Álgebra Exemplos

$r = m^{2} (\frac{c}{2} - \frac{m}{3})$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d r} (r) = \frac{d}{d r} (m^{2} (\frac{c}{2} - \frac{m}{3}))$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ é $n r^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d r} [f (r) g (r)]$ é $f (r) \frac{d}{d r} [g (r)] + g (r) \frac{d}{d r} [f (r)]$ , em que $f (r) = m^{2}$ e $g (r) = \frac{c}{2} - \frac{m}{3}$ .

$m^{2} \frac{d}{d r} [\frac{c}{2} - \frac{m}{3}] + (\frac{c}{2} - \frac{m}{3}) \frac{d}{d r} [m^{2}]$

Etapa 3.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{c}{2} - \frac{m}{3}$ com relação a $r$ é $\frac{d}{d r} [\frac{c}{2}] + \frac{d}{d r} [- \frac{m}{3}]$ .

$m^{2} (\frac{d}{d r} [\frac{c}{2}] + \frac{d}{d r} [- \frac{m}{3}]) + (\frac{c}{2} - \frac{m}{3}) \frac{d}{d r} [m^{2}]$

Etapa 3.2.2

Como $\frac{c}{2}$ é constante em relação a $r$ , a derivada de $\frac{c}{2}$ em relação a $r$ é $0$ .

$m^{2} (0 + \frac{d}{d r} [- \frac{m}{3}]) + (\frac{c}{2} - \frac{m}{3}) \frac{d}{d r} [m^{2}]$

Etapa 3.2.3

Some $0$ e $\frac{d}{d r} [- \frac{m}{3}]$ .

$m^{2} \frac{d}{d r} [- \frac{m}{3}] + (\frac{c}{2} - \frac{m}{3}) \frac{d}{d r} [m^{2}]$

Etapa 3.2.4

Como $- \frac{1}{3}$ é constante em relação a $r$ , a derivada de $- \frac{m}{3}$ em relação a $r$ é $- \frac{1}{3} \frac{d}{d r} [m]$ .

$m^{2} (- \frac{1}{3} \frac{d}{d r} [m]) + (\frac{c}{2} - \frac{m}{3}) \frac{d}{d r} [m^{2}]$

Etapa 3.2.5

Combine $m^{2}$ e $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{m^{2}}{3} \frac{d}{d r} [m] + (\frac{c}{2} - \frac{m}{3}) \frac{d}{d r} [m^{2}]$

Etapa 3.3

Reescreva $\frac{d}{d r} [m]$ como $m'$ .

$- \frac{m^{2}}{3} m' + (\frac{c}{2} - \frac{m}{3}) \frac{d}{d r} [m^{2}]$

Etapa 3.4

Combine $m'$ e $\frac{m^{2}}{3}$ .

$- \frac{m' m^{2}}{3} + (\frac{c}{2} - \frac{m}{3}) \frac{d}{d r} [m^{2}]$

Etapa 3.5

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d r} [f (g (r))]$ é $f' (g (r)) g' (r)$ , em que $f (r) = r^{2}$ e $g (r) = m$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $m$ .

$- \frac{m' m^{2}}{3} + (\frac{c}{2} - \frac{m}{3}) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d r} [m])$

Etapa 3.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- \frac{m' m^{2}}{3} + (\frac{c}{2} - \frac{m}{3}) (2 u \frac{d}{d r} [m])$

Etapa 3.5.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $m$ .

$- \frac{m' m^{2}}{3} + (\frac{c}{2} - \frac{m}{3}) (2 m \frac{d}{d r} [m])$

Etapa 3.6

Mova $2$ para a esquerda de $\frac{c}{2} - \frac{m}{3}$ .

$- \frac{m' m^{2}}{3} + 2 \cdot (\frac{c}{2} - \frac{m}{3}) m \frac{d}{d r} [m]$

Etapa 3.7

Reescreva $\frac{d}{d r} [m]$ como $m'$ .

