Álgebra Exemplos

$2 x^{6} - 3 x^{5} - 13 x^{4} + 29 x^{3} - 27 x^{2} + 32 x - 12$

Etapa 1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$

$q = \pm 1, \pm 2$

Etapa 2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm 2, \pm 3, \pm \frac{3}{2}, \pm 4, \pm 6, \pm 12$

Etapa 3

Substitua cada raiz possível no polinômio para encontrar as raízes reais. Simplifique para verificar se o valor é $0$ , o que significa que é uma raiz.

$2 {(\frac{1}{2})}^{6} - 3 {(\frac{1}{2})}^{5} - 13 {(\frac{1}{2})}^{4} + 29 {(\frac{1}{2})}^{3} - 27 {(\frac{1}{2})}^{2} + 32 (\frac{1}{2}) - 12$

Etapa 4

Simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Então, $x = \frac{1}{2}$ é a raiz do polinômio.

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Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$2 \frac{1^{6}}{2^{6}} - 3 {(\frac{1}{2})}^{5} - 13 {(\frac{1}{2})}^{4} + 29 {(\frac{1}{2})}^{3} - 27 {(\frac{1}{2})}^{2} + 32 (\frac{1}{2}) - 12$

Etapa 4.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$2 \frac{1}{2^{6}} - 3 {(\frac{1}{2})}^{5} - 13 {(\frac{1}{2})}^{4} + 29 {(\frac{1}{2})}^{3} - 27 {(\frac{1}{2})}^{2} + 32 (\frac{1}{2}) - 12$

Etapa 4.1.3

Eleve $2$ à potência de $6$ .

$2 (\frac{1}{64}) - 3 {(\frac{1}{2})}^{5} - 13 {(\frac{1}{2})}^{4} + 29 {(\frac{1}{2})}^{3} - 27 {(\frac{1}{2})}^{2} + 32 (\frac{1}{2}) - 12$

Etapa 4.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.1.4.1

Fatore $2$ de $64$ .

$2 \frac{1}{2 (32)} - 3 {(\frac{1}{2})}^{5} - 13 {(\frac{1}{2})}^{4} + 29 {(\frac{1}{2})}^{3} - 27 {(\frac{1}{2})}^{2} + 32 (\frac{1}{2}) - 12$

Etapa 4.1.4.2

Cancele o fator comum.

$2 \frac{1}{2 \cdot 32} - 3 {(\frac{1}{2})}^{5} - 13 {(\frac{1}{2})}^{4} + 29 {(\frac{1}{2})}^{3} - 27 {(\frac{1}{2})}^{2} + 32 (\frac{1}{2}) - 12$

Etapa 4.1.4.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{32} - 3 {(\frac{1}{2})}^{5} - 13 {(\frac{1}{2})}^{4} + 29 {(\frac{1}{2})}^{3} - 27 {(\frac{1}{2})}^{2} + 32 (\frac{1}{2}) - 12$

Etapa 4.1.5

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{32} - 3 \frac{1^{5}}{2^{5}} - 13 {(\frac{1}{2})}^{4} + 29 {(\frac{1}{2})}^{3} - 27 {(\frac{1}{2})}^{2} + 32 (\frac{1}{2}) - 12$

Etapa 4.1.6

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1}{32} - 3 \frac{1}{2^{5}} - 13 {(\frac{1}{2})}^{4} + 29 {(\frac{1}{2})}^{3} - 27 {(\frac{1}{2})}^{2} + 32 (\frac{1}{2}) - 12$

Etapa 4.1.7

Eleve $2$ à potência de $5$ .

$\frac{1}{32} - 3 (\frac{1}{32}) - 13 {(\frac{1}{2})}^{4} + 29 {(\frac{1}{2})}^{3} - 27 {(\frac{1}{2})}^{2} + 32 (\frac{1}{2}) - 12$

Etapa 4.1.8

Combine $- 3$ e $\frac{1}{32}$ .

$\frac{1}{32} + \frac{- 3}{32} - 13 {(\frac{1}{2})}^{4} + 29 {(\frac{1}{2})}^{3} - 27 {(\frac{1}{2})}^{2} + 32 (\frac{1}{2}) - 12$

Etapa 4.1.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{32} - \frac{3}{32} - 13 {(\frac{1}{2})}^{4} + 29 {(\frac{1}{2})}^{3} - 27 {(\frac{1}{2})}^{2} + 32 (\frac{1}{2}) - 12$

Etapa 4.1.10

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{32} - \frac{3}{32} - 13 \frac{1^{4}}{2^{4}} + 29 {(\frac{1}{2})}^{3} - 27 {(\frac{1}{2})}^{2} + 32 (\frac{1}{2}) - 12$

Etapa 4.1.11

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1}{32} - \frac{3}{32} - 13 \frac{1}{2^{4}} + 29 {(\frac{1}{2})}^{3} - 27 {(\frac{1}{2})}^{2} + 32 (\frac{1}{2}) - 12$

Etapa 4.1.12

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$\frac{1}{32} - \frac{3}{32} - 13 (\frac{1}{16}) + 29 {(\frac{1}{2})}^{3} - 27 {(\frac{1}{2})}^{2} + 32 (\frac{1}{2}) - 12$

Etapa 4.1.13

Combine $- 13$ e $\frac{1}{16}$ .

$\frac{1}{32} - \frac{3}{32} + \frac{- 13}{16} + 29 {(\frac{1}{2})}^{3} - 27 {(\frac{1}{2})}^{2} + 32 (\frac{1}{2}) - 12$

Etapa 4.1.14

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{32} - \frac{3}{32} - \frac{13}{16} + 29 {(\frac{1}{2})}^{3} - 27 {(\frac{1}{2})}^{2} + 32 (\frac{1}{2}) - 12$

Etapa 4.1.15

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{32} - \frac{3}{32} - \frac{13}{16} + 29 \frac{1^{3}}{2^{3}} - 27 {(\frac{1}{2})}^{2} + 32 (\frac{1}{2}) - 12$

Etapa 4.1.16

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1}{32} - \frac{3}{32} - \frac{13}{16} + 29 \frac{1}{2^{3}} - 27 {(\frac{1}{2})}^{2} + 32 (\frac{1}{2}) - 12$

Etapa 4.1.17

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$\frac{1}{32} - \frac{3}{32} - \frac{13}{16} + 29 (\frac{1}{8}) - 27 {(\frac{1}{2})}^{2} + 32 (\frac{1}{2}) - 12$

Etapa 4.1.18

Combine $29$ e $\frac{1}{8}$ .

