Álgebra Exemplos

$x^{3} e^{x}$

Etapa 1

Escreva $x^{3} e^{x}$ como uma função.

$f (x) = x^{3} e^{x}$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = e^{x}$ .

$x^{3} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$x^{3} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2})$

Etapa 2.1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.4.1

Reordene os termos.

$e^{x} x^{3} + 3 e^{x} x^{2}$

Etapa 2.1.4.2

Reordene os fatores em $e^{x} x^{3} + 3 e^{x} x^{2}$ .

$f' (x) = x^{3} e^{x} + 3 x^{2} e^{x}$

Etapa 2.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $x^{3} e^{x} + 3 x^{2} e^{x}$ .

$x^{3} e^{x} + 3 x^{2} e^{x}$

Etapa 3

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $x^{3} e^{x} + 3 x^{2} e^{x} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$x^{3} e^{x} + 3 x^{2} e^{x} = 0$

Etapa 3.2

Fatore $x^{2} e^{x}$ de $x^{3} e^{x} + 3 x^{2} e^{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Fatore $x^{2} e^{x}$ de $x^{3} e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} (x) + 3 x^{2} e^{x} = 0$

Etapa 3.2.2

Fatore $x^{2} e^{x}$ de $3 x^{2} e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} (x) + x^{2} e^{x} (3) = 0$

Etapa 3.2.3

Fatore $x^{2} e^{x}$ de $x^{2} e^{x} (x) + x^{2} e^{x} (3)$ .

$x^{2} e^{x} (x + 3) = 0$

Etapa 3.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

$e^{x} = 0$

$x + 3 = 0$

Etapa 3.4

Defina $x^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Defina $x^{2}$ como igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

Etapa 3.4.2

Resolva $x^{2} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Etapa 3.4.2.2

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

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Etapa 3.4.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 3.4.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Etapa 3.4.2.2.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 3.5

Defina $e^{x}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.5.1

Defina $e^{x}$ como igual a $0$ .

$e^{x} = 0$

Etapa 3.5.2

Resolva $e^{x} = 0$ para $x$ .

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Etapa 3.5.2.1

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Etapa 3.5.2.2

Não é possível resolver a equação, porque $\ln (0)$ é indefinida.

Indefinido

Etapa 3.5.2.3

Não há uma solução para $e^{x} = 0$

Nenhuma solução

Etapa 3.6

Defina $x + 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.6.1

Defina $x + 3$ como igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Etapa 3.6.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$x = - 3$

Etapa 3.7

A solução final são todos os valores que tornam $x^{2} e^{x} (x + 3) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, - 3$

Etapa 4

Os valores, que tornam a derivada igual a $0$ , são $0, - 3$ .

$0, - 3$

Etapa 5

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 0) \cup (0, \infty)$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, - 3)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 4$ na expressão.

$f' (- 4) = {(- 4)}^{3} e^{- 4} + 3 {(- 4)}^{2} e^{- 4}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.2.1.1

Eleve $- 4$ à potência de $3$ .

$f' (- 4) = - 64 e^{- 4} + 3 {(- 4)}^{2} e^{- 4}$

Etapa 6.2.1.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 4) = - 64 \frac{1}{e^{4}} + 3 {(- 4)}^{2} e^{- 4}$

Etapa 6.2.1.3

Combine $- 64$ e $\frac{1}{e^{4}}$ .

$f' (- 4) = \frac{- 64}{e^{4}} + 3 {(- 4)}^{2} e^{- 4}$

Etapa 6.2.1.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (- 4) = - \frac{64}{e^{4}} + 3 {(- 4)}^{2} e^{- 4}$

Etapa 6.2.1.5

Eleve $- 4$ à potência de $2$ .

$f' (- 4) = - \frac{64}{e^{4}} + 3 \cdot (16 e^{- 4})$

Etapa 6.2.1.6

Multiplique $3$ por $16$ .

$f' (- 4) = - \frac{64}{e^{4}} + 48 e^{- 4}$

Etapa 6.2.1.7

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 4) = - \frac{64}{e^{4}} + 48 (\frac{1}{e^{4}})$

Etapa 6.2.1.8

Combine $48$ e $\frac{1}{e^{4}}$ .

$f' (- 4) = - \frac{64}{e^{4}} + \frac{48}{e^{4}}$

Etapa 6.2.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (- 4) = \frac{- 64 + 48}{e^{4}}$

Etapa 6.2.2.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 6.2.2.2.1

Some $- 64$ e $48$ .

$f' (- 4) = \frac{- 16}{e^{4}}$

Etapa 6.2.2.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (- 4) = - \frac{16}{e^{4}}$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $- \frac{16}{e^{4}}$ .

$- \frac{16}{e^{4}}$

Etapa 6.3

Em $x = - 4$ , a derivada é $- \frac{16}{e^{4}}$ . Por ser negativa, a função diminui em $(- \infty, - 3)$ .

Decréscimo em $(- \infty, - 3)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(- 3, 0)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $- \frac{3}{2}$ na expressão.

