Álgebra Exemplos

$4 x^{4} - 18 x^{3} + 42 x^{2} - 108 x + 108 = 0$

Etapa 1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 9, \pm 12, \pm 18, \pm 27, \pm 36, \pm 54, \pm 108$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

Etapa 2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{4}, \pm 2, \pm 3, \pm \frac{3}{2}, \pm \frac{3}{4}, \pm 4, \pm 6, \pm 9, \pm \frac{9}{2}, \pm \frac{9}{4}, \pm 12, \pm 18, \pm 27, \pm \frac{27}{2}, \pm \frac{27}{4}, \pm 36, \pm 54, \pm 108$

Etapa 3

Substitua cada raiz possível no polinômio para encontrar as raízes reais. Simplifique para verificar se o valor é $0$ , o que significa que é uma raiz.

$4 {(3)}^{4} - 18 {(3)}^{3} + 42 {(3)}^{2} - 108 \cdot 3 + 108$

Etapa 4

Simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Então, $x = 3$ é a raiz do polinômio.

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Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.1

Eleve $3$ à potência de $4$ .

$4 \cdot 81 - 18 {(3)}^{3} + 42 {(3)}^{2} - 108 \cdot 3 + 108$

Etapa 4.1.2

Multiplique $4$ por $81$ .

$324 - 18 {(3)}^{3} + 42 {(3)}^{2} - 108 \cdot 3 + 108$

Etapa 4.1.3

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$324 - 18 \cdot 27 + 42 {(3)}^{2} - 108 \cdot 3 + 108$

Etapa 4.1.4

Multiplique $- 18$ por $27$ .

$324 - 486 + 42 {(3)}^{2} - 108 \cdot 3 + 108$

Etapa 4.1.5

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$324 - 486 + 42 \cdot 9 - 108 \cdot 3 + 108$

Etapa 4.1.6

Multiplique $42$ por $9$ .

$324 - 486 + 378 - 108 \cdot 3 + 108$

Etapa 4.1.7

Multiplique $- 108$ por $3$ .

$324 - 486 + 378 - 324 + 108$

Etapa 4.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 4.2.1

Subtraia $486$ de $324$ .

$- 162 + 378 - 324 + 108$

Etapa 4.2.2

Some $- 162$ e $378$ .

$216 - 324 + 108$

Etapa 4.2.3

Subtraia $324$ de $216$ .

$- 108 + 108$

Etapa 4.2.4

Some $- 108$ e $108$ .

$0$

Etapa 5

Como $3$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x - 3$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio poderá ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{4 x^{4} - 18 x^{3} + 42 x^{2} - 108 x + 108}{x - 3}$

Etapa 6

Depois, encontre as raízes do polinômio restante. A ordem do polinômio foi reduzida em $1$ .

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Etapa 6.1

Coloque os números que representam o divisor e o dividendo em uma configuração semelhante à de divisão.

$3$	$4$	$- 18$	$42$	$- 108$	$108$

Etapa 6.2

O primeiro número no dividendo $(4)$ é colocado na primeira posição da área de resultado (abaixo da linha horizontal).

$3$	$4$	$- 18$	$42$	$- 108$	$108$

	$4$

Etapa 6.3

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(4)$ pelo divisor $(3)$ e coloque o resultado de $(12)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 18)$ .

$3$	$4$	$- 18$	$42$	$- 108$	$108$
		$12$
	$4$

Etapa 6.4

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$3$	$4$	$- 18$	$42$	$- 108$	$108$
		$12$
	$4$	$- 6$

Etapa 6.5

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(- 6)$ pelo divisor $(3)$ e coloque o resultado de $(- 18)$ sob o próximo termo no dividendo $(42)$ .

$3$	$4$	$- 18$	$42$	$- 108$	$108$
		$12$	$- 18$
	$4$	$- 6$

Etapa 6.6

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$3$	$4$	$- 18$	$42$	$- 108$	$108$
		$12$	$- 18$
	$4$	$- 6$	$24$

Etapa 6.7

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(24)$ pelo divisor $(3)$ e coloque o resultado de $(72)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 108)$ .

