Álgebra Exemplos

$3 \sec (x)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 \sec (x)$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [\sec (x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Etapa 1.2

A derivada de $\sec (x)$ em relação a $x$ é $\sec (x) \tan (x)$ .

$f' (x) = 3 \sec (x) \tan (x)$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 \sec (x) \tan (x)$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [\sec (x) \tan (x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\sec (x) \tan (x)]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \sec (x)$ e $g (x) = \tan (x)$ .

$3 (\sec (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Etapa 2.3

A derivada de $\tan (x)$ em relação a $x$ é $\sec^{2} (x)$ .

$3 (\sec (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Etapa 2.4

Multiplique $\sec (x)$ por $\sec^{2} (x)$ somando os expoentes.

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Etapa 2.4.1

Multiplique $\sec (x)$ por $\sec^{2} (x)$ .

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Etapa 2.4.1.1

Eleve $\sec (x)$ à potência de $1$ .

$3 (\sec^{1} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Etapa 2.4.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$3 ({\sec (x)}^{1 + 2} + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Etapa 2.4.2

Some $1$ e $2$ .

$3 (\sec^{3} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Etapa 2.5

A derivada de $\sec (x)$ em relação a $x$ é $\sec (x) \tan (x)$ .

$3 (\sec^{3} (x) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x)))$

Etapa 2.6

Eleve $\tan (x)$ à potência de $1$ .

$3 (\sec^{3} (x) + \tan^{1} (x) \tan (x) \sec (x))$

Etapa 2.7

Eleve $\tan (x)$ à potência de $1$ .

$3 (\sec^{3} (x) + \tan^{1} (x) \tan^{1} (x) \sec (x))$

Etapa 2.8

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$3 (\sec^{3} (x) + {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x))$

Etapa 2.9

Some $1$ e $1$ .

$3 (\sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x))$

Etapa 2.10

Simplifique.

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Etapa 2.10.1

Aplique a propriedade distributiva.

$3 \sec^{3} (x) + 3 (\tan^{2} (x) \sec (x))$

Etapa 2.10.2

Reordene os termos.

$f'' (x) = 3 \tan^{2} (x) \sec (x) + 3 \sec^{3} (x)$