$\frac{1}{32} - \frac{3}{32} - \frac{13}{16} + \frac{29}{8} - 27 {(\frac{1}{2})}^{2} + 32 (\frac{1}{2}) - 12$

Etapa 4.1.19

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{32} - \frac{3}{32} - \frac{13}{16} + \frac{29}{8} - 27 \frac{1^{2}}{2^{2}} + 32 (\frac{1}{2}) - 12$

Etapa 4.1.20

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1}{32} - \frac{3}{32} - \frac{13}{16} + \frac{29}{8} - 27 \frac{1}{2^{2}} + 32 (\frac{1}{2}) - 12$

Etapa 4.1.21

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{1}{32} - \frac{3}{32} - \frac{13}{16} + \frac{29}{8} - 27 (\frac{1}{4}) + 32 (\frac{1}{2}) - 12$

Etapa 4.1.22

Combine $- 27$ e $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{32} - \frac{3}{32} - \frac{13}{16} + \frac{29}{8} + \frac{- 27}{4} + 32 (\frac{1}{2}) - 12$

Etapa 4.1.23

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{32} - \frac{3}{32} - \frac{13}{16} + \frac{29}{8} - \frac{27}{4} + 32 (\frac{1}{2}) - 12$

Etapa 4.1.24

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.1.24.1

Fatore $2$ de $32$ .

$\frac{1}{32} - \frac{3}{32} - \frac{13}{16} + \frac{29}{8} - \frac{27}{4} + 2 (16) \frac{1}{2} - 12$

Etapa 4.1.24.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{32} - \frac{3}{32} - \frac{13}{16} + \frac{29}{8} - \frac{27}{4} + 2 \cdot 16 \frac{1}{2} - 12$

Etapa 4.1.24.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{32} - \frac{3}{32} - \frac{13}{16} + \frac{29}{8} - \frac{27}{4} + 16 - 12$

Etapa 4.2

Combine frações.

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Etapa 4.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$16 - 12 + \frac{1 - 3}{32} + \frac{- 13}{16} + \frac{29}{8} + \frac{- 27}{4}$

Etapa 4.2.2

Subtraia $3$ de $1$ .

$16 - 12 + \frac{- 2}{32} + \frac{- 13}{16} + \frac{29}{8} + \frac{- 27}{4}$

Etapa 4.3

Encontre o denominador comum.

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Etapa 4.3.1

Escreva $16$ como uma fração com denominador $1$ .

$\frac{16}{1} - 12 + \frac{- 2}{32} + \frac{- 13}{16} + \frac{29}{8} + \frac{- 27}{4}$

Etapa 4.3.2

Multiplique $\frac{16}{1}$ por $\frac{32}{32}$ .

$\frac{16}{1} \cdot \frac{32}{32} - 12 + \frac{- 2}{32} + \frac{- 13}{16} + \frac{29}{8} + \frac{- 27}{4}$

Etapa 4.3.3

Multiplique $\frac{16}{1}$ por $\frac{32}{32}$ .

$\frac{16 \cdot 32}{32} - 12 + \frac{- 2}{32} + \frac{- 13}{16} + \frac{29}{8} + \frac{- 27}{4}$

Etapa 4.3.4

Escreva $- 12$ como uma fração com denominador $1$ .

$\frac{16 \cdot 32}{32} + \frac{- 12}{1} + \frac{- 2}{32} + \frac{- 13}{16} + \frac{29}{8} + \frac{- 27}{4}$

Etapa 4.3.5

Multiplique $\frac{- 12}{1}$ por $\frac{32}{32}$ .

$\frac{16 \cdot 32}{32} + \frac{- 12}{1} \cdot \frac{32}{32} + \frac{- 2}{32} + \frac{- 13}{16} + \frac{29}{8} + \frac{- 27}{4}$

Etapa 4.3.6

Multiplique $\frac{- 12}{1}$ por $\frac{32}{32}$ .

$\frac{16 \cdot 32}{32} + \frac{- 12 \cdot 32}{32} + \frac{- 2}{32} + \frac{- 13}{16} + \frac{29}{8} + \frac{- 27}{4}$

Etapa 4.3.7

Multiplique $\frac{- 13}{16}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{16 \cdot 32}{32} + \frac{- 12 \cdot 32}{32} + \frac{- 2}{32} + \frac{- 13}{16} \cdot \frac{2}{2} + \frac{29}{8} + \frac{- 27}{4}$

Etapa 4.3.8

Multiplique $\frac{- 13}{16}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{16 \cdot 32}{32} + \frac{- 12 \cdot 32}{32} + \frac{- 2}{32} + \frac{- 13 \cdot 2}{16 \cdot 2} + \frac{29}{8} + \frac{- 27}{4}$

Etapa 4.3.9

Multiplique $\frac{29}{8}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{16 \cdot 32}{32} + \frac{- 12 \cdot 32}{32} + \frac{- 2}{32} + \frac{- 13 \cdot 2}{16 \cdot 2} + \frac{29}{8} \cdot \frac{4}{4} + \frac{- 27}{4}$

Etapa 4.3.10

Multiplique $\frac{29}{8}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{16 \cdot 32}{32} + \frac{- 12 \cdot 32}{32} + \frac{- 2}{32} + \frac{- 13 \cdot 2}{16 \cdot 2} + \frac{29 \cdot 4}{8 \cdot 4} + \frac{- 27}{4}$

Etapa 4.3.11

Multiplique $\frac{- 27}{4}$ por $\frac{8}{8}$ .

$\frac{16 \cdot 32}{32} + \frac{- 12 \cdot 32}{32} + \frac{- 2}{32} + \frac{- 13 \cdot 2}{16 \cdot 2} + \frac{29 \cdot 4}{8 \cdot 4} + \frac{- 27}{4} \cdot \frac{8}{8}$

Etapa 4.3.12

Multiplique $\frac{- 27}{4}$ por $\frac{8}{8}$ .

$\frac{16 \cdot 32}{32} + \frac{- 12 \cdot 32}{32} + \frac{- 2}{32} + \frac{- 13 \cdot 2}{16 \cdot 2} + \frac{29 \cdot 4}{8 \cdot 4} + \frac{- 27 \cdot 8}{4 \cdot 8}$

Etapa 4.3.13

Reordene os fatores de $16 \cdot 2$ .

$\frac{16 \cdot 32}{32} + \frac{- 12 \cdot 32}{32} + \frac{- 2}{32} + \frac{- 13 \cdot 2}{2 \cdot 16} + \frac{29 \cdot 4}{8 \cdot 4} + \frac{- 27 \cdot 8}{4 \cdot 8}$

Etapa 4.3.14

Multiplique $2$ por $16$ .

$\frac{16 \cdot 32}{32} + \frac{- 12 \cdot 32}{32} + \frac{- 2}{32} + \frac{- 13 \cdot 2}{32} + \frac{29 \cdot 4}{8 \cdot 4} + \frac{- 27 \cdot 8}{4 \cdot 8}$

Etapa 4.3.15

Reordene os fatores de $8 \cdot 4$ .