$- \frac{m' m^{2}}{3} + 2 (\frac{c}{2} - \frac{m}{3}) m m'$

Etapa 3.8

Reordene os fatores de $2 (\frac{c}{2} - \frac{m}{3}) m m'$ .

$- \frac{m' m^{2}}{3} + 2 m m' (\frac{c}{2} - \frac{m}{3})$

Etapa 3.9

Para escrever $2 m m' (\frac{c}{2} - \frac{m}{3})$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{m' m^{2}}{3} + 2 m m' (\frac{c}{2} - \frac{m}{3}) \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 3.10

Combine $2 m m' (\frac{c}{2} - \frac{m}{3})$ e $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{m' m^{2}}{3} + \frac{2 m m' (\frac{c}{2} - \frac{m}{3}) \cdot 3}{3}$

Etapa 3.11

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- m' m^{2} + 2 m m' (\frac{c}{2} - \frac{m}{3}) \cdot 3}{3}$

Etapa 3.12

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{- m' m^{2} + 6 m m' (\frac{c}{2} - \frac{m}{3})}{3}$

Etapa 3.13

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.13.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- m' m^{2} + 6 m m' \frac{c}{2} + 6 m m' (- \frac{m}{3})}{3}$

Etapa 3.13.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.13.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.13.2.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.13.2.1.1.1

Fatore $2$ de $6 m m'$ .

$\frac{- m' m^{2} + 2 (3 m m') \frac{c}{2} + 6 m m' (- \frac{m}{3})}{3}$

Etapa 3.13.2.1.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{- m' m^{2} + 2 (3 m m') \frac{c}{2} + 6 m m' (- \frac{m}{3})}{3}$

Etapa 3.13.2.1.1.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- m' m^{2} + 3 m m' c + 6 m m' (- \frac{m}{3})}{3}$

Etapa 3.13.2.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.13.2.1.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{m}{3}$ para o numerador.

$\frac{- m' m^{2} + 3 m m' c + 6 m m' \frac{- m}{3}}{3}$

Etapa 3.13.2.1.2.2

Fatore $3$ de $6 m m'$ .

$\frac{- m' m^{2} + 3 m m' c + 3 (2 m m') \frac{- m}{3}}{3}$

Etapa 3.13.2.1.2.3

Cancele o fator comum.

$\frac{- m' m^{2} + 3 m m' c + 3 (2 m m') \frac{- m}{3}}{3}$

Etapa 3.13.2.1.2.4

Reescreva a expressão.

$\frac{- m' m^{2} + 3 m m' c + 2 m m' (- m)}{3}$

Etapa 3.13.2.1.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{- m' m^{2} + 3 m m' c - 2 m m' m}{3}$

Etapa 3.13.2.1.4

Eleve $m$ à potência de $1$ .

$\frac{- m' m^{2} + 3 m m' c - 2 (m^{1} m) m'}{3}$

Etapa 3.13.2.1.5

Eleve $m$ à potência de $1$ .

$\frac{- m' m^{2} + 3 m m' c - 2 (m^{1} m^{1}) m'}{3}$

Etapa 3.13.2.1.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{- m' m^{2} + 3 m m' c - 2 m^{1 + 1} m'}{3}$

Etapa 3.13.2.1.7

Some $1$ e $1$ .

$\frac{- m' m^{2} + 3 m m' c - 2 m^{2} m'}{3}$

Etapa 3.13.2.2

Subtraia $2 m^{2} m'$ de $- m' m^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.13.2.2.1

Mova $m'$ .

$\frac{- m^{2} m' - 2 m^{2} m' + 3 m m' c}{3}$

Etapa 3.13.2.2.2

Subtraia $2 m^{2} m'$ de $- m^{2} m'$ .

$\frac{- 3 m^{2} m' + 3 m m' c}{3}$

Etapa 3.13.2.3

Reordene os fatores em $- 3 m^{2} m' + 3 m m' c$ .