$3$	$4$	$- 18$	$42$	$- 108$	$108$
		$12$	$- 18$	$72$
	$4$	$- 6$	$24$

Etapa 6.8

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$3$	$4$	$- 18$	$42$	$- 108$	$108$
		$12$	$- 18$	$72$
	$4$	$- 6$	$24$	$- 36$

Etapa 6.9

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(- 36)$ pelo divisor $(3)$ e coloque o resultado de $(- 108)$ sob o próximo termo no dividendo $(108)$ .

$3$	$4$	$- 18$	$42$	$- 108$	$108$
		$12$	$- 18$	$72$	$- 108$
	$4$	$- 6$	$24$	$- 36$

Etapa 6.10

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$3$	$4$	$- 18$	$42$	$- 108$	$108$
		$12$	$- 18$	$72$	$- 108$
	$4$	$- 6$	$24$	$- 36$	$0$

Etapa 6.11

Todos os números, exceto o último, tornam-se os coeficientes do polinômio do quociente. O último valor na linha de resultados é o resto.

$4 x^{3} + - 6 x^{2} + (24) x - 36$

Etapa 6.12

Simplifique o polinômio do quociente.

$4 x^{3} - 6 x^{2} + 24 x - 36$

Etapa 7

Fatore $2$ de $4 x^{3} - 6 x^{2} + 24 x - 36$ .

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Etapa 7.1

Fatore $2$ de $4 x^{3}$ .

$(x - 3) (2 (2 x^{3}) - 6 x^{2} + 24 x - 36)$

Etapa 7.2

Fatore $2$ de $- 6 x^{2}$ .

$(x - 3) (2 (2 x^{3}) + 2 (- 3 x^{2}) + 24 x - 36)$

Etapa 7.3

Fatore $2$ de $24 x$ .

$(x - 3) (2 (2 x^{3}) + 2 (- 3 x^{2}) + 2 (12 x) - 36)$

Etapa 7.4

Fatore $2$ de $- 36$ .

$(x - 3) (2 (2 x^{3}) + 2 (- 3 x^{2}) + 2 (12 x) + 2 (- 18))$

Etapa 7.5

Fatore $2$ de $2 (2 x^{3}) + 2 (- 3 x^{2})$ .

$(x - 3) (2 (2 x^{3} - 3 x^{2}) + 2 (12 x) + 2 (- 18))$

Etapa 7.6

Fatore $2$ de $2 (2 x^{3} - 3 x^{2}) + 2 (12 x)$ .

$(x - 3) (2 (2 x^{3} - 3 x^{2} + 12 x) + 2 (- 18))$

Etapa 7.7

Fatore $2$ de $2 (2 x^{3} - 3 x^{2} + 12 x) + 2 (- 18)$ .

$(x - 3) (2 (2 x^{3} - 3 x^{2} + 12 x - 18))$

Etapa 8

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 8.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(x - 3) (2 ((2 x^{3} - 3 x^{2}) + 12 x - 18))$

Etapa 8.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$(x - 3) (2 (x^{2} (2 x - 3) + 6 (2 x - 3)))$

Etapa 9

Fatore.

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Etapa 9.1

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $2 x - 3$ .

$(x - 3) (2 ((2 x - 3) (x^{2} + 6)))$

Etapa 9.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x - 3) (2 (2 x - 3) (x^{2} + 6))$

Etapa 10

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 10.1

Fatore $2$ de $4 x^{4} - 18 x^{3} + 42 x^{2} - 108 x + 108$ .

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Etapa 10.1.1

Fatore $2$ de $4 x^{4}$ .

$2 (2 x^{4}) - 18 x^{3} + 42 x^{2} - 108 x + 108 = 0$

Etapa 10.1.2

Fatore $2$ de $- 18 x^{3}$ .

$2 (2 x^{4}) + 2 (- 9 x^{3}) + 42 x^{2} - 108 x + 108 = 0$

Etapa 10.1.3

Fatore $2$ de $42 x^{2}$ .

$2 (2 x^{4}) + 2 (- 9 x^{3}) + 2 (21 x^{2}) - 108 x + 108 = 0$

Etapa 10.1.4

Fatore $2$ de $- 108 x$ .

$2 (2 x^{4}) + 2 (- 9 x^{3}) + 2 (21 x^{2}) + 2 (- 54 x) + 108 = 0$

Etapa 10.1.5

Fatore $2$ de $108$ .