$\frac{16 \cdot 32}{32} + \frac{- 12 \cdot 32}{32} + \frac{- 2}{32} + \frac{- 13 \cdot 2}{32} + \frac{29 \cdot 4}{4 \cdot 8} + \frac{- 27 \cdot 8}{4 \cdot 8}$

Etapa 4.3.16

Multiplique $4$ por $8$ .

$\frac{16 \cdot 32}{32} + \frac{- 12 \cdot 32}{32} + \frac{- 2}{32} + \frac{- 13 \cdot 2}{32} + \frac{29 \cdot 4}{32} + \frac{- 27 \cdot 8}{4 \cdot 8}$

Etapa 4.3.17

Multiplique $4$ por $8$ .

$\frac{16 \cdot 32}{32} + \frac{- 12 \cdot 32}{32} + \frac{- 2}{32} + \frac{- 13 \cdot 2}{32} + \frac{29 \cdot 4}{32} + \frac{- 27 \cdot 8}{32}$

Etapa 4.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{16 \cdot 32 - 12 \cdot 32 - 2 - 13 \cdot 2 + 29 \cdot 4 - 27 \cdot 8}{32}$

Etapa 4.5

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.5.1

Multiplique $16$ por $32$ .

$\frac{512 - 12 \cdot 32 - 2 - 13 \cdot 2 + 29 \cdot 4 - 27 \cdot 8}{32}$

Etapa 4.5.2

Multiplique $- 12$ por $32$ .

$\frac{512 - 384 - 2 - 13 \cdot 2 + 29 \cdot 4 - 27 \cdot 8}{32}$

Etapa 4.5.3

Multiplique $- 13$ por $2$ .

$\frac{512 - 384 - 2 - 26 + 29 \cdot 4 - 27 \cdot 8}{32}$

Etapa 4.5.4

Multiplique $29$ por $4$ .

$\frac{512 - 384 - 2 - 26 + 116 - 27 \cdot 8}{32}$

Etapa 4.5.5

Multiplique $- 27$ por $8$ .

$\frac{512 - 384 - 2 - 26 + 116 - 216}{32}$

Etapa 4.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.6.1

Subtraia $384$ de $512$ .

$\frac{128 - 2 - 26 + 116 - 216}{32}$

Etapa 4.6.2

Subtraia $2$ de $128$ .

$\frac{126 - 26 + 116 - 216}{32}$

Etapa 4.6.3

Subtraia $26$ de $126$ .

$\frac{100 + 116 - 216}{32}$

Etapa 4.6.4

Some $100$ e $116$ .

$\frac{216 - 216}{32}$

Etapa 4.6.5

Subtraia $216$ de $216$ .

$\frac{0}{32}$

Etapa 4.6.6

Divida $0$ por $32$ .

$0$

Etapa 5

Como $\frac{1}{2}$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x - \frac{1}{2}$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio poderá ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{2 x^{6} - 3 x^{5} - 13 x^{4} + 29 x^{3} - 27 x^{2} + 32 x - 12}{x - \frac{1}{2}}$

Etapa 6

Depois, encontre as raízes do polinômio restante. A ordem do polinômio foi reduzida em $1$ .

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Etapa 6.1

Coloque os números que representam o divisor e o dividendo em uma configuração semelhante à de divisão.

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 3$	$- 13$	$29$	$- 27$	$32$	$- 12$

Etapa 6.2

O primeiro número no dividendo $(2)$ é colocado na primeira posição da área de resultado (abaixo da linha horizontal).

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 3$	$- 13$	$29$	$- 27$	$32$	$- 12$

	$2$

Etapa 6.3

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(2)$ pelo divisor $(\frac{1}{2})$ e coloque o resultado de $(1)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 3)$ .

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 3$	$- 13$	$29$	$- 27$	$32$	$- 12$
		$1$
	$2$

Etapa 6.4

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 3$	$- 13$	$29$	$- 27$	$32$	$- 12$
		$1$
	$2$	$- 2$

Etapa 6.5

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(- 2)$ pelo divisor $(\frac{1}{2})$ e coloque o resultado de $(- 1)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 13)$ .

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 3$	$- 13$	$29$	$- 27$	$32$	$- 12$
		$1$	$- 1$
	$2$	$- 2$

Etapa 6.6

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 3$	$- 13$	$29$	$- 27$	$32$	$- 12$
		$1$	$- 1$
	$2$	$- 2$	$- 14$

Etapa 6.7

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(- 14)$ pelo divisor $(\frac{1}{2})$ e coloque o resultado de $(- 7)$ sob o próximo termo no dividendo $(29)$ .

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 3$	$- 13$	$29$	$- 27$	$32$	$- 12$
		$1$	$- 1$	$- 7$
	$2$	$- 2$	$- 14$

Etapa 6.8

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 3$	$- 13$	$29$	$- 27$	$32$	$- 12$
		$1$	$- 1$	$- 7$
	$2$	$- 2$	$- 14$	$22$

Etapa 6.9

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(22)$ pelo divisor $(\frac{1}{2})$ e coloque o resultado de $(11)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 27)$ .

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 3$	$- 13$	$29$	$- 27$	$32$	$- 12$
		$1$	$- 1$	$- 7$	$11$
	$2$	$- 2$	$- 14$	$22$

Etapa 6.10

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 3$	$- 13$	$29$	$- 27$	$32$	$- 12$
		$1$	$- 1$	$- 7$	$11$
	$2$	$- 2$	$- 14$	$22$	$- 16$

Etapa 6.11

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(- 16)$ pelo divisor $(\frac{1}{2})$ e coloque o resultado de $(- 8)$ sob o próximo termo no dividendo $(32)$ .

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 3$	$- 13$	$29$	$- 27$	$32$	$- 12$
		$1$	$- 1$	$- 7$	$11$	$- 8$
	$2$	$- 2$	$- 14$	$22$	$- 16$

Etapa 6.12

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 3$	$- 13$	$29$	$- 27$	$32$	$- 12$
		$1$	$- 1$	$- 7$	$11$	$- 8$
	$2$	$- 2$	$- 14$	$22$	$- 16$	$24$

Etapa 6.13

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(24)$ pelo divisor $(\frac{1}{2})$ e coloque o resultado de $(12)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 12)$ .

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 3$	$- 13$	$29$	$- 27$	$32$	$- 12$
		$1$	$- 1$	$- 7$	$11$	$- 8$	$12$
	$2$	$- 2$	$- 14$	$22$	$- 16$	$24$

Etapa 6.14

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 3$	$- 13$	$29$	$- 27$	$32$	$- 12$
		$1$	$- 1$	$- 7$	$11$	$- 8$	$12$
	$2$	$- 2$	$- 14$	$22$	$- 16$	$24$	$0$

Etapa 6.15

Todos os números, exceto o último, tornam-se os coeficientes do polinômio do quociente. O último valor na linha de resultados é o resto.