$\frac{- 3 m^{2} m' + 3 m c m'}{3}$

Etapa 3.13.3

Reordene os termos.

$\frac{- 3 m^{2} m' + 3 c m m'}{3}$

Etapa 3.13.4

Fatore $3 m m'$ de $- 3 m^{2} m' + 3 c m m'$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.13.4.1

Fatore $3 m m'$ de $- 3 m^{2} m'$ .

$\frac{3 m m' (- m) + 3 c m m'}{3}$

Etapa 3.13.4.2

Fatore $3 m m'$ de $3 c m m'$ .

$\frac{3 m m' (- m) + 3 m m' (c)}{3}$

Etapa 3.13.4.3

Fatore $3 m m'$ de $3 m m' (- m) + 3 m m' (c)$ .

$\frac{3 m m' (- m + c)}{3}$

Etapa 3.13.5

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.13.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 m m' (- m + c)}{3}$

Etapa 3.13.5.2

Divida $m m' (- m + c)$ por $1$ .

$m m' (- m + c)$

Etapa 3.13.6

Aplique a propriedade distributiva.

$m m' (- m) + m m' c$

Etapa 3.13.7

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$- m m' m + m m' c$

Etapa 3.13.8

Multiplique $m$ por $m$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.13.8.1

Mova $m$ .

$- (m \cdot m) m' + m m' c$

Etapa 3.13.8.2

Multiplique $m$ por $m$ .

$- m^{2} m' + m m' c$

Etapa 3.13.9

Reordene os fatores em $- m^{2} m' + m m' c$ .

$- m^{2} m' + m c m'$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$1 = - m^{2} m' + m c m'$

Etapa 5

Resolva $m'$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Reescreva a equação como $- m^{2} m' + m c m' = 1$ .

$- m^{2} m' + m c m' = 1$

Etapa 5.2

Fatore $m m'$ de $- m^{2} m' + m c m'$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Fatore $m m'$ de $- m^{2} m'$ .

$m m' (- m) + m c m' = 1$

Etapa 5.2.2

Fatore $m m'$ de $m c m'$ .

$m m' (- m) + m m' c = 1$

Etapa 5.2.3

Fatore $m m'$ de $m m' (- m) + m m' c$ .

$m m' (- m + c) = 1$

Etapa 5.3

Divida cada termo em $m m' (- m + c) = 1$ por $m (- m + c)$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Divida cada termo em $m m' (- m + c) = 1$ por $m (- m + c)$ .

$\frac{m m' (- m + c)}{m (- m + c)} = \frac{1}{m (- m + c)}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1

Cancele o fator comum de $m$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{m m' (- m + c)}{m (- m + c)} = \frac{1}{m (- m + c)}$

Etapa 5.3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{m' (- m + c)}{- m + c} = \frac{1}{m (- m + c)}$

Etapa 5.3.2.2

Cancele o fator comum de $- m + c$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{m' (- m + c)}{- m + c} = \frac{1}{m (- m + c)}$

Etapa 5.3.2.2.2

Divida $m'$ por $1$ .

$m' = \frac{1}{m (- m + c)}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1

Fatore $- 1$ de $- m$ .

$m' = \frac{1}{m (- (m) + c)}$

Etapa 5.3.3.2

Fatore $- 1$ de $c$ .

$m' = \frac{1}{m (- (m) - 1 (- c))}$

Etapa 5.3.3.3

Fatore $- 1$ de $- (m) - 1 (- c)$ .

$m' = \frac{1}{m (- (m - c))}$

Etapa 5.3.3.4

Reescreva os negativos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.4.1

Reescreva $- (m - c)$ como $- 1 (m - c)$ .

$m' = \frac{1}{m (- 1 (m - c))}$

Etapa 5.3.3.4.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$m' = - \frac{1}{m (m - c)}$

Etapa 6

Substitua $m'$ por $\frac{d m}{d r}$ .

$\frac{d m}{d r} = - \frac{1}{m (m - c)}$