Álgebra Exemplos

$y = x \sqrt{x}$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y = x \cdot x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 2

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (x \cdot x^{\frac{1}{2}})$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1$

Etapa 4

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 4.1

Multiplique $x$ por $x^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.1.1

Multiplique $x$ por $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 4.1.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{d}{d y} [x^{1} x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 4.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{d}{d y} [x^{1 + \frac{1}{2}}]$

Etapa 4.1.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{d}{d y} [x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}]$

Etapa 4.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d}{d y} [x^{\frac{2 + 1}{2}}]$

Etapa 4.1.4

Some $2$ e $1$ .

$\frac{d}{d y} [x^{\frac{3}{2}}]$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = y^{\frac{3}{2}}$ e $g (y) = x$ .

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Etapa 4.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{3}{2}}] \frac{d}{d y} [x]$

Etapa 4.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d y} [x]$

Etapa 4.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x$ .

$\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d y} [x]$

Etapa 4.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

Etapa 4.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

Etapa 4.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

Etapa 4.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

Etapa 4.6.2

Subtraia $2$ de $3$ .

$\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

Etapa 4.7

Combine $\frac{3}{2}$ e $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d y} [x]$

Etapa 4.8

Reescreva $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} x'$

Etapa 4.9

Combine $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ e $x'$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} x'}{2}$

Etapa 5

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$1 = \frac{3 x^{\frac{1}{2}} x'}{2}$

Etapa 6

Resolva $x'$ .

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Etapa 6.1

Reescreva a equação como $\frac{3 x^{\frac{1}{2}} x'}{2} = 1$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} x'}{2} = 1$

Etapa 6.2

Multiplique os dois lados da equação por $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x^{\frac{1}{2}} x'}{2} = \frac{2}{3} \cdot 1$

Etapa 6.3

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 6.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.3.1.1

Simplifique $\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x^{\frac{1}{2}} x'}{2}$ .

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Etapa 6.3.1.1.1

Combine.

$\frac{2 (3 x^{\frac{1}{2}} x')}{3 \cdot 2} = \frac{2}{3} \cdot 1$

Etapa 6.3.1.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (3 x^{\frac{1}{2}} x')}{3 \cdot 2} = \frac{2}{3} \cdot 1$

Etapa 6.3.1.1.3

Reescreva a expressão.

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} x'}{3} = \frac{2}{3} \cdot 1$

Etapa 6.3.1.1.4

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} x'}{3} = \frac{2}{3} \cdot 1$

Etapa 6.3.1.1.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 6.3.1.1.5.1

Divida $x^{\frac{1}{2}} x'$ por $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} x' = \frac{2}{3} \cdot 1$

Etapa 6.3.1.1.5.2

Reordene os fatores em $x^{\frac{1}{2}} x'$ .

$x' x^{\frac{1}{2}} = \frac{2}{3} \cdot 1$

Etapa 6.3.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.3.2.1

Multiplique $\frac{2}{3}$ por $1$ .

$x' x^{\frac{1}{2}} = \frac{2}{3}$

Etapa 6.4

Divida cada termo em $x' x^{\frac{1}{2}} = \frac{2}{3}$ por $x^{\frac{1}{2}}$ e simplifique.

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Etapa 6.4.1

Divida cada termo em $x' x^{\frac{1}{2}} = \frac{2}{3}$ por $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x' x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} = \frac{\frac{2}{3}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 6.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.4.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x' x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} = \frac{\frac{2}{3}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 6.4.2.2

Divida $x'$ por $1$ .

$x' = \frac{\frac{2}{3}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 6.4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.4.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$x' = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 6.4.3.2

Combine.

$x' = \frac{2 \cdot 1}{3 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 6.4.3.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$x' = \frac{2}{3 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 7

Substitua $x'$ por $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{2}{3 x^{\frac{1}{2}}}$