$2 x^{5} + - 2 x^{4} - 14 x^{3} + 22 x^{2} + (- 16) x + 24$

Etapa 6.16

Simplifique o polinômio do quociente.

$2 x^{5} - 2 x^{4} - 14 x^{3} + 22 x^{2} - 16 x + 24$

Etapa 7

Fatore $2$ de $2 x^{5} - 2 x^{4} - 14 x^{3} + 22 x^{2} - 16 x + 24$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Fatore $2$ de $2 x^{5}$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x^{5}) - 2 x^{4} - 14 x^{3} + 22 x^{2} - 16 x + 24)$

Etapa 7.2

Fatore $2$ de $- 2 x^{4}$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x^{5}) + 2 (- x^{4}) - 14 x^{3} + 22 x^{2} - 16 x + 24)$

Etapa 7.3

Fatore $2$ de $- 14 x^{3}$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x^{5}) + 2 (- x^{4}) + 2 (- 7 x^{3}) + 22 x^{2} - 16 x + 24)$

Etapa 7.4

Fatore $2$ de $22 x^{2}$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x^{5}) + 2 (- x^{4}) + 2 (- 7 x^{3}) + 2 (11 x^{2}) - 16 x + 24)$

Etapa 7.5

Fatore $2$ de $- 16 x$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x^{5}) + 2 (- x^{4}) + 2 (- 7 x^{3}) + 2 (11 x^{2}) + 2 (- 8 x) + 24)$

Etapa 7.6

Fatore $2$ de $24$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x^{5}) + 2 (- x^{4}) + 2 (- 7 x^{3}) + 2 (11 x^{2}) + 2 (- 8 x) + 2 (12))$

Etapa 7.7

Fatore $2$ de $2 (x^{5}) + 2 (- x^{4})$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x^{5} - x^{4}) + 2 (- 7 x^{3}) + 2 (11 x^{2}) + 2 (- 8 x) + 2 (12))$

Etapa 7.8

Fatore $2$ de $2 (x^{5} - x^{4}) + 2 (- 7 x^{3})$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x^{5} - x^{4} - 7 x^{3}) + 2 (11 x^{2}) + 2 (- 8 x) + 2 (12))$

Etapa 7.9

Fatore $2$ de $2 (x^{5} - x^{4} - 7 x^{3}) + 2 (11 x^{2})$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x^{5} - x^{4} - 7 x^{3} + 11 x^{2}) + 2 (- 8 x) + 2 (12))$

Etapa 7.10

Fatore $2$ de $2 (x^{5} - x^{4} - 7 x^{3} + 11 x^{2}) + 2 (- 8 x)$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x^{5} - x^{4} - 7 x^{3} + 11 x^{2} - 8 x) + 2 (12))$

Etapa 7.11

Fatore $2$ de $2 (x^{5} - x^{4} - 7 x^{3} + 11 x^{2} - 8 x) + 2 (12)$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x^{5} - x^{4} - 7 x^{3} + 11 x^{2} - 8 x + 12))$

Etapa 8

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Fatore $2 x^{6} - 3 x^{5} - 13 x^{4} + 29 x^{3} - 27 x^{2} + 32 x - 12$ usando o teste das raízes racionais.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

$q = \pm 1, \pm 2$

Etapa 8.1.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 12, \pm 6, \pm 2, \pm 3, \pm 1.5, \pm 4$

Etapa 8.1.3

Substitua $0.5$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $0.5$ é uma raiz do polinômio.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1.3.1

Substitua $0.5$ no polinômio.

$2 \cdot {0.5}^{6} - 3 \cdot {0.5}^{5} - 13 \cdot {0.5}^{4} + 29 \cdot {0.5}^{3} - 27 \cdot {0.5}^{2} + 32 \cdot 0.5 - 12$

Etapa 8.1.3.2

Eleve $0.5$ à potência de $6$ .

$2 \cdot 0.015625 - 3 \cdot {0.5}^{5} - 13 \cdot {0.5}^{4} + 29 \cdot {0.5}^{3} - 27 \cdot {0.5}^{2} + 32 \cdot 0.5 - 12$

Etapa 8.1.3.3

Multiplique $2$ por $0.015625$ .

$0.03125 - 3 \cdot {0.5}^{5} - 13 \cdot {0.5}^{4} + 29 \cdot {0.5}^{3} - 27 \cdot {0.5}^{2} + 32 \cdot 0.5 - 12$

Etapa 8.1.3.4

Eleve $0.5$ à potência de $5$ .

$0.03125 - 3 \cdot 0.03125 - 13 \cdot {0.5}^{4} + 29 \cdot {0.5}^{3} - 27 \cdot {0.5}^{2} + 32 \cdot 0.5 - 12$

Etapa 8.1.3.5

Multiplique $- 3$ por $0.03125$ .

$0.03125 - 0.09375 - 13 \cdot {0.5}^{4} + 29 \cdot {0.5}^{3} - 27 \cdot {0.5}^{2} + 32 \cdot 0.5 - 12$

Etapa 8.1.3.6

Subtraia $0.09375$ de $0.03125$ .

$- 0.0625 - 13 \cdot {0.5}^{4} + 29 \cdot {0.5}^{3} - 27 \cdot {0.5}^{2} + 32 \cdot 0.5 - 12$

Etapa 8.1.3.7

Eleve $0.5$ à potência de $4$ .

$- 0.0625 - 13 \cdot 0.0625 + 29 \cdot {0.5}^{3} - 27 \cdot {0.5}^{2} + 32 \cdot 0.5 - 12$

Etapa 8.1.3.8

Multiplique $- 13$ por $0.0625$ .

$- 0.0625 - 0.8125 + 29 \cdot {0.5}^{3} - 27 \cdot {0.5}^{2} + 32 \cdot 0.5 - 12$

Etapa 8.1.3.9

Subtraia $0.8125$ de $- 0.0625$ .

$- 0.875 + 29 \cdot {0.5}^{3} - 27 \cdot {0.5}^{2} + 32 \cdot 0.5 - 12$

Etapa 8.1.3.10

Eleve $0.5$ à potência de $3$ .

$- 0.875 + 29 \cdot 0.125 - 27 \cdot {0.5}^{2} + 32 \cdot 0.5 - 12$

Etapa 8.1.3.11

Multiplique $29$ por $0.125$ .

$- 0.875 + 3.625 - 27 \cdot {0.5}^{2} + 32 \cdot 0.5 - 12$

Etapa 8.1.3.12

Some $- 0.875$ e $3.625$ .

$2.75 - 27 \cdot {0.5}^{2} + 32 \cdot 0.5 - 12$

Etapa 8.1.3.13

Eleve $0.5$ à potência de $2$ .

$2.75 - 27 \cdot 0.25 + 32 \cdot 0.5 - 12$

Etapa 8.1.3.14

Multiplique $- 27$ por $0.25$ .