$2 (2 x^{4}) + 2 (- 9 x^{3}) + 2 (21 x^{2}) + 2 (- 54 x) + 2 (54) = 0$

Etapa 10.1.6

Fatore $2$ de $2 (2 x^{4}) + 2 (- 9 x^{3})$ .

$2 (2 x^{4} - 9 x^{3}) + 2 (21 x^{2}) + 2 (- 54 x) + 2 (54) = 0$

Etapa 10.1.7

Fatore $2$ de $2 (2 x^{4} - 9 x^{3}) + 2 (21 x^{2})$ .

$2 (2 x^{4} - 9 x^{3} + 21 x^{2}) + 2 (- 54 x) + 2 (54) = 0$

Etapa 10.1.8

Fatore $2$ de $2 (2 x^{4} - 9 x^{3} + 21 x^{2}) + 2 (- 54 x)$ .

$2 (2 x^{4} - 9 x^{3} + 21 x^{2} - 54 x) + 2 (54) = 0$

Etapa 10.1.9

Fatore $2$ de $2 (2 x^{4} - 9 x^{3} + 21 x^{2} - 54 x) + 2 (54)$ .

$2 (2 x^{4} - 9 x^{3} + 21 x^{2} - 54 x + 54) = 0$

Etapa 10.2

Reagrupe os termos.

$2 (2 x^{4} - 54 x - 9 x^{3} + 21 x^{2} + 54) = 0$

Etapa 10.3

Fatore $2 x$ de $2 x^{4} - 54 x$ .

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Etapa 10.3.1

Fatore $2 x$ de $2 x^{4}$ .

$2 (2 x (x^{3}) - 54 x - 9 x^{3} + 21 x^{2} + 54) = 0$

Etapa 10.3.2

Fatore $2 x$ de $- 54 x$ .

$2 (2 x (x^{3}) + 2 x (- 27) - 9 x^{3} + 21 x^{2} + 54) = 0$

Etapa 10.3.3

Fatore $2 x$ de $2 x (x^{3}) + 2 x (- 27)$ .

$2 (2 x (x^{3} - 27) - 9 x^{3} + 21 x^{2} + 54) = 0$

Etapa 10.4

Reescreva $27$ como $3^{3}$ .

$2 (2 x (x^{3} - 3^{3}) - 9 x^{3} + 21 x^{2} + 54) = 0$

Etapa 10.5

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ em que $a = x$ e $b = 3$ .

$2 (2 x ((x - 3) (x^{2} + x \cdot 3 + 3^{2})) - 9 x^{3} + 21 x^{2} + 54) = 0$

Etapa 10.6

Fatore.

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Etapa 10.6.1

Simplifique.

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Etapa 10.6.1.1

Mova $3$ para a esquerda de $x$ .

$2 (2 x ((x - 3) (x^{2} + 3 x + 3^{2})) - 9 x^{3} + 21 x^{2} + 54) = 0$

Etapa 10.6.1.2

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$2 (2 x ((x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)) - 9 x^{3} + 21 x^{2} + 54) = 0$

Etapa 10.6.2

Remova os parênteses desnecessários.

$2 (2 x (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) - 9 x^{3} + 21 x^{2} + 54) = 0$

Etapa 10.7

Fatore $3$ de $- 9 x^{3} + 21 x^{2} + 54$ .

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Etapa 10.7.1

Fatore $3$ de $- 9 x^{3}$ .

$2 (2 x (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) + 3 (- 3 x^{3}) + 21 x^{2} + 54) = 0$

Etapa 10.7.2

Fatore $3$ de $21 x^{2}$ .

$2 (2 x (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) + 3 (- 3 x^{3}) + 3 (7 x^{2}) + 54) = 0$

Etapa 10.7.3

Fatore $3$ de $54$ .

$2 (2 x (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) + 3 (- 3 x^{3}) + 3 (7 x^{2}) + 3 (18)) = 0$

Etapa 10.7.4

Fatore $3$ de $3 (- 3 x^{3}) + 3 (7 x^{2})$ .

$2 (2 x (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) + 3 (- 3 x^{3} + 7 x^{2}) + 3 (18)) = 0$

Etapa 10.7.5

Fatore $3$ de $3 (- 3 x^{3} + 7 x^{2}) + 3 (18)$ .

