Álgebra Exemplos

$e^{- x^{2}}$

Etapa 1

Escreva $e^{- x^{2}}$ como uma função.

$f (x) = e^{- x^{2}}$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- x^{2}$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 2.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$e^{- x^{2}} (- (2 x))$

Etapa 2.2.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$e^{- x^{2}} (- 2 x)$

Etapa 2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Reordene os fatores de $e^{- x^{2}} (- 2 x)$ .

$- 2 e^{- x^{2}} x$

Etapa 2.3.2

Reordene os fatores em $- 2 e^{- x^{2}} x$ .

$- 2 x e^{- x^{2}}$

Etapa 3

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 3.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x e^{- x^{2}}$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x e^{- x^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} (x e^{- x^{2}})$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = e^{- x^{2}}$ .

$f'' (x) = - 2 (x \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x^{2}$ .

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Etapa 3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- x^{2}$ .

$f'' (x) = - 2 (x (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - 2 (x (e^{u} \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- x^{2}$ .

$f'' (x) = - 2 (x (e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 3.4

Diferencie.

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Etapa 3.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 2 (x (e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = - 2 (x (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 3.4.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 (x (e^{- x^{2}} (- 2 x)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 3.5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = - 2 (x \cdot x (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 3.6

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = - 2 (x \cdot x (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 3.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = - 2 (x^{1 + 1} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 3.8

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.8.1

Some $1$ e $1$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 3.8.2

Mova $- 2$ para a esquerda de $e^{- x^{2}}$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{2} (- 2 \cdot e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 3.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{2} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \cdot 1)$

Etapa 3.10

Multiplique $e^{- x^{2}}$ por $1$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{2} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}})$

Etapa 3.11

Simplifique.

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Etapa 3.11.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - 2 (x^{2} (- 2 e^{- x^{2}})) - 2 e^{- x^{2}}$

Etapa 3.11.2

Multiplique $- 2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = 4 x^{2} e^{- x^{2}} - 2 e^{- x^{2}}$

Etapa 3.11.3

Reordene os termos.

$f'' (x) = 4 e^{- x^{2}} x^{2} - 2 e^{- x^{2}}$

Etapa 3.11.4

Reordene os fatores em $4 e^{- x^{2}} x^{2} - 2 e^{- x^{2}}$ .

$f'' (x) = 4 x^{2} e^{- x^{2}} - 2 e^{- x^{2}}$

Etapa 4

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$- 2 x e^{- x^{2}} = 0$

Etapa 5

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 5.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x^{2}$ .

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Etapa 5.1.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x^{2})$

Etapa 5.1.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$f' (x) = e^{u} \frac{d}{d x} (- x^{2})$

Etapa 5.1.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- x^{2}$ .

$f' (x) = e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2})$

Etapa 5.1.2

Diferencie.

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Etapa 5.1.2.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} x^{2})$

Etapa 5.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = e^{- x^{2}} (- (2 x))$

Etapa 5.1.2.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f' (x) = e^{- x^{2}} (- 2 x)$

Etapa 5.1.3

Simplifique.

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Etapa 5.1.3.1

Reordene os fatores de $e^{- x^{2}} (- 2 x)$ .

$f' (x) = - 2 e^{- x^{2}} x$

Etapa 5.1.3.2

Reordene os fatores em $- 2 e^{- x^{2}} x$ .

$f' (x) = - 2 x e^{- x^{2}}$

Etapa 5.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- 2 x e^{- x^{2}}$ .

$- 2 x e^{- x^{2}}$

Etapa 6

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- 2 x e^{- x^{2}} = 0$ .

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Etapa 6.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- 2 x e^{- x^{2}} = 0$

Etapa 6.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$e^{- x^{2}} = 0$

Etapa 6.3

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 6.4

Defina $e^{- x^{2}}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 6.4.1

Defina $e^{- x^{2}}$ como igual a $0$ .

$e^{- x^{2}} = 0$

Etapa 6.4.2

Resolva $e^{- x^{2}} = 0$ para $x$ .

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Etapa 6.4.2.1

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{- x^{2}}) = \ln (0)$

Etapa 6.4.2.2

Não é possível resolver a equação, porque $\ln (0)$ é indefinida.

Indefinido

Etapa 6.4.2.3

Não há uma solução para $e^{- x^{2}} = 0$

Nenhuma solução

Etapa 6.5

A solução final são todos os valores que tornam $- 2 x e^{- x^{2}} = 0$ verdadeiro.

$x = 0$

Etapa 7

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 7.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 8

Pontos críticos para avaliar.

$x = 0$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada em $x = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$4 {(0)}^{2} e^{- {(0)}^{2}} - 2 e^{- {(0)}^{2}}$

Etapa 10

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 10.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 10.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$4 \cdot 0 e^{- {(0)}^{2}} - 2 e^{- {(0)}^{2}}$

Etapa 10.1.2

Multiplique $4$ por $0$ .

$0 e^{- {(0)}^{2}} - 2 e^{- {(0)}^{2}}$

Etapa 10.1.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 e^{- 0} - 2 e^{- {(0)}^{2}}$

Etapa 10.1.4

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$0 e^{0} - 2 e^{- {(0)}^{2}}$

Etapa 10.1.5

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$0 \cdot 1 - 2 e^{- {(0)}^{2}}$

Etapa 10.1.6

Multiplique $0$ por $1$ .

$0 - 2 e^{- {(0)}^{2}}$

Etapa 10.1.7

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 - 2 e^{- 0}$

Etapa 10.1.8

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$0 - 2 e^{0}$

Etapa 10.1.9

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$0 - 2 \cdot 1$

Etapa 10.1.10

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$0 - 2$

Etapa 10.2

Subtraia $2$ de $0$ .

$- 2$

Etapa 11

$x = 0$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 0$ é um máximo local

Etapa 12

Encontre o valor y quando $x = 0$ .

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Etapa 12.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = e^{- {(0)}^{2}}$

Etapa 12.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 12.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = e^{- 0}$

Etapa 12.2.2

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$f (0) = e^{0}$

Etapa 12.2.3

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$f (0) = 1$

Etapa 12.2.4

A resposta final é $1$ .

$y = 1$

Etapa 13

Esses são os extremos locais para $f (x) = e^{- x^{2}}$ .

$(0, 1)$ é um máximo local

Etapa 14