$2.75 - 6.75 + 32 \cdot 0.5 - 12$

Etapa 8.1.3.15

Subtraia $6.75$ de $2.75$ .

$- 4 + 32 \cdot 0.5 - 12$

Etapa 8.1.3.16

Multiplique $32$ por $0.5$ .

$- 4 + 16 - 12$

Etapa 8.1.3.17

Some $- 4$ e $16$ .

$12 - 12$

Etapa 8.1.3.18

Subtraia $12$ de $12$ .

$0$

Etapa 8.1.4

Como $0.5$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $2 x - 1$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{2 x^{6} - 3 x^{5} - 13 x^{4} + 29 x^{3} - 27 x^{2} + 32 x - 12}{2 x - 1}$

Etapa 8.1.5

Divida $2 x^{6} - 3 x^{5} - 13 x^{4} + 29 x^{3} - 27 x^{2} + 32 x - 12$ por $2 x - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

Etapa 8.1.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $2 x^{6}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $2 x$ .

					$x^{5}$
	$2 x$	-	$1$		$2 x^{6}$	-	$3 x^{5}$	-	$13 x^{4}$	+	$29 x^{3}$	-	$27 x^{2}$	+	$32 x$	-	$12$

Etapa 8.1.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$x^{5}$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

Etapa 8.1.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $2 x^{6} - x^{5}$ .

$x^{5}$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

Etapa 8.1.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$x^{5}$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$2 x^{5}$

Etapa 8.1.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{5}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{6}$	-	$3 x^{5}$	-	$13 x^{4}$	+	$29 x^{3}$	-	$27 x^{2}$	+	$32 x$	-	$12$
			-	$2 x^{6}$	+	$x^{5}$
					-	$2 x^{5}$	-	$13 x^{4}$

Etapa 8.1.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 2 x^{5}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $2 x$ .

				$x^{5}$	-	$x^{4}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{6}$	-	$3 x^{5}$	-	$13 x^{4}$	+	$29 x^{3}$	-	$27 x^{2}$	+	$32 x$	-	$12$
			-	$2 x^{6}$	+	$x^{5}$
					-	$2 x^{5}$	-	$13 x^{4}$

Etapa 8.1.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$x^{5}$

$x^{4}$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$2 x^{5}$

$x^{4}$

Etapa 8.1.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 2 x^{5} + x^{4}$ .

$x^{5}$

$x^{4}$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$2 x^{5}$

$x^{4}$

Etapa 8.1.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$x^{5}$

$x^{4}$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$2 x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

Etapa 8.1.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$x^{5}$

$x^{4}$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$2 x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$29 x^{3}$

Etapa 8.1.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 14 x^{4}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $2 x$ .

$x^{5}$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$2 x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$29 x^{3}$

Etapa 8.1.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$x^{5}$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$2 x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$29 x^{3}$

$14 x^{4}$

$7 x^{3}$

Etapa 8.1.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 14 x^{4} + 7 x^{3}$ .

$x^{5}$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$2 x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$29 x^{3}$

$14 x^{4}$

$7 x^{3}$

Etapa 8.1.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$x^{5}$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$2 x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$29 x^{3}$

$14 x^{4}$

$7 x^{3}$

$22 x^{3}$

Etapa 8.1.5.16

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$x^{5}$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$2 x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$29 x^{3}$

$14 x^{4}$

$7 x^{3}$

$22 x^{3}$

$27 x^{2}$

Etapa 8.1.5.17

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $22 x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $2 x$ .

$x^{5}$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$11 x^{2}$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$2 x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$29 x^{3}$

$14 x^{4}$

$7 x^{3}$

$22 x^{3}$

$27 x^{2}$

Etapa 8.1.5.18

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$x^{5}$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$11 x^{2}$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$2 x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$29 x^{3}$

$14 x^{4}$

$7 x^{3}$

$22 x^{3}$

$27 x^{2}$

$22 x^{3}$

$11 x^{2}$

Etapa 8.1.5.19

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $22 x^{3} - 11 x^{2}$ .

$x^{5}$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$11 x^{2}$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$2 x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$29 x^{3}$

$14 x^{4}$

$7 x^{3}$

$22 x^{3}$

$27 x^{2}$

$22 x^{3}$

$11 x^{2}$

Etapa 8.1.5.20

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$x^{5}$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$11 x^{2}$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$2 x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$29 x^{3}$

$14 x^{4}$

$7 x^{3}$

$22 x^{3}$

$27 x^{2}$

$22 x^{3}$

$11 x^{2}$

$16 x^{2}$

Etapa 8.1.5.21

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$x^{5}$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$11 x^{2}$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$2 x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$29 x^{3}$

$14 x^{4}$

$7 x^{3}$

$22 x^{3}$

$27 x^{2}$

$22 x^{3}$

$11 x^{2}$

$16 x^{2}$

$32 x$

Etapa 8.1.5.22

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 16 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $2 x$ .

$x^{5}$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$11 x^{2}$

$8 x$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$2 x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$29 x^{3}$

$14 x^{4}$

$7 x^{3}$

$22 x^{3}$

$27 x^{2}$

$22 x^{3}$

$11 x^{2}$

$16 x^{2}$

$32 x$

Etapa 8.1.5.23

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$x^{5}$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$11 x^{2}$

$8 x$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$2 x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$29 x^{3}$

$14 x^{4}$

$7 x^{3}$

$22 x^{3}$

$27 x^{2}$

$22 x^{3}$

$11 x^{2}$

$16 x^{2}$

$32 x$

$16 x^{2}$

$8 x$

Etapa 8.1.5.24

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 16 x^{2} + 8 x$ .

$x^{5}$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$11 x^{2}$

$8 x$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$2 x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$29 x^{3}$

$14 x^{4}$

$7 x^{3}$

$22 x^{3}$

$27 x^{2}$

$22 x^{3}$

$11 x^{2}$

$16 x^{2}$

$32 x$

$16 x^{2}$

$8 x$

Etapa 8.1.5.25

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$x^{5}$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$11 x^{2}$

$8 x$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$2 x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$29 x^{3}$

$14 x^{4}$

$7 x^{3}$

$22 x^{3}$

$27 x^{2}$

$22 x^{3}$

$11 x^{2}$

$16 x^{2}$

$32 x$

$16 x^{2}$

$8 x$

$24 x$

Etapa 8.1.5.26

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$x^{5}$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$11 x^{2}$

$8 x$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$2 x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$29 x^{3}$

$14 x^{4}$

$7 x^{3}$

$22 x^{3}$

$27 x^{2}$

$22 x^{3}$

$11 x^{2}$

$16 x^{2}$

$32 x$

$16 x^{2}$

$8 x$

$24 x$

$12$

Etapa 8.1.5.27

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $24 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $2 x$ .

