Álgebra Exemplos

$x^{2} \cos (y) + \sin (2 y) = x y$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d y} (x^{2} \cos (y) + \sin (2 y)) = \frac{d}{d y} (x y)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} \cos (y) + \sin (2 y)$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [x^{2} \cos (y)] + \frac{d}{d y} [\sin (2 y)]$ .

$\frac{d}{d y} [x^{2} \cos (y)] + \frac{d}{d y} [\sin (2 y)]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d y} [x^{2} \cos (y)]$ .

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Etapa 2.2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ é $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , em que $f (y) = x^{2}$ e $g (y) = \cos (y)$ .

$x^{2} \frac{d}{d y} [\cos (y)] + \cos (y) \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [\sin (2 y)]$

Etapa 2.2.2

A derivada de $\cos (y)$ em relação a $y$ é $- \sin (y)$ .

$x^{2} (- \sin (y)) + \cos (y) \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [\sin (2 y)]$

Etapa 2.2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = y^{2}$ e $g (y) = x$ .

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Etapa 2.2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $x$ .

$x^{2} (- \sin (y)) + \cos (y) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [\sin (2 y)]$

Etapa 2.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x^{2} (- \sin (y)) + \cos (y) (2 u_{1} \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [\sin (2 y)]$

Etapa 2.2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x$ .

$x^{2} (- \sin (y)) + \cos (y) (2 x \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [\sin (2 y)]$

Etapa 2.2.4

Reescreva $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$x^{2} (- \sin (y)) + \cos (y) (2 x x') + \frac{d}{d y} [\sin (2 y)]$

Etapa 2.2.5

Mova $2$ para a esquerda de $\cos (y)$ .

$x^{2} (- \sin (y)) + 2 \cos (y) x x' + \frac{d}{d y} [\sin (2 y)]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d y} [\sin (2 y)]$ .

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Etapa 2.3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = \sin (y)$ e $g (y) = 2 y$ .

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Etapa 2.3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $2 y$ .

$x^{2} (- \sin (y)) + 2 \cos (y) x x' + \frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d y} [2 y]$

Etapa 2.3.1.2

A derivada de $\sin (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $\cos (u_{2})$ .

$x^{2} (- \sin (y)) + 2 \cos (y) x x' + \cos (u_{2}) \frac{d}{d y} [2 y]$

Etapa 2.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $2 y$ .

$x^{2} (- \sin (y)) + 2 \cos (y) x x' + \cos (2 y) \frac{d}{d y} [2 y]$

Etapa 2.3.2

Como $2$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $2 y$ em relação a $y$ é $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$x^{2} (- \sin (y)) + 2 \cos (y) x x' + \cos (2 y) (2 \frac{d}{d y} [y])$

Etapa 2.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x^{2} (- \sin (y)) + 2 \cos (y) x x' + \cos (2 y) (2 \cdot 1)$

Etapa 2.3.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$x^{2} (- \sin (y)) + 2 \cos (y) x x' + \cos (2 y) \cdot 2$

Etapa 2.3.5

Mova $2$ para a esquerda de $\cos (2 y)$ .

$x^{2} (- \sin (y)) + 2 \cos (y) x x' + 2 \cos (2 y)$

Etapa 2.4

Reordene os termos.

$- x^{2} \sin (y) + 2 x \cos (y) x' + 2 \cos (2 y)$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ é $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , em que $f (y) = x$ e $g (y) = y$ .

$x \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 3.2.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x]$

Etapa 3.2.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$x + y \frac{d}{d y} [x]$

Etapa 3.3

Reescreva $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$x + y x'$

Etapa 3.4

Reordene os termos.

$y x' + x$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$- x^{2} \sin (y) + 2 x \cos (y) x' + 2 \cos (2 y) = y x' + x$

Etapa 5

Resolva $x'$ .

