para os valores de $a$ , $b$ e $c$ . Esse conjunto de equações paramétricas representa a reta através da origem que é perpendicular a $P_{1}$ $\frac{x}{4} + \frac{y}{3} = \frac{7}{12}$ .

$x = 0 + \frac{1}{4} t$

$y = 0 + \frac{1}{3} t$

$z = 0 + 0 \cdot t$

Etapa 5

Substitua a expressão de $x$ , $y$ e $z$ na equação por $P_{2}$ $2 x - y = 12$ .

$2 (0 + \frac{1}{4} t) - (0 + \frac{1}{3} t) = 12$

Etapa 6

Resolva a equação para $t$ .

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Etapa 6.1

Simplifique $2 (0 + \frac{1}{4} t) - (0 + \frac{1}{3} t)$ .

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Etapa 6.1.1

Combine os termos opostos em $2 (0 + \frac{1}{4} t) - (0 + \frac{1}{3} t)$ .

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Etapa 6.1.1.1

Some $0$ e $\frac{1}{4} t$ .

$2 (\frac{1}{4} t) - (0 + \frac{1}{3} t) = 12$

Etapa 6.1.1.2

Some $0$ e $\frac{1}{3} t$ .

$2 (\frac{1}{4} t) - (\frac{1}{3} t) = 12$

Etapa 6.1.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.1.2.1

Combine $\frac{1}{4}$ e $t$ .

$2 \frac{t}{4} - (\frac{1}{3} t) = 12$

Etapa 6.1.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.1.2.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$2 \frac{t}{2 (2)} - (\frac{1}{3} t) = 12$

Etapa 6.1.2.2.2

Cancele o fator comum.

$2 \frac{t}{2 \cdot 2} - (\frac{1}{3} t) = 12$

Etapa 6.1.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{t}{2} - (\frac{1}{3} t) = 12$

Etapa 6.1.2.3

Combine $\frac{1}{3}$ e $t$ .

$\frac{t}{2} - \frac{t}{3} = 12$

Etapa 6.1.3

Para escrever $\frac{t}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{t}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{t}{3} = 12$

Etapa 6.1.4

Para escrever $- \frac{t}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{t}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{t}{3} \cdot \frac{2}{2} = 12$

Etapa 6.1.5

Escreva cada expressão com um denominador comum de $6$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 6.1.5.1

Multiplique $\frac{t}{2}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{t \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{t}{3} \cdot \frac{2}{2} = 12$

Etapa 6.1.5.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{t \cdot 3}{6} - \frac{t}{3} \cdot \frac{2}{2} = 12$

Etapa 6.1.5.3

Multiplique $\frac{t}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{t \cdot 3}{6} - \frac{t \cdot 2}{3 \cdot 2} = 12$

Etapa 6.1.5.4

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{t \cdot 3}{6} - \frac{t \cdot 2}{6} = 12$

Etapa 6.1.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{t \cdot 3 - t \cdot 2}{6} = 12$

Etapa 6.1.7

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.7.1

Fatore $t$ de $t \cdot 3 - t \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.7.1.1

Fatore $t$ de $t \cdot 3$ .

$\frac{t (3) - t \cdot 2}{6} = 12$

Etapa 6.1.7.1.2

Fatore $t$ de $- t \cdot 2$ .

$\frac{t (3) + t (- 1 \cdot 2)}{6} = 12$

Etapa 6.1.7.1.3

Fatore $t$ de $t (3) + t (- 1 \cdot 2)$ .

$\frac{t (3 - 1 \cdot 2)}{6} = 12$

Etapa 6.1.7.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{t (3 - 2)}{6} = 12$

Etapa 6.1.7.3

Subtraia $2$ de $3$ .

$\frac{t \cdot 1}{6} = 12$

Etapa 6.1.8

Multiplique $t$ por $1$ .

$\frac{t}{6} = 12$

Etapa 6.2

Multiplique os dois lados da equação por $6$ .

$6 \frac{t}{6} = 6 \cdot 12$

Etapa 6.3

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 6.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1.1

Cancele o fator comum de $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$6 \frac{t}{6} = 6 \cdot 12$

Etapa 6.3.1.1.2

Reescreva a expressão.

$t = 6 \cdot 12$

Etapa 6.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1

Multiplique $6$ por $12$ .

$t = 72$

Etapa 7

Resolva as equações paramétricas para $x$ , $y$ e $z$ usando o valor de $t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $72$ .

$x = 0 + \frac{1}{4} \cdot 72$

Etapa 7.1.2

Remova os parênteses.

$x = 0 + \frac{1}{4} \cdot (72)$

Etapa 7.1.3

Simplifique $0 + \frac{1}{4} \cdot (72)$ .

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Etapa 7.1.3.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.3.1.1

Fatore $4$ de $72$ .

$x = 0 + \frac{1}{4} \cdot (4 (18))$

Etapa 7.1.3.1.2

Cancele o fator comum.

$x = 0 + \frac{1}{4} \cdot (4 \cdot 18)$

Etapa 7.1.3.1.3

Reescreva a expressão.

$x = 0 + 18$

Etapa 7.1.3.2

Some $0$ e $18$ .

$x = 18$

Etapa 7.2

Resolva a equação para $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $72$ .

$y = 0 + \frac{1}{3} \cdot 72$

Etapa 7.2.2

Remova os parênteses.

$y = 0 + \frac{1}{3} \cdot (72)$

Etapa 7.2.3

Simplifique $0 + \frac{1}{3} \cdot (72)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.3.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.3.1.1

Fatore $3$ de $72$ .

$y = 0 + \frac{1}{3} \cdot (3 (24))$

Etapa 7.2.3.1.2

Cancele o fator comum.

$y = 0 + \frac{1}{3} \cdot (3 \cdot 24)$

Etapa 7.2.3.1.3

Reescreva a expressão.

$y = 0 + 24$

Etapa 7.2.3.2

Some $0$ e $24$ .

$y = 24$

Etapa 7.3

Resolva a equação para $z$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1

Remova os parênteses.

$z = 0 + 0 \cdot (72)$

Etapa 7.3.2

Simplifique $0 + 0 \cdot (72)$ .

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Etapa 7.3.2.1

Multiplique $0$ por $72$ .

$z = 0 + 0$

Etapa 7.3.2.2

Some $0$ e $0$ .

$z = 0$

Etapa 7.4

As equações paramétricas resolvidas para $x$ , $y$ e $z$ .

$x = 18$

$y = 24$

$z = 0$

$x = 18$

$y = 24$

$z = 0$

Etapa 8

Usando os valores calculados para $x$ , $y$ e $z$ , o ponto de intersecção encontrado é $(18, 24, 0)$ .

$(18, 24, 0)$