$x^{5}$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$11 x^{2}$

$8 x$

$12$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$2 x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$29 x^{3}$

$14 x^{4}$

$7 x^{3}$

$22 x^{3}$

$27 x^{2}$

$22 x^{3}$

$11 x^{2}$

$16 x^{2}$

$32 x$

$16 x^{2}$

$8 x$

$24 x$

$12$

Etapa 8.1.5.28

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$x^{5}$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$11 x^{2}$

$8 x$

$12$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$2 x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$29 x^{3}$

$14 x^{4}$

$7 x^{3}$

$22 x^{3}$

$27 x^{2}$

$22 x^{3}$

$11 x^{2}$

$16 x^{2}$

$32 x$

$16 x^{2}$

$8 x$

$24 x$

$12$

$24 x$

$12$

Etapa 8.1.5.29

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $24 x - 12$ .

$x^{5}$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$11 x^{2}$

$8 x$

$12$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$2 x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$29 x^{3}$

$14 x^{4}$

$7 x^{3}$

$22 x^{3}$

$27 x^{2}$

$22 x^{3}$

$11 x^{2}$

$16 x^{2}$

$32 x$

$16 x^{2}$

$8 x$

$24 x$

$12$

$24 x$

$12$

Etapa 8.1.5.30

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$x^{5}$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$11 x^{2}$

$8 x$

$12$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$2 x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$29 x^{3}$

$14 x^{4}$

$7 x^{3}$

$22 x^{3}$

$27 x^{2}$

$22 x^{3}$

$11 x^{2}$

$16 x^{2}$

$32 x$

$16 x^{2}$

$8 x$

$24 x$

$12$

$24 x$

$12$

$0$

Etapa 8.1.5.31

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$x^{5} - x^{4} - 7 x^{3} + 11 x^{2} - 8 x + 12$

Etapa 8.1.6

Escreva $2 x^{6} - 3 x^{5} - 13 x^{4} + 29 x^{3} - 27 x^{2} + 32 x - 12$ como um conjunto de fatores.

$(2 x - 1) (x^{5} - x^{4} - 7 x^{3} + 11 x^{2} - 8 x + 12) = 0$

Etapa 8.2

Reagrupe os termos.

$(2 x - 1) (x^{5} - x^{4} - 8 x - 7 x^{3} + 11 x^{2} + 12) = 0$

Etapa 8.3

Fatore $x$ de $x^{5} - x^{4} - 8 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1

Fatore $x$ de $x^{5}$ .

$(2 x - 1) (x \cdot x^{4} - x^{4} - 8 x - 7 x^{3} + 11 x^{2} + 12) = 0$

Etapa 8.3.2

Fatore $x$ de $- x^{4}$ .

$(2 x - 1) (x \cdot x^{4} + x (- x^{3}) - 8 x - 7 x^{3} + 11 x^{2} + 12) = 0$

Etapa 8.3.3

Fatore $x$ de $- 8 x$ .

$(2 x - 1) (x \cdot x^{4} + x (- x^{3}) + x \cdot - 8 - 7 x^{3} + 11 x^{2} + 12) = 0$

Etapa 8.3.4

Fatore $x$ de $x \cdot x^{4} + x (- x^{3})$ .

$(2 x - 1) (x (x^{4} - x^{3}) + x \cdot - 8 - 7 x^{3} + 11 x^{2} + 12) = 0$

Etapa 8.3.5

Fatore $x$ de $x (x^{4} - x^{3}) + x \cdot - 8$ .

$(2 x - 1) (x (x^{4} - x^{3} - 8) - 7 x^{3} + 11 x^{2} + 12) = 0$

Etapa 8.4

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.1

Fatore $x^{4} - x^{3} - 8$ usando o teste das raízes racionais.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

$q = \pm 1$

Etapa 8.4.1.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

Etapa 8.4.1.3

Substitua $2$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $2$ é uma raiz do polinômio.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.1.3.1

Substitua $2$ no polinômio.

$2^{4} - 2^{3} - 8$

Etapa 8.4.1.3.2

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$16 - 2^{3} - 8$

Etapa 8.4.1.3.3

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$16 - 1 \cdot 8 - 8$

Etapa 8.4.1.3.4

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$16 - 8 - 8$

Etapa 8.4.1.3.5

Subtraia $8$ de $16$ .

$8 - 8$

Etapa 8.4.1.3.6

Subtraia $8$ de $8$ .

$0$

Etapa 8.4.1.4

Como $2$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x - 2$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{x^{4} - x^{3} - 8}{x - 2}$

Etapa 8.4.1.5

Divida $x^{4} - x^{3} - 8$ por $x - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.1.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$8$

Etapa 8.4.1.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{4}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$8$

Etapa 8.4.1.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

Etapa 8.4.1.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{4} - 2 x^{3}$ .

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

Etapa 8.4.1.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

Etapa 8.4.1.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

Etapa 8.4.1.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

Etapa 8.4.1.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

Etapa 8.4.1.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{3} - 2 x^{2}$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

Etapa 8.4.1.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

Etapa 8.4.1.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$0 x$

Etapa 8.4.1.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $2 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$0 x$

Etapa 8.4.1.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$2 x^{2}$

$4 x$

Etapa 8.4.1.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $2 x^{2} - 4 x$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$2 x^{2}$

$4 x$

Etapa 8.4.1.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$2 x^{2}$

$4 x$

Etapa 8.4.1.5.16

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$2 x^{2}$

$4 x$

$8$

Etapa 8.4.1.5.17

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $4 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

$4$

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$2 x^{2}$

$4 x$

$8$

Etapa 8.4.1.5.18

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

$4$

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$2 x^{2}$

$4 x$

$8$

$4 x$

$8$

Etapa 8.4.1.5.19

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $4 x - 8$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

$4$

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$2 x^{2}$

$4 x$

$8$

$4 x$

$8$

Etapa 8.4.1.5.20

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

$4$

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$2 x^{2}$

$4 x$

$8$

$4 x$

$8$

$0$

Etapa 8.4.1.5.21

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$x^{3} + x^{2} + 2 x + 4$

Etapa 8.4.1.6

Escreva $x^{4} - x^{3} - 8$ como um conjunto de fatores.

$(2 x - 1) (x ((x - 2) (x^{3} + x^{2} + 2 x + 4)) - 7 x^{3} + 11 x^{2} + 12) = 0$

Etapa 8.4.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(2 x - 1) (x (x - 2) (x^{3} + x^{2} + 2 x + 4) - 7 x^{3} + 11 x^{2} + 12) = 0$

Etapa 8.5

Fatore $- 7 x^{3} + 11 x^{2} + 12$ usando o teste das raízes racionais.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.5.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

$q = \pm 1, \pm 7$

Etapa 8.5.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 0.\overline{142857}, \pm 12, \pm 1.\overline{714285}, \pm 2, \pm 0.\overline{285714}, \pm 6, \pm 0.\overline{857142}, \pm 3, \pm 0.\overline{428571}, \pm 4, \pm 0.\overline{571428}$

Etapa 8.5.3

Substitua $2$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $2$ é uma raiz do polinômio.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.5.3.1

Substitua $2$ no polinômio.

