Álgebra Exemplos

$y = x^{2} \sqrt{x}$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y = x^{2} x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 2

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{2} x^{\frac{1}{2}})$

Etapa 3

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 4

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 4.1

Multiplique $x^{2}$ por $x^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.1.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{d}{d x} [x^{2 + \frac{1}{2}}]$

Etapa 4.1.2

Para escrever $2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}}]$

Etapa 4.1.3

Combine $2$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}}]$

Etapa 4.1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{2 \cdot 2 + 1}{2}}]$

Etapa 4.1.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1.5.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{4 + 1}{2}}]$

Etapa 4.1.5.2

Some $4$ e $1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{5}{2}$ .

$\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1}$

Etapa 4.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Etapa 4.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Etapa 4.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}}$

Etapa 4.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 2}{2}}$

Etapa 4.6.2

Subtraia $2$ de $5$ .

$\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}}$

Etapa 4.7

Combine $\frac{5}{2}$ e $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Etapa 5

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$