$2 (2 x (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) + 3 (- 3 x^{3} + 7 x^{2} + 18)) = 0$

Etapa 10.8

Fatore.

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Etapa 10.8.1

Fatore $- 3 x^{3} + 7 x^{2} + 18$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 10.8.1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 18, \pm 2, \pm 9, \pm 3, \pm 6$

$q = \pm 1, \pm 3$

Etapa 10.8.1.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 0.\overline{3}, \pm 18, \pm 6, \pm 2, \pm 0.\overline{6}, \pm 9, \pm 3$

Etapa 10.8.1.3

Substitua $3$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $3$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 10.8.1.3.1

Substitua $3$ no polinômio.

$- 3 \cdot 3^{3} + 7 \cdot 3^{2} + 18$

Etapa 10.8.1.3.2

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$- 3 \cdot 27 + 7 \cdot 3^{2} + 18$

Etapa 10.8.1.3.3

Multiplique $- 3$ por $27$ .

$- 81 + 7 \cdot 3^{2} + 18$

Etapa 10.8.1.3.4

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$- 81 + 7 \cdot 9 + 18$

Etapa 10.8.1.3.5

Multiplique $7$ por $9$ .

$- 81 + 63 + 18$

Etapa 10.8.1.3.6

Some $- 81$ e $63$ .

$- 18 + 18$

Etapa 10.8.1.3.7

Some $- 18$ e $18$ .

$0$

Etapa 10.8.1.4

Como $3$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x - 3$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{- 3 x^{3} + 7 x^{2} + 18}{x - 3}$

Etapa 10.8.1.5

Divida $- 3 x^{3} + 7 x^{2} + 18$ por $x - 3$ .

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Etapa 10.8.1.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$3$

$3 x^{3}$

$7 x^{2}$

$0 x$

$18$

Etapa 10.8.1.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 3 x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				-	$3 x^{2}$
	$x$	-	$3$	-	$3 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$0 x$	+	$18$

Etapa 10.8.1.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

			-	$3 x^{2}$
$x$	-	$3$	-	$3 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$0 x$	+	$18$
			-	$3 x^{3}$	+	$9 x^{2}$

Etapa 10.8.1.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 3 x^{3} + 9 x^{2}$ .

			-	$3 x^{2}$
$x$	-	$3$	-	$3 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$0 x$	+	$18$
			+	$3 x^{3}$	-	$9 x^{2}$

Etapa 10.8.1.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

			-	$3 x^{2}$
$x$	-	$3$	-	$3 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$0 x$	+	$18$
			+	$3 x^{3}$	-	$9 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

Etapa 10.8.1.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

			-	$3 x^{2}$
$x$	-	$3$	-	$3 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$0 x$	+	$18$
			+	$3 x^{3}$	-	$9 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$

Etapa 10.8.1.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 2 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

			-	$3 x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$3$	-	$3 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$0 x$	+	$18$
			+	$3 x^{3}$	-	$9 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$

Etapa 10.8.1.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

			-	$3 x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$3$	-	$3 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$0 x$	+	$18$
			+	$3 x^{3}$	-	$9 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$

Etapa 10.8.1.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 2 x^{2} + 6 x$ .

			-	$3 x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$3$	-	$3 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$0 x$	+	$18$
			+	$3 x^{3}$	-	$9 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$6 x$

Etapa 10.8.1.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

			-	$3 x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$3$	-	$3 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$0 x$	+	$18$
			+	$3 x^{3}$	-	$9 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$6 x$
							-	$6 x$

Etapa 10.8.1.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

			-	$3 x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$3$	-	$3 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$0 x$	+	$18$
			+	$3 x^{3}$	-	$9 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$6 x$
							-	$6 x$	+	$18$

Etapa 10.8.1.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 6 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

			-	$3 x^{2}$	-	$2 x$	-	$6$
$x$	-	$3$	-	$3 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$0 x$	+	$18$
			+	$3 x^{3}$	-	$9 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$6 x$
							-	$6 x$	+	$18$

Etapa 10.8.1.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

			-	$3 x^{2}$	-	$2 x$	-	$6$
$x$	-	$3$	-	$3 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$0 x$	+	$18$
			+	$3 x^{3}$	-	$9 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$6 x$
							-	$6 x$	+	$18$
							-	$6 x$	+	$18$

Etapa 10.8.1.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 6 x + 18$ .

