Álgebra Exemplos

$e^{y} \sin (x) = x + x y$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d y} (e^{y} \sin (x)) = \frac{d}{d y} (x + x y)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ é $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , em que $f (y) = e^{y}$ e $g (y) = \sin (x)$ .

$e^{y} \frac{d}{d y} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d y} [e^{y}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = \sin (y)$ e $g (y) = x$ .

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Etapa 2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x$ .

$e^{y} (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d y} [x]) + \sin (x) \frac{d}{d y} [e^{y}]$

Etapa 2.2.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$e^{y} (\cos (u) \frac{d}{d y} [x]) + \sin (x) \frac{d}{d y} [e^{y}]$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x$ .

$e^{y} (\cos (x) \frac{d}{d y} [x]) + \sin (x) \frac{d}{d y} [e^{y}]$

Etapa 2.3

Reescreva $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$e^{y} \cos (x) x' + \sin (x) \frac{d}{d y} [e^{y}]$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d y} [a^{y}]$ é $a^{y} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{y} \cos (x) x' + \sin (x) e^{y}$

Etapa 2.5

Reordene os termos.

$e^{y} \cos (x) x' + e^{y} \sin (x)$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + x y$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [x y]$ .

$\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [x y]$

Etapa 3.2

Reescreva $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$x' + \frac{d}{d y} [x y]$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d y} [x y]$ .

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Etapa 3.3.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ é $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , em que $f (y) = x$ e $g (y) = y$ .

$x' + x \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x]$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x' + x \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x]$

Etapa 3.3.3

Reescreva $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$x' + x \cdot 1 + y x'$

Etapa 3.3.4

Multiplique $x$ por $1$ .

$x' + x + y x'$

Etapa 3.4

Reordene os termos.

$y x' + x + x'$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$e^{y} \cos (x) x' + e^{y} \sin (x) = y x' + x + x'$

Etapa 5

Resolva $x'$ .

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Etapa 5.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.1.1

Reordene os fatores em $e^{y} \cos (x) x' + e^{y} \sin (x)$ .

$x' e^{y} \cos (x) + e^{y} \sin (x) = y x' + x + x'$

Etapa 5.2

Como $x'$ está do lado direito da equação, troque os lados para que ela fique do lado esquerdo da equação.

$y x' + x + x' = x' e^{y} \cos (x) + e^{y} \sin (x)$

Etapa 5.3

Subtraia $x' e^{y} \cos (x)$ dos dois lados da equação.

$y x' + x + x' - x' e^{y} \cos (x) = e^{y} \sin (x)$

Etapa 5.4

Subtraia $x$ dos dois lados da equação.

$y x' + x' - x' e^{y} \cos (x) = e^{y} \sin (x) - x$

Etapa 5.5

Fatore $x'$ de $y x' + x' - x' e^{y} \cos (x)$ .

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Etapa 5.5.1

Fatore $x'$ de $y x'$ .

$x' y + x' - x' e^{y} \cos (x) = e^{y} \sin (x) - x$

Etapa 5.5.2

Eleve $x'$ à potência de $1$ .

$x' y + x' - x' e^{y} \cos (x) = e^{y} \sin (x) - x$

Etapa 5.5.3

Fatore $x'$ de ${x'}^{1}$ .

$x' y + x' \cdot 1 - x' e^{y} \cos (x) = e^{y} \sin (x) - x$

Etapa 5.5.4

Fatore $x'$ de $- x' e^{y} \cos (x)$ .

$x' (y) + x' \cdot 1 + x' (- 1 e^{y} \cos (x)) = e^{y} \sin (x) - x$

Etapa 5.5.5

Fatore $x'$ de $x' y + x' \cdot 1$ .

$x' (y + 1) + x' (- 1 e^{y} \cos (x)) = e^{y} \sin (x) - x$

Etapa 5.5.6

Fatore $x'$ de $x' (y + 1) + x' (- 1 e^{y} \cos (x))$ .

$x' (y + 1 - 1 e^{y} \cos (x)) = e^{y} \sin (x) - x$

Etapa 5.6

Reescreva $- 1 e^{y}$ como $- e^{y}$ .

$x' (y + 1 - e^{y} \cos (x)) = e^{y} \sin (x) - x$

Etapa 5.7

Divida cada termo em $x' (y + 1 - e^{y} \cos (x)) = e^{y} \sin (x) - x$ por $y + 1 - e^{y} \cos (x)$ e simplifique.

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Etapa 5.7.1

Divida cada termo em $x' (y + 1 - e^{y} \cos (x)) = e^{y} \sin (x) - x$ por $y + 1 - e^{y} \cos (x)$ .

$\frac{x' (y + 1 - e^{y} \cos (x))}{y + 1 - e^{y} \cos (x)} = \frac{e^{y} \sin (x)}{y + 1 - e^{y} \cos (x)} + \frac{- x}{y + 1 - e^{y} \cos (x)}$

Etapa 5.7.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.7.2.1

Cancele o fator comum de $y + 1 - e^{y} \cos (x)$ .

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Etapa 5.7.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x' (y + 1 - e^{y} \cos (x))}{y + 1 - e^{y} \cos (x)} = \frac{e^{y} \sin (x)}{y + 1 - e^{y} \cos (x)} + \frac{- x}{y + 1 - e^{y} \cos (x)}$

Etapa 5.7.2.1.2

Divida $x'$ por $1$ .

$x' = \frac{e^{y} \sin (x)}{y + 1 - e^{y} \cos (x)} + \frac{- x}{y + 1 - e^{y} \cos (x)}$

Etapa 5.7.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.7.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x' = \frac{e^{y} \sin (x)}{y + 1 - e^{y} \cos (x)} - \frac{x}{y + 1 - e^{y} \cos (x)}$

Etapa 5.7.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x' = \frac{e^{y} \sin (x) - x}{y + 1 - e^{y} \cos (x)}$

Etapa 6

Substitua $x'$ por $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{e^{y} \sin (x) - x}{y + 1 - e^{y} \cos (x)}$