$f' (- \frac{3}{2}) = {(- \frac{3}{2})}^{3} e^{- \frac{3}{2}} + 3 {(- \frac{3}{2})}^{2} e^{- \frac{3}{2}}$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.2.1.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

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Etapa 7.2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{3}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = {(- 1)}^{3} {(\frac{3}{2})}^{3} e^{- \frac{3}{2}} + 3 {(- \frac{3}{2})}^{2} e^{- \frac{3}{2}}$

Etapa 7.2.1.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{3}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = {(- 1)}^{3} (\frac{3^{3}}{2^{3}}) \cdot e^{- \frac{3}{2}} + 3 {(- \frac{3}{2})}^{2} e^{- \frac{3}{2}}$

Etapa 7.2.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{3^{3}}{2^{3}} \cdot e^{- \frac{3}{2}} + 3 {(- \frac{3}{2})}^{2} e^{- \frac{3}{2}}$

Etapa 7.2.1.3

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2^{3}} \cdot e^{- \frac{3}{2}} + 3 {(- \frac{3}{2})}^{2} e^{- \frac{3}{2}}$

Etapa 7.2.1.4

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{8} \cdot e^{- \frac{3}{2}} + 3 {(- \frac{3}{2})}^{2} e^{- \frac{3}{2}}$

Etapa 7.2.1.5

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{8} \cdot \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}} + 3 {(- \frac{3}{2})}^{2} e^{- \frac{3}{2}}$

Etapa 7.2.1.6

Multiplique $\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}$ por $\frac{27}{8}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{e^{\frac{3}{2}} \cdot 8} + 3 {(- \frac{3}{2})}^{2} e^{- \frac{3}{2}}$

Etapa 7.2.1.7

Mova $8$ para a esquerda de $e^{\frac{3}{2}}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{8 \cdot e^{\frac{3}{2}}} + 3 {(- \frac{3}{2})}^{2} e^{- \frac{3}{2}}$

Etapa 7.2.1.8

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

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Etapa 7.2.1.8.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{3}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{8 e^{\frac{3}{2}}} + 3 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2}) e^{- \frac{3}{2}}$

Etapa 7.2.1.8.2

Aplique a regra do produto a $\frac{3}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{8 e^{\frac{3}{2}}} + 3 ({(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{2^{2}})) \cdot e^{- \frac{3}{2}}$

Etapa 7.2.1.9

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{8 e^{\frac{3}{2}}} + 3 (1 (\frac{3^{2}}{2^{2}})) \cdot e^{- \frac{3}{2}}$

Etapa 7.2.1.10

Multiplique $\frac{3^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{8 e^{\frac{3}{2}}} + 3 (\frac{3^{2}}{2^{2}}) \cdot e^{- \frac{3}{2}}$

Etapa 7.2.1.11

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{8 e^{\frac{3}{2}}} + 3 (\frac{9}{2^{2}}) \cdot e^{- \frac{3}{2}}$

Etapa 7.2.1.12

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{8 e^{\frac{3}{2}}} + 3 (\frac{9}{4}) \cdot e^{- \frac{3}{2}}$

Etapa 7.2.1.13

Multiplique $3 (\frac{9}{4})$ .

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Etapa 7.2.1.13.1

Combine $3$ e $\frac{9}{4}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{8 e^{\frac{3}{2}}} + \frac{3 \cdot 9}{4} \cdot e^{- \frac{3}{2}}$

Etapa 7.2.1.13.2

Multiplique $3$ por $9$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{8 e^{\frac{3}{2}}} + \frac{27}{4} \cdot e^{- \frac{3}{2}}$

Etapa 7.2.1.14

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{8 e^{\frac{3}{2}}} + \frac{27}{4} \cdot \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 7.2.1.15

Combine.

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{8 e^{\frac{3}{2}}} + \frac{27 \cdot 1}{4 e^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 7.2.1.16

Multiplique $27$ por $1$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{8 e^{\frac{3}{2}}} + \frac{27}{4 e^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 7.2.2

Para escrever $\frac{27}{4 e^{\frac{3}{2}}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{8 e^{\frac{3}{2}}} + \frac{27}{4 e^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 7.2.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $8 e^{\frac{3}{2}}$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 7.2.3.1

Multiplique $\frac{27}{4 e^{\frac{3}{2}}}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{8 e^{\frac{3}{2}}} + \frac{27 \cdot 2}{4 e^{\frac{3}{2}} \cdot 2}$

Etapa 7.2.3.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{8 e^{\frac{3}{2}}} + \frac{27 \cdot 2}{8 e^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 7.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 27 + 27 \cdot 2}{8 e^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 7.2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.2.5.1

Multiplique $27$ por $2$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 27 + 54}{8 e^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 7.2.5.2

Some $- 27$ e $54$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{27}{8 e^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 7.2.6

A resposta final é $\frac{27}{8 e^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{27}{8 e^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 7.3

Em $x = - \frac{3}{2}$ , a derivada é $\frac{27}{8 e^{\frac{3}{2}}}$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(- 3, 0)$ .

Acréscimo em $(- 3, 0)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 8

Substitua um valor do intervalo $(0, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 8.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f' (1) = {(1)}^{3} e^{1} + 3 {(1)}^{2} e^{1}$

Etapa 8.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$f' (1) = 1 e + 3 {(1)}^{2} e$

Etapa 8.2.1.2

Multiplique $e^{1}$ por $1$ .

$f' (1) = e + 3 {(1)}^{2} e$

Etapa 8.2.1.3

Simplifique.

$f' (1) = e + 3 {(1)}^{2} e$

Etapa 8.2.1.4

Um elevado a qualquer potência é um.

$f' (1) = e + 3 \cdot (1 e)$

Etapa 8.2.1.5

Multiplique $3$ por $1$ .

$f' (1) = e + 3 e$

Etapa 8.2.1.6

Simplifique.

$f' (1) = e + 3 e$

Etapa 8.2.2

Some $e$ e $3 e$ .

$f' (1) = 4 e$

Etapa 8.2.3

A resposta final é $4 e$ .

$4 e$

Etapa 8.3

Em $x = 1$ , a derivada é $4 e$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(0, \infty)$ .

Acréscimo em $(0, \infty)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 9

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Acréscimo em: $(- 3, 0), (0, \infty)$

Decréscimo em: $(- \infty, - 3)$

Etapa 10