$- 7 \cdot 2^{3} + 11 \cdot 2^{2} + 12$

Etapa 8.5.3.2

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$- 7 \cdot 8 + 11 \cdot 2^{2} + 12$

Etapa 8.5.3.3

Multiplique $- 7$ por $8$ .

$- 56 + 11 \cdot 2^{2} + 12$

Etapa 8.5.3.4

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$- 56 + 11 \cdot 4 + 12$

Etapa 8.5.3.5

Multiplique $11$ por $4$ .

$- 56 + 44 + 12$

Etapa 8.5.3.6

Some $- 56$ e $44$ .

$- 12 + 12$

Etapa 8.5.3.7

Some $- 12$ e $12$ .

$0$

Etapa 8.5.4

Como $2$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x - 2$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{- 7 x^{3} + 11 x^{2} + 12}{x - 2}$

Etapa 8.5.5

Divida $- 7 x^{3} + 11 x^{2} + 12$ por $x - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.5.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$2$

$7 x^{3}$

$11 x^{2}$

$0 x$

$12$

Etapa 8.5.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 7 x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				-	$7 x^{2}$
	$x$	-	$2$	-	$7 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$

Etapa 8.5.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

			-	$7 x^{2}$
$x$	-	$2$	-	$7 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$
			-	$7 x^{3}$	+	$14 x^{2}$

Etapa 8.5.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 7 x^{3} + 14 x^{2}$ .

			-	$7 x^{2}$
$x$	-	$2$	-	$7 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$
			+	$7 x^{3}$	-	$14 x^{2}$

Etapa 8.5.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

			-	$7 x^{2}$
$x$	-	$2$	-	$7 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$
			+	$7 x^{3}$	-	$14 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$

Etapa 8.5.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

			-	$7 x^{2}$
$x$	-	$2$	-	$7 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$
			+	$7 x^{3}$	-	$14 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$

Etapa 8.5.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 3 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

			-	$7 x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$2$	-	$7 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$
			+	$7 x^{3}$	-	$14 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$

Etapa 8.5.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

			-	$7 x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$2$	-	$7 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$
			+	$7 x^{3}$	-	$14 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$6 x$

Etapa 8.5.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 3 x^{2} + 6 x$ .

			-	$7 x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$2$	-	$7 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$
			+	$7 x^{3}$	-	$14 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$6 x$

Etapa 8.5.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

			-	$7 x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$2$	-	$7 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$
			+	$7 x^{3}$	-	$14 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$6 x$
							-	$6 x$

Etapa 8.5.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

			-	$7 x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$2$	-	$7 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$
			+	$7 x^{3}$	-	$14 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$6 x$
							-	$6 x$	+	$12$

Etapa 8.5.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 6 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

			-	$7 x^{2}$	-	$3 x$	-	$6$
$x$	-	$2$	-	$7 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$
			+	$7 x^{3}$	-	$14 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$6 x$
							-	$6 x$	+	$12$

Etapa 8.5.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

			-	$7 x^{2}$	-	$3 x$	-	$6$
$x$	-	$2$	-	$7 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$
			+	$7 x^{3}$	-	$14 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$6 x$
							-	$6 x$	+	$12$
							-	$6 x$	+	$12$

Etapa 8.5.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 6 x + 12$ .

			-	$7 x^{2}$	-	$3 x$	-	$6$
$x$	-	$2$	-	$7 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$
			+	$7 x^{3}$	-	$14 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$6 x$
							-	$6 x$	+	$12$
							+	$6 x$	-	$12$

Etapa 8.5.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

			-	$7 x^{2}$	-	$3 x$	-	$6$
$x$	-	$2$	-	$7 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$
			+	$7 x^{3}$	-	$14 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$6 x$
							-	$6 x$	+	$12$
							+	$6 x$	-	$12$
										$0$

Etapa 8.5.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$- 7 x^{2} - 3 x - 6$

Etapa 8.5.6

Escreva $- 7 x^{3} + 11 x^{2} + 12$ como um conjunto de fatores.

$(2 x - 1) (x (x - 2) (x^{3} + x^{2} + 2 x + 4) + (x - 2) (- 7 x^{2} - 3 x - 6)) = 0$

Etapa 8.6

Fatore $x - 2$ de $x (x - 2) (x^{3} + x^{2} + 2 x + 4) + (x - 2) (- 7 x^{2} - 3 x - 6)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.6.1

Fatore $x - 2$ de $x (x - 2) (x^{3} + x^{2} + 2 x + 4)$ .

$(2 x - 1) ((x - 2) (x (x^{3} + x^{2} + 2 x + 4)) + (x - 2) (- 7 x^{2} - 3 x - 6)) = 0$

Etapa 8.6.2

Fatore $x - 2$ de $(x - 2) (x (x^{3} + x^{2} + 2 x + 4)) + (x - 2) (- 7 x^{2} - 3 x - 6)$ .

$(2 x - 1) ((x - 2) (x (x^{3} + x^{2} + 2 x + 4) - 7 x^{2} - 3 x - 6)) = 0$

Etapa 8.7

Aplique a propriedade distributiva.

$(2 x - 1) ((x - 2) (x \cdot x^{3} + x \cdot x^{2} + x (2 x) + x \cdot 4 - 7 x^{2} - 3 x - 6)) = 0$

Etapa 8.8

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.8.1

Multiplique $x$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.8.1.1

Multiplique $x$ por $x^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.8.1.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$(2 x - 1) ((x - 2) (x \cdot x^{3} + x \cdot x^{2} + x (2 x) + x \cdot 4 - 7 x^{2} - 3 x - 6)) = 0$

Etapa 8.8.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(2 x - 1) ((x - 2) (x^{1 + 3} + x \cdot x^{2} + x (2 x) + x \cdot 4 - 7 x^{2} - 3 x - 6)) = 0$

Etapa 8.8.1.2

Some $1$ e $3$ .

$(2 x - 1) ((x - 2) (x^{4} + x \cdot x^{2} + x (2 x) + x \cdot 4 - 7 x^{2} - 3 x - 6)) = 0$

Etapa 8.8.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.8.2.1

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.8.2.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$(2 x - 1) ((x - 2) (x^{4} + x \cdot x^{2} + x (2 x) + x \cdot 4 - 7 x^{2} - 3 x - 6)) = 0$

Etapa 8.8.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(2 x - 1) ((x - 2) (x^{4} + x^{1 + 2} + x (2 x) + x \cdot 4 - 7 x^{2} - 3 x - 6)) = 0$

Etapa 8.8.2.2

Some $1$ e $2$ .