			-	$3 x^{2}$	-	$2 x$	-	$6$
$x$	-	$3$	-	$3 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$0 x$	+	$18$
			+	$3 x^{3}$	-	$9 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$6 x$
							-	$6 x$	+	$18$
							+	$6 x$	-	$18$

Etapa 10.8.1.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

			-	$3 x^{2}$	-	$2 x$	-	$6$
$x$	-	$3$	-	$3 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$0 x$	+	$18$
			+	$3 x^{3}$	-	$9 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$6 x$
							-	$6 x$	+	$18$
							+	$6 x$	-	$18$
										$0$

Etapa 10.8.1.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$- 3 x^{2} - 2 x - 6$

Etapa 10.8.1.6

Escreva $- 3 x^{3} + 7 x^{2} + 18$ como um conjunto de fatores.

$2 (2 x (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) + 3 ((x - 3) (- 3 x^{2} - 2 x - 6))) = 0$

Etapa 10.8.2

Remova os parênteses desnecessários.

$2 (2 x (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) + 3 (x - 3) (- 3 x^{2} - 2 x - 6)) = 0$

Etapa 10.9

Fatore $x - 3$ de $2 x (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) + 3 (x - 3) (- 3 x^{2} - 2 x - 6)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.9.1

Fatore $x - 3$ de $2 x (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)$ .

$2 ((x - 3) (2 x (x^{2} + 3 x + 9)) + 3 (x - 3) (- 3 x^{2} - 2 x - 6)) = 0$

Etapa 10.9.2

Fatore $x - 3$ de $3 (x - 3) (- 3 x^{2} - 2 x - 6)$ .

$2 ((x - 3) (2 x (x^{2} + 3 x + 9)) + (x - 3) (3 (- 3 x^{2} - 2 x - 6))) = 0$

Etapa 10.9.3

Fatore $x - 3$ de $(x - 3) (2 x (x^{2} + 3 x + 9)) + (x - 3) (3 (- 3 x^{2} - 2 x - 6))$ .

$2 ((x - 3) (2 x (x^{2} + 3 x + 9) + 3 (- 3 x^{2} - 2 x - 6))) = 0$

Etapa 10.10

Aplique a propriedade distributiva.

$2 ((x - 3) (2 x \cdot x^{2} + 2 x (3 x) + 2 x \cdot 9 + 3 (- 3 x^{2} - 2 x - 6))) = 0$

Etapa 10.11

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.11.1

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.11.1.1

Mova $x^{2}$ .

$2 ((x - 3) (2 (x^{2} x) + 2 x (3 x) + 2 x \cdot 9 + 3 (- 3 x^{2} - 2 x - 6))) = 0$

Etapa 10.11.1.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.11.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$2 ((x - 3) (2 (x^{2} x) + 2 x (3 x) + 2 x \cdot 9 + 3 (- 3 x^{2} - 2 x - 6))) = 0$

Etapa 10.11.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 ((x - 3) (2 x^{2 + 1} + 2 x (3 x) + 2 x \cdot 9 + 3 (- 3 x^{2} - 2 x - 6))) = 0$

Etapa 10.11.1.3

Some $2$ e $1$ .

$2 ((x - 3) (2 x^{3} + 2 x (3 x) + 2 x \cdot 9 + 3 (- 3 x^{2} - 2 x - 6))) = 0$

Etapa 10.11.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$2 ((x - 3) (2 x^{3} + 2 \cdot (3 x \cdot x) + 2 x \cdot 9 + 3 (- 3 x^{2} - 2 x - 6))) = 0$

Etapa 10.11.3

Multiplique $9$ por $2$ .

$2 ((x - 3) (2 x^{3} + 2 \cdot (3 x \cdot x) + 18 x + 3 (- 3 x^{2} - 2 x - 6))) = 0$

Etapa 10.12

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.12.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.12.1.1

Mova $x$ .

$2 ((x - 3) (2 x^{3} + 2 \cdot (3 (x \cdot x)) + 18 x + 3 (- 3 x^{2} - 2 x - 6))) = 0$

Etapa 10.12.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$2 ((x - 3) (2 x^{3} + 2 \cdot (3 x^{2}) + 18 x + 3 (- 3 x^{2} - 2 x - 6))) = 0$

Etapa 10.12.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$2 ((x - 3) (2 x^{3} + 6 x^{2} + 18 x + 3 (- 3 x^{2} - 2 x - 6))) = 0$

Etapa 10.13

Aplique a propriedade distributiva.