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Etapa 5.1

Use a fórmula do arco duplo para transformar $\cos (2 x)$ em $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$- x^{2} \sin (y) + 2 x \cos (y) x' + 2 (1 - 2 \sin^{2} (y)) = y x' + x$

Etapa 5.2

Mova todos os termos que não contêm $x'$ para o lado direito da equação.

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Etapa 5.2.1

Some $x^{2} \sin (y)$ aos dois lados da equação.

$2 x \cos (y) x' + 2 (1 - 2 \sin^{2} (y)) = y x' + x + x^{2} \sin (y)$

Etapa 5.2.2

Subtraia $2 (1 - 2 \sin^{2} (y))$ dos dois lados da equação.

$2 x \cos (y) x' = y x' + x + x^{2} \sin (y) - 2 (1 - 2 \sin^{2} (y))$

Etapa 5.3

Subtraia $y x'$ dos dois lados da equação.

$2 x \cos (y) x' - y x' = x + x^{2} \sin (y) - 2 (1 - 2 \sin^{2} (y))$

Etapa 5.4

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.4.1

Reordene os fatores em $2 x \cos (y) x' - y x'$ .

$2 x x' \cos (y) - y x' = x + x^{2} \sin (y) - 2 (1 - 2 \sin^{2} (y))$

Etapa 5.5

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.5.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x x' \cos (y) - y x' = x + x^{2} \sin (y) - 2 \cdot 1 - 2 (- 2 \sin^{2} (y))$

Etapa 5.5.1.2

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$2 x x' \cos (y) - y x' = x + x^{2} \sin (y) - 2 - 2 (- 2 \sin^{2} (y))$

Etapa 5.5.1.3

Multiplique $- 2$ por $- 2$ .

$2 x x' \cos (y) - y x' = x + x^{2} \sin (y) - 2 + 4 \sin^{2} (y)$

Etapa 5.6

Resolva a equação para $x'$ .

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Etapa 5.6.1

Fatore $x'$ de $2 x x' \cos (y) - y x'$ .

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Etapa 5.6.1.1

Fatore $x'$ de $2 x x' \cos (y)$ .

$x' (2 x \cos (y)) - y x' = x + x^{2} \sin (y) - 2 + 4 \sin^{2} (y)$

Etapa 5.6.1.2

Fatore $x'$ de $- y x'$ .

$x' (2 x \cos (y)) + x' (- y) = x + x^{2} \sin (y) - 2 + 4 \sin^{2} (y)$

Etapa 5.6.1.3

Fatore $x'$ de $x' (2 x \cos (y)) + x' (- y)$ .

$x' (2 x \cos (y) - y) = x + x^{2} \sin (y) - 2 + 4 \sin^{2} (y)$

Etapa 5.6.2

Divida cada termo em $x' (2 x \cos (y) - y) = x + x^{2} \sin (y) - 2 + 4 \sin^{2} (y)$ por $2 x \cos (y) - y$ e simplifique.

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Etapa 5.6.2.1

Divida cada termo em $x' (2 x \cos (y) - y) = x + x^{2} \sin (y) - 2 + 4 \sin^{2} (y)$ por $2 x \cos (y) - y$ .

$\frac{x' (2 x \cos (y) - y)}{2 x \cos (y) - y} = \frac{x}{2 x \cos (y) - y} + \frac{x^{2} \sin (y)}{2 x \cos (y) - y} + \frac{- 2}{2 x \cos (y) - y} + \frac{4 \sin^{2} (y)}{2 x \cos (y) - y}$

Etapa 5.6.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.6.2.2.1

Cancele o fator comum de $2 x \cos (y) - y$ .

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Etapa 5.6.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x' (2 x \cos (y) - y)}{2 x \cos (y) - y} = \frac{x}{2 x \cos (y) - y} + \frac{x^{2} \sin (y)}{2 x \cos (y) - y} + \frac{- 2}{2 x \cos (y) - y} + \frac{4 \sin^{2} (y)}{2 x \cos (y) - y}$

Etapa 5.6.2.2.1.2

Divida $x'$ por $1$ .

