Álgebra Exemplos

$y = \ln (\frac{x^{4}}{x + 3})$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln (\frac{x^{4}}{x + 3}))$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \frac{x^{4}}{x + 3}$ .

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Etapa 3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{x^{4}}{x + 3}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{x + 3}]$

Etapa 3.1.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{x + 3}]$

Etapa 3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{x^{4}}{x + 3}$ .

$\frac{1}{\frac{x^{4}}{x + 3}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{x + 3}]$

Etapa 3.2

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{x^{4}}{x + 3}$ .

$1 \frac{x + 3}{x^{4}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{x + 3}]$

Etapa 3.3

Multiplique $\frac{x + 3}{x^{4}}$ por $1$ .

$\frac{x + 3}{x^{4}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{x + 3}]$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = x + 3$ .

$\frac{x + 3}{x^{4}} \cdot \frac{(x + 3) \frac{d}{d x} [x^{4}] - x^{4} \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 3.5

Diferencie.

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Etapa 3.5.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$\frac{x + 3}{x^{4}} \cdot \frac{(x + 3) (4 x^{3}) - x^{4} \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 3.5.2

Mova $4$ para a esquerda de $x + 3$ .

$\frac{x + 3}{x^{4}} \cdot \frac{4 \cdot (x + 3) x^{3} - x^{4} \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 3.5.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{x + 3}{x^{4}} \cdot \frac{4 (x + 3) x^{3} - x^{4} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 3.5.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{x + 3}{x^{4}} \cdot \frac{4 (x + 3) x^{3} - x^{4} (1 + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 3.5.5

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{x + 3}{x^{4}} \cdot \frac{4 (x + 3) x^{3} - x^{4} (1 + 0)}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 3.5.6

Combine frações.

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Etapa 3.5.6.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{x + 3}{x^{4}} \cdot \frac{4 (x + 3) x^{3} - x^{4} \cdot 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 3.5.6.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{x + 3}{x^{4}} \cdot \frac{4 (x + 3) x^{3} - x^{4}}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 3.5.6.3

Multiplique $\frac{x + 3}{x^{4}}$ por $\frac{4 (x + 3) x^{3} - x^{4}}{{(x + 3)}^{2}}$ .

$\frac{(x + 3) (4 (x + 3) x^{3} - x^{4})}{x^{4} {(x + 3)}^{2}}$

Etapa 3.6

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.6.1

Fatore $x + 3$ de $x^{4} {(x + 3)}^{2}$ .

$\frac{(x + 3) (4 (x + 3) x^{3} - x^{4})}{(x + 3) (x^{4} (x + 3))}$

Etapa 3.6.2

Cancele o fator comum.

$\frac{(x + 3) (4 (x + 3) x^{3} - x^{4})}{(x + 3) (x^{4} (x + 3))}$

Etapa 3.6.3

Reescreva a expressão.

$\frac{4 (x + 3) x^{3} - x^{4}}{x^{4} (x + 3)}$

Etapa 3.7

Simplifique.

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Etapa 3.7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(4 x + 4 \cdot 3) x^{3} - x^{4}}{x^{4} (x + 3)}$

Etapa 3.7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4 x \cdot x^{3} + 4 \cdot 3 x^{3} - x^{4}}{x^{4} (x + 3)}$

Etapa 3.7.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4 x \cdot x^{3} + 4 \cdot 3 x^{3} - x^{4}}{x^{4} x + x^{4} \cdot 3}$

Etapa 3.7.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.7.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.7.4.1.1

Multiplique $x$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.7.4.1.1.1

Mova $x^{3}$ .

$\frac{4 (x^{3} x) + 4 \cdot 3 x^{3} - x^{4}}{x^{4} x + x^{4} \cdot 3}$

Etapa 3.7.4.1.1.2

Multiplique $x^{3}$ por $x$ .

