Álgebra Exemplos

${(a + (- b + c))}^{3}$

Etapa 1

Use o teorema da expansão binomial para encontrar cada termo. De acordo com o teorema binomial, ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

$\sum_{k = 0}^{3} \frac{3!}{(3 - k)! k!} \cdot {(a)}^{3 - k} \cdot {(- b + c)}^{k}$

Etapa 2

Expanda a soma.

$\frac{3!}{(3 - 0)! 0!} {(a)}^{3 - 0} \cdot {(- b + c)}^{0} + \frac{3!}{(3 - 1)! 1!} {(a)}^{3 - 1} \cdot {(- b + c)}^{1} + \frac{3!}{(3 - 2)! 2!} {(a)}^{3 - 2} \cdot {(- b + c)}^{2} + \frac{3!}{(3 - 3)! 3!} {(a)}^{3 - 3} \cdot {(- b + c)}^{3}$

Etapa 3

Simplifique os expoentes de cada termo da expansão.

$1 \cdot {(a)}^{3} \cdot {(- b + c)}^{0} + 3 \cdot {(a)}^{2} \cdot {(- b + c)}^{1} + 3 \cdot {(a)}^{1} \cdot {(- b + c)}^{2} + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- b + c)}^{3}$

Etapa 4

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1

Multiplique ${(a)}^{3}$ por $1$ .

${(a)}^{3} \cdot {(- b + c)}^{0} + 3 \cdot {(a)}^{2} \cdot {(- b + c)}^{1} + 3 \cdot {(a)}^{1} \cdot {(- b + c)}^{2} + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- b + c)}^{3}$

Etapa 4.2

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$a^{3} \cdot 1 + 3 \cdot {(a)}^{2} \cdot {(- b + c)}^{1} + 3 \cdot {(a)}^{1} \cdot {(- b + c)}^{2} + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- b + c)}^{3}$

Etapa 4.3

Multiplique $a^{3}$ por $1$ .

$a^{3} + 3 \cdot {(a)}^{2} \cdot {(- b + c)}^{1} + 3 \cdot {(a)}^{1} \cdot {(- b + c)}^{2} + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- b + c)}^{3}$

Etapa 4.4

Simplifique.

$a^{3} + 3 a^{2} \cdot (- b + c) + 3 \cdot {(a)}^{1} \cdot {(- b + c)}^{2} + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- b + c)}^{3}$

Etapa 4.5

Aplique a propriedade distributiva.

$a^{3} + 3 a^{2} (- b) + 3 a^{2} c + 3 \cdot {(a)}^{1} \cdot {(- b + c)}^{2} + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- b + c)}^{3}$

Etapa 4.6

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$a^{3} + 3 \cdot - 1 a^{2} b + 3 a^{2} c + 3 \cdot {(a)}^{1} \cdot {(- b + c)}^{2} + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- b + c)}^{3}$

Etapa 4.7

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a^{2} c + 3 \cdot {(a)}^{1} \cdot {(- b + c)}^{2} + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- b + c)}^{3}$

Etapa 4.8

Simplifique.

$a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a^{2} c + 3 \cdot a \cdot {(- b + c)}^{2} + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- b + c)}^{3}$

Etapa 4.9

Reescreva ${(- b + c)}^{2}$ como $(- b + c) (- b + c)$ .

$a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a^{2} c + 3 a \cdot ((- b + c) (- b + c)) + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- b + c)}^{3}$

Etapa 4.10

Expanda $(- b + c) (- b + c)$ usando o método FOIL.

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Etapa 4.10.1

Aplique a propriedade distributiva.

$a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a^{2} c + 3 a \cdot (- b (- b + c) + c (- b + c)) + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- b + c)}^{3}$

Etapa 4.10.2

Aplique a propriedade distributiva.

$a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a^{2} c + 3 a \cdot (- b (- b) - b c + c (- b + c)) + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- b + c)}^{3}$

Etapa 4.10.3

Aplique a propriedade distributiva.

$a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a^{2} c + 3 a \cdot (- b (- b) - b c + c (- b) + c \cdot c) + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- b + c)}^{3}$

Etapa 4.11

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 4.11.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.11.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a^{2} c + 3 a \cdot (- 1 \cdot - 1 b \cdot b - b c + c (- b) + c \cdot c) + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- b + c)}^{3}$

Etapa 4.11.1.2

Multiplique $b$ por $b$ somando os expoentes.

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Etapa 4.11.1.2.1

Mova $b$ .