$x' = \frac{x}{2 x \cos (y) - y} + \frac{x^{2} \sin (y)}{2 x \cos (y) - y} + \frac{- 2}{2 x \cos (y) - y} + \frac{4 \sin^{2} (y)}{2 x \cos (y) - y}$

Etapa 5.6.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.6.2.3.1

Simplifique os termos.

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Etapa 5.6.2.3.1.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x' = \frac{x}{2 x \cos (y) - y} + \frac{x^{2} \sin (y)}{2 x \cos (y) - y} - \frac{2}{2 x \cos (y) - y} + \frac{4 \sin^{2} (y)}{2 x \cos (y) - y}$

Etapa 5.6.2.3.1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x' = \frac{x + x^{2} \sin (y)}{2 x \cos (y) - y} - \frac{2}{2 x \cos (y) - y} + \frac{4 \sin^{2} (y)}{2 x \cos (y) - y}$

Etapa 5.6.2.3.1.3

Fatore $x$ de $x + x^{2} \sin (y)$ .

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Etapa 5.6.2.3.1.3.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x' = \frac{x^{1} + x^{2} \sin (y)}{2 x \cos (y) - y} - \frac{2}{2 x \cos (y) - y} + \frac{4 \sin^{2} (y)}{2 x \cos (y) - y}$

Etapa 5.6.2.3.1.3.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$x' = \frac{x \cdot 1 + x^{2} \sin (y)}{2 x \cos (y) - y} - \frac{2}{2 x \cos (y) - y} + \frac{4 \sin^{2} (y)}{2 x \cos (y) - y}$

Etapa 5.6.2.3.1.3.3

Fatore $x$ de $x^{2} \sin (y)$ .

$x' = \frac{x \cdot 1 + x (x \sin (y))}{2 x \cos (y) - y} - \frac{2}{2 x \cos (y) - y} + \frac{4 \sin^{2} (y)}{2 x \cos (y) - y}$

Etapa 5.6.2.3.1.3.4

Fatore $x$ de $x \cdot 1 + x (x \sin (y))$ .

$x' = \frac{x (1 + x \sin (y))}{2 x \cos (y) - y} - \frac{2}{2 x \cos (y) - y} + \frac{4 \sin^{2} (y)}{2 x \cos (y) - y}$

Etapa 5.6.2.3.1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x' = \frac{x (1 + x \sin (y)) - 2}{2 x \cos (y) - y} + \frac{4 \sin^{2} (y)}{2 x \cos (y) - y}$

Etapa 5.6.2.3.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.6.2.3.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x' = \frac{x \cdot 1 + x (x \sin (y)) - 2}{2 x \cos (y) - y} + \frac{4 \sin^{2} (y)}{2 x \cos (y) - y}$

Etapa 5.6.2.3.2.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$x' = \frac{x + x (x \sin (y)) - 2}{2 x \cos (y) - y} + \frac{4 \sin^{2} (y)}{2 x \cos (y) - y}$

Etapa 5.6.2.3.2.3

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 5.6.2.3.2.3.1

Mova $x$ .

$x' = \frac{x + x \cdot x \sin (y) - 2}{2 x \cos (y) - y} + \frac{4 \sin^{2} (y)}{2 x \cos (y) - y}$

Etapa 5.6.2.3.2.3.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$x' = \frac{x + x^{2} \sin (y) - 2}{2 x \cos (y) - y} + \frac{4 \sin^{2} (y)}{2 x \cos (y) - y}$

Etapa 5.6.2.3.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x' = \frac{x + x^{2} \sin (y) - 2 + 4 \sin^{2} (y)}{2 x \cos (y) - y}$

Etapa 6

Substitua $x'$ por $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{x + x^{2} \sin (y) - 2 + 4 \sin^{2} (y)}{2 x \cos (y) - y}$