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Etapa 3.7.4.1.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{4 (x^{3} x^{1}) + 4 \cdot 3 x^{3} - x^{4}}{x^{4} x + x^{4} \cdot 3}$

Etapa 3.7.4.1.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{4 x^{3 + 1} + 4 \cdot 3 x^{3} - x^{4}}{x^{4} x + x^{4} \cdot 3}$

Etapa 3.7.4.1.1.3

Some $3$ e $1$ .

$\frac{4 x^{4} + 4 \cdot 3 x^{3} - x^{4}}{x^{4} x + x^{4} \cdot 3}$

Etapa 3.7.4.1.2

Multiplique $4$ por $3$ .

$\frac{4 x^{4} + 12 x^{3} - x^{4}}{x^{4} x + x^{4} \cdot 3}$

Etapa 3.7.4.2

Subtraia $x^{4}$ de $4 x^{4}$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3}}{x^{4} x + x^{4} \cdot 3}$

Etapa 3.7.5

Combine os termos.

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Etapa 3.7.5.1

Multiplique $x^{4}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.7.5.1.1

Multiplique $x^{4}$ por $x$ .

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Etapa 3.7.5.1.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3}}{x^{4} x^{1} + x^{4} \cdot 3}$

Etapa 3.7.5.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3}}{x^{4 + 1} + x^{4} \cdot 3}$

Etapa 3.7.5.1.2

Some $4$ e $1$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3}}{x^{5} + x^{4} \cdot 3}$

Etapa 3.7.5.2

Mova $3$ para a esquerda de $x^{4}$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3}}{x^{5} + 3 x^{4}}$

Etapa 3.7.6

Fatore $3 x^{3}$ de $3 x^{4} + 12 x^{3}$ .

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Etapa 3.7.6.1

Fatore $3 x^{3}$ de $3 x^{4}$ .

$\frac{3 x^{3} (x) + 12 x^{3}}{x^{5} + 3 x^{4}}$

Etapa 3.7.6.2

Fatore $3 x^{3}$ de $12 x^{3}$ .

$\frac{3 x^{3} (x) + 3 x^{3} (4)}{x^{5} + 3 x^{4}}$

Etapa 3.7.6.3

Fatore $3 x^{3}$ de $3 x^{3} (x) + 3 x^{3} (4)$ .

$\frac{3 x^{3} (x + 4)}{x^{5} + 3 x^{4}}$

Etapa 3.7.7

Fatore $x^{4}$ de $x^{5} + 3 x^{4}$ .

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Etapa 3.7.7.1

Fatore $x^{4}$ de $x^{5}$ .

$\frac{3 x^{3} (x + 4)}{x^{4} x + 3 x^{4}}$

Etapa 3.7.7.2

Fatore $x^{4}$ de $3 x^{4}$ .

$\frac{3 x^{3} (x + 4)}{x^{4} x + x^{4} \cdot 3}$

Etapa 3.7.7.3

Fatore $x^{4}$ de $x^{4} x + x^{4} \cdot 3$ .

$\frac{3 x^{3} (x + 4)}{x^{4} (x + 3)}$

Etapa 3.7.8

Cancele o fator comum de $x^{3}$ e $x^{4}$ .

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Etapa 3.7.8.1

Fatore $x^{3}$ de $3 x^{3} (x + 4)$ .

$\frac{x^{3} (3 (x + 4))}{x^{4} (x + 3)}$

Etapa 3.7.8.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.8.2.1

Fatore $x^{3}$ de $x^{4} (x + 3)$ .

$\frac{x^{3} (3 (x + 4))}{x^{3} (x (x + 3))}$

Etapa 3.7.8.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{3} (3 (x + 4))}{x^{3} (x (x + 3))}$

Etapa 3.7.8.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{3 (x + 4)}{x (x + 3)}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = \frac{3 (x + 4)}{x (x + 3)}$

Etapa 5

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 (x + 4)}{x (x + 3)}$