$a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a^{2} c + 3 a \cdot (- 1 \cdot - 1 (b \cdot b) - b c + c (- b) + c \cdot c) + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- b + c)}^{3}$

Etapa 4.11.1.2.2

Multiplique $b$ por $b$ .

$a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a^{2} c + 3 a \cdot (- 1 \cdot - 1 b^{2} - b c + c (- b) + c \cdot c) + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- b + c)}^{3}$

Etapa 4.11.1.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a^{2} c + 3 a \cdot (1 b^{2} - b c + c (- b) + c \cdot c) + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- b + c)}^{3}$

Etapa 4.11.1.4

Multiplique $b^{2}$ por $1$ .

$a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a^{2} c + 3 a \cdot (b^{2} - b c + c (- b) + c \cdot c) + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- b + c)}^{3}$

Etapa 4.11.1.5

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a^{2} c + 3 a \cdot (b^{2} - b c - c b + c \cdot c) + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- b + c)}^{3}$

Etapa 4.11.1.6

Multiplique $c$ por $c$ .

$a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a^{2} c + 3 a \cdot (b^{2} - b c - c b + c^{2}) + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- b + c)}^{3}$

Etapa 4.11.2

Subtraia $c b$ de $- b c$ .

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Etapa 4.11.2.1

Mova $c$ .

$a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a^{2} c + 3 a \cdot (b^{2} - b c - b c + c^{2}) + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- b + c)}^{3}$

Etapa 4.11.2.2

Subtraia $b c$ de $- b c$ .

$a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a^{2} c + 3 a \cdot (b^{2} - 2 b c + c^{2}) + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- b + c)}^{3}$

Etapa 4.12

Aplique a propriedade distributiva.

$a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a^{2} c + 3 a b^{2} + 3 a (- 2 b c) + 3 a c^{2} + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- b + c)}^{3}$

Etapa 4.13

Multiplique $- 2$ por $3$ .

$a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a^{2} c + 3 a b^{2} - 6 a (b c) + 3 a c^{2} + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- b + c)}^{3}$

Etapa 4.14

Multiplique ${(a)}^{0}$ por $1$ .

$a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a^{2} c + 3 a b^{2} - 6 a b c + 3 a c^{2} + {(a)}^{0} \cdot {(- b + c)}^{3}$

Etapa 4.15

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a^{2} c + 3 a b^{2} - 6 a b c + 3 a c^{2} + 1 \cdot {(- b + c)}^{3}$

Etapa 4.16

Multiplique ${(- b + c)}^{3}$ por $1$ .

$a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a^{2} c + 3 a b^{2} - 6 a b c + 3 a c^{2} + {(- b + c)}^{3}$

Etapa 4.17

Use o teorema binomial.

$a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a^{2} c + 3 a b^{2} - 6 a b c + 3 a c^{2} + {(- b)}^{3} + 3 {(- b)}^{2} c + 3 (- b) c^{2} + c^{3}$

Etapa 4.18

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.18.1

Aplique a regra do produto a $- b$ .

$a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a^{2} c + 3 a b^{2} - 6 a b c + 3 a c^{2} + {(- 1)}^{3} b^{3} + 3 {(- b)}^{2} c + 3 (- b) c^{2} + c^{3}$

Etapa 4.18.2

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a^{2} c + 3 a b^{2} - 6 a b c + 3 a c^{2} - b^{3} + 3 {(- b)}^{2} c + 3 (- b) c^{2} + c^{3}$

Etapa 4.18.3

Aplique a regra do produto a $- b$ .

$a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a^{2} c + 3 a b^{2} - 6 a b c + 3 a c^{2} - b^{3} + 3 ({(- 1)}^{2} b^{2}) c + 3 (- b) c^{2} + c^{3}$

Etapa 4.18.4

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a^{2} c + 3 a b^{2} - 6 a b c + 3 a c^{2} - b^{3} + 3 (1 b^{2}) c + 3 (- b) c^{2} + c^{3}$

Etapa 4.18.5

Multiplique $b^{2}$ por $1$ .

$a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a^{2} c + 3 a b^{2} - 6 a b c + 3 a c^{2} - b^{3} + 3 b^{2} c + 3 (- b) c^{2} + c^{3}$

Etapa 4.18.6

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a^{2} c + 3 a b^{2} - 6 a b c + 3 a c^{2} - b^{3} + 3 b^{2} c - 3 b c^{2} + c^{3}$