$(2 x - 1) ((x - 2) (x^{4} + x^{3} + x (2 x) + x \cdot 4 - 7 x^{2} - 3 x - 6)) = 0$

Etapa 8.8.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$(2 x - 1) ((x - 2) (x^{4} + x^{3} + 2 x \cdot x + x \cdot 4 - 7 x^{2} - 3 x - 6)) = 0$

Etapa 8.8.4

Mova $4$ para a esquerda de $x$ .

$(2 x - 1) ((x - 2) (x^{4} + x^{3} + 2 x \cdot x + 4 \cdot x - 7 x^{2} - 3 x - 6)) = 0$

Etapa 8.9

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.9.1

Mova $x$ .

$(2 x - 1) ((x - 2) (x^{4} + x^{3} + 2 (x \cdot x) + 4 \cdot x - 7 x^{2} - 3 x - 6)) = 0$

Etapa 8.9.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$(2 x - 1) ((x - 2) (x^{4} + x^{3} + 2 x^{2} + 4 \cdot x - 7 x^{2} - 3 x - 6)) = 0$

$(2 x - 1) ((x - 2) (x^{4} + x^{3} + 2 x^{2} + 4 x - 7 x^{2} - 3 x - 6)) = 0$

Etapa 8.10

Subtraia $7 x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$(2 x - 1) ((x - 2) (x^{4} + x^{3} - 5 x^{2} + 4 x - 3 x - 6)) = 0$

Etapa 8.11

Subtraia $3 x$ de $4 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.11.1

Subtraia $3 x$ de $4 x$ .

$(2 x - 1) ((x - 2) (x^{4} + x^{3} - 5 x^{2} + x - 6)) = 0$

Etapa 8.11.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(2 x - 1) (x - 2) (x^{4} + x^{3} - 5 x^{2} + x - 6) = 0$

Etapa 9

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$2 x - 1 = 0$

$x - 2 = 0$

$x^{4} + x^{3} - 5 x^{2} + x - 6 = 0$

Etapa 10

Defina $2 x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Defina $2 x - 1$ como igual a $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Etapa 10.2

Resolva $2 x - 1 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$2 x = 1$

Etapa 10.2.2

Divida cada termo em $2 x = 1$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.2.1

Divida cada termo em $2 x = 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 10.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 10.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Etapa 11

Defina $x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 11.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 12

Defina $x^{4} + x^{3} - 5 x^{2} + x - 6$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Defina $x^{4} + x^{3} - 5 x^{2} + x - 6$ como igual a $0$ .

$x^{4} + x^{3} - 5 x^{2} + x - 6 = 0$

Etapa 12.2

Resolva $x^{4} + x^{3} - 5 x^{2} + x - 6 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1.1

Reagrupe os termos.

$x^{3} + x + x^{4} - 5 x^{2} - 6 = 0$

Etapa 12.2.1.2

Fatore $x$ de $x^{3} + x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1.2.1

Fatore $x$ de $x^{3}$ .

$x \cdot x^{2} + x + x^{4} - 5 x^{2} - 6 = 0$

Etapa 12.2.1.2.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x \cdot x^{2} + x + x^{4} - 5 x^{2} - 6 = 0$

Etapa 12.2.1.2.3

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$x \cdot x^{2} + x \cdot 1 + x^{4} - 5 x^{2} - 6 = 0$

Etapa 12.2.1.2.4

Fatore $x$ de $x \cdot x^{2} + x \cdot 1$ .

$x (x^{2} + 1) + x^{4} - 5 x^{2} - 6 = 0$

Etapa 12.2.1.3

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$x (x^{2} + 1) + {(x^{2})}^{2} - 5 x^{2} - 6 = 0$

Etapa 12.2.1.4

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$x (x^{2} + 1) + u^{2} - 5 u - 6 = 0$

Etapa 12.2.1.5

Fatore $u^{2} - 5 u - 6$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1.5.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 6$ e cuja soma é $- 5$ .

$- 6, 1$

Etapa 12.2.1.5.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$x (x^{2} + 1) + (u - 6) (u + 1) = 0$

Etapa 12.2.1.6

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$x (x^{2} + 1) + (x^{2} - 6) (x^{2} + 1) = 0$

Etapa 12.2.1.7

Fatore $x^{2} + 1$ de $x (x^{2} + 1) + (x^{2} - 6) (x^{2} + 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1.7.1

Fatore $x^{2} + 1$ de $x (x^{2} + 1)$ .

$(x^{2} + 1) x + (x^{2} - 6) (x^{2} + 1) = 0$

Etapa 12.2.1.7.2

Fatore $x^{2} + 1$ de $(x^{2} - 6) (x^{2} + 1)$ .

$(x^{2} + 1) x + (x^{2} + 1) (x^{2} - 6) = 0$

Etapa 12.2.1.7.3

Fatore $x^{2} + 1$ de $(x^{2} + 1) x + (x^{2} + 1) (x^{2} - 6)$ .

$(x^{2} + 1) (x + x^{2} - 6) = 0$

Etapa 12.2.1.8

Deixe $u = x$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x$ .

$(x^{2} + 1) (u + u^{2} - 6) = 0$

Etapa 12.2.1.9

Fatore $u + u^{2} - 6$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1.9.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 6$ e cuja soma é $1$ .

$- 2, 3$

Etapa 12.2.1.9.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x^{2} + 1) ((u - 2) (u + 3)) = 0$

Etapa 12.2.1.10

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1.10.1

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x$ .

$(x^{2} + 1) ((x - 2) (x + 3)) = 0$

Etapa 12.2.1.10.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x^{2} + 1) (x - 2) (x + 3) = 0$

Etapa 12.2.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

$x - 2 = 0$

$x + 3 = 0$

Etapa 12.2.3

Defina $x^{2} + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.3.1

Defina $x^{2} + 1$ como igual a $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

Etapa 12.2.3.2

Resolva $x^{2} + 1 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.3.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x^{2} = - 1$

Etapa 12.2.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Etapa 12.2.3.2.3

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i$

Etapa 12.2.3.2.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.3.2.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = i$

Etapa 12.2.3.2.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - i$

Etapa 12.2.3.2.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = i, - i$

Etapa 12.2.4

Defina $x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.4.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 12.2.4.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 12.2.5

Defina $x + 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.5.1

Defina $x + 3$ como igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Etapa 12.2.5.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$x = - 3$

Etapa 12.2.6

A solução final são todos os valores que tornam $(x^{2} + 1) (x - 2) (x + 3) = 0$ verdadeiro.

$x = i, - i, 2, - 3$

Etapa 13

A solução final são todos os valores que tornam $(2 x - 1) (x - 2) (x^{4} + x^{3} - 5 x^{2} + x - 6) = 0$ verdadeiro.

$x = \frac{1}{2}, 2, i, - i, - 3$

Etapa 14