$2 ((x - 3) (2 x^{3} + 6 x^{2} + 18 x + 3 (- 3 x^{2}) + 3 (- 2 x) + 3 \cdot - 6)) = 0$

Etapa 10.14

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.14.1

Multiplique $- 3$ por $3$ .

$2 ((x - 3) (2 x^{3} + 6 x^{2} + 18 x - 9 x^{2} + 3 (- 2 x) + 3 \cdot - 6)) = 0$

Etapa 10.14.2

Multiplique $- 2$ por $3$ .

$2 ((x - 3) (2 x^{3} + 6 x^{2} + 18 x - 9 x^{2} - 6 x + 3 \cdot - 6)) = 0$

Etapa 10.14.3

Multiplique $3$ por $- 6$ .

$2 ((x - 3) (2 x^{3} + 6 x^{2} + 18 x - 9 x^{2} - 6 x - 18)) = 0$

Etapa 10.15

Subtraia $9 x^{2}$ de $6 x^{2}$ .

$2 ((x - 3) (2 x^{3} - 3 x^{2} + 18 x - 6 x - 18)) = 0$

Etapa 10.16

Subtraia $6 x$ de $18 x$ .

$2 ((x - 3) (2 x^{3} - 3 x^{2} + 12 x - 18)) = 0$

Etapa 10.17

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.17.1

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.17.1.1

Reescreva $2 x^{3} - 3 x^{2} + 12 x - 18$ em uma forma fatorada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.17.1.1.1

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.17.1.1.1.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$2 ((x - 3) ((2 x^{3} - 3 x^{2}) + 12 x - 18)) = 0$

Etapa 10.17.1.1.1.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$2 ((x - 3) (x^{2} (2 x - 3) + 6 (2 x - 3))) = 0$

Etapa 10.17.1.1.2

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $2 x - 3$ .

$2 ((x - 3) ((2 x - 3) (x^{2} + 6))) = 0$

Etapa 10.17.1.2

Remova os parênteses desnecessários.

$2 ((x - 3) (2 x - 3) (x^{2} + 6)) = 0$

Etapa 10.17.2

Remova os parênteses desnecessários.

$2 (x - 3) (2 x - 3) (x^{2} + 6) = 0$

Etapa 11

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

$2 x - 3 = 0$

$x^{2} + 6 = 0$

Etapa 12

Defina $x - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Defina $x - 3$ como igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Etapa 12.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x = 3$

Etapa 13

Defina $2 x - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Defina $2 x - 3$ como igual a $0$ .

$2 x - 3 = 0$

Etapa 13.2

Resolva $2 x - 3 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.1

Some $3$ aos dois lados da equação.

$2 x = 3$

Etapa 13.2.2

Divida cada termo em $2 x = 3$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 13.2.2.1

Divida cada termo em $2 x = 3$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Etapa 13.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 13.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Etapa 13.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

Etapa 14

Defina $x^{2} + 6$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1

Defina $x^{2} + 6$ como igual a $0$ .

$x^{2} + 6 = 0$

Etapa 14.2

Resolva $x^{2} + 6 = 0$ para $x$ .

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Etapa 14.2.1

Subtraia $6$ dos dois lados da equação.

$x^{2} = - 6$

Etapa 14.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 6}$

Etapa 14.2.3

Simplifique $\pm \sqrt{- 6}$ .

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Etapa 14.2.3.1

Reescreva $- 6$ como $- 1 (6)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (6)}$

Etapa 14.2.3.2

Reescreva $\sqrt{- 1 (6)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{6}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{6}$

Etapa 14.2.3.3

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \sqrt{6}$

Etapa 14.2.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 14.2.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = i \sqrt{6}$

Etapa 14.2.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - i \sqrt{6}$

Etapa 14.2.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = i \sqrt{6}, - i \sqrt{6}$

Etapa 15

A solução final são todos os valores que tornam $2 (x - 3) (2 x - 3) (x^{2} + 6) = 0$ verdadeiro.

$x = 3, \frac{3}{2}, i \sqrt{6}, - i \sqrt{6}$

Etapa 16