Álgebra Exemplos

$4 \cos^{2} (x) - 4 \cos (x) + 1 = 0$

Etapa 1

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 1.1

Reescreva $4 \cos^{2} (x)$ como ${(2 \cos (x))}^{2}$ .

${(2 \cos (x))}^{2} - 4 \cos (x) + 1 = 0$

Etapa 1.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

${(2 \cos (x))}^{2} - 4 \cos (x) + 1^{2} = 0$

Etapa 1.3

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$4 \cos (x) = 2 \cdot (2 \cos (x)) \cdot 1$

Etapa 1.4

Reescreva o polinômio.

${(2 \cos (x))}^{2} - 2 \cdot (2 \cos (x)) \cdot 1 + 1^{2} = 0$

Etapa 1.5

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , em que $a = 2 \cos (x)$ e $b = 1$ .

${(2 \cos (x) - 1)}^{2} = 0$

Etapa 2

Defina $2 \cos (x) - 1$ como igual a $0$ .

$2 \cos (x) - 1 = 0$

Etapa 3

Resolva $x$ .

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Etapa 3.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$2 \cos (x) = 1$

Etapa 3.2

Divida cada termo em $2 \cos (x) = 1$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 3.2.1

Divida cada termo em $2 \cos (x) = 1$ por $2$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 3.2.2.1.2

Divida $\cos (x)$ por $1$ .

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

Etapa 3.3

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$x = \arccos (\frac{1}{2})$

Etapa 3.4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.4.1

O valor exato de $\arccos (\frac{1}{2})$ é $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Etapa 3.5

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

Etapa 3.6

Simplifique $2 π - \frac{π}{3}$ .

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Etapa 3.6.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Etapa 3.6.2

Combine frações.

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Etapa 3.6.2.1

Combine $2 π$ e $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Etapa 3.6.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Etapa 3.6.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.6.3.1

Multiplique $3$ por $2$ .

$x = \frac{6 π - π}{3}$

Etapa 3.6.3.2

Subtraia $π$ de $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Etapa 3.7

Encontre o período de $\cos (x)$ .

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Etapa 3.7.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 3.7.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 3.7.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 3.7.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 3.8

O período da função $\cos (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$