Álgebra Exemplos

$f (x) = x^{2} {(x - 3)}^{3} (x + 4)$

Etapa 1

Determine se a função é ímpar, par ou nenhum dos dois para encontrar a simetria.

1. Se ímpar, a função será simétrica em relação à origem.

2. Se par, a função será simétrica em relação ao eixo y.

Etapa 2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Use o teorema binomial.

$f (x) = x^{2} (x^{3} + 3 x^{2} \cdot - 3 + 3 x {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3}) (x + 4)$

Etapa 2.2

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Multiplique $- 3$ por $3$ .

$f (x) = x^{2} (x^{3} - 9 x^{2} + 3 x {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3}) (x + 4)$

Etapa 2.2.1.2

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$f (x) = x^{2} (x^{3} - 9 x^{2} + 3 x \cdot 9 + {(- 3)}^{3}) (x + 4)$

Etapa 2.2.1.3

Multiplique $9$ por $3$ .

$f (x) = x^{2} (x^{3} - 9 x^{2} + 27 x + {(- 3)}^{3}) (x + 4)$

Etapa 2.2.1.4

Eleve $- 3$ à potência de $3$ .

$f (x) = x^{2} (x^{3} - 9 x^{2} + 27 x - 27) (x + 4)$

Etapa 2.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x) = (x^{2} x^{3} + x^{2} (- 9 x^{2}) + x^{2} (27 x) + x^{2} \cdot - 27) (x + 4)$

Etapa 2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Multiplique $x^{2}$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (x) = (x^{2 + 3} + x^{2} (- 9 x^{2}) + x^{2} (27 x) + x^{2} \cdot - 27) (x + 4)$

Etapa 2.3.1.2

Some $2$ e $3$ .

$f (x) = (x^{5} + x^{2} (- 9 x^{2}) + x^{2} (27 x) + x^{2} \cdot - 27) (x + 4)$

Etapa 2.3.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f (x) = (x^{5} - 9 x^{2} x^{2} + x^{2} (27 x) + x^{2} \cdot - 27) (x + 4)$

Etapa 2.3.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f (x) = (x^{5} - 9 x^{2} x^{2} + 27 x^{2} x + x^{2} \cdot - 27) (x + 4)$

Etapa 2.3.4

Mova $- 27$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$f (x) = (x^{5} - 9 x^{2} x^{2} + 27 x^{2} x - 27 \cdot x^{2}) (x + 4)$

Etapa 2.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Multiplique $x^{2}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1.1

Mova $x^{2}$ .

$f (x) = (x^{5} - 9 (x^{2} x^{2}) + 27 x^{2} x - 27 \cdot x^{2}) (x + 4)$

Etapa 2.4.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (x) = (x^{5} - 9 x^{2 + 2} + 27 x^{2} x - 27 \cdot x^{2}) (x + 4)$

Etapa 2.4.1.3

Some $2$ e $2$ .

$f (x) = (x^{5} - 9 x^{4} + 27 x^{2} x - 27 \cdot x^{2}) (x + 4)$

Etapa 2.4.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1

Mova $x$ .

$f (x) = (x^{5} - 9 x^{4} + 27 (x \cdot x^{2}) - 27 \cdot x^{2}) (x + 4)$

Etapa 2.4.2.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f (x) = (x^{5} - 9 x^{4} + 27 (x \cdot x^{2}) - 27 \cdot x^{2}) (x + 4)$

Etapa 2.4.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (x) = (x^{5} - 9 x^{4} + 27 x^{1 + 2} - 27 \cdot x^{2}) (x + 4)$

Etapa 2.4.2.3

Some $1$ e $2$ .

$f (x) = (x^{5} - 9 x^{4} + 27 x^{3} - 27 \cdot x^{2}) (x + 4)$

$f (x) = (x^{5} - 9 x^{4} + 27 x^{3} - 27 x^{2}) (x + 4)$

Etapa 2.5

Expanda $(x^{5} - 9 x^{4} + 27 x^{3} - 27 x^{2}) (x + 4)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$f (x) = x^{5} x + x^{5} \cdot 4 - 9 x^{4} x - 9 x^{4} \cdot 4 + 27 x^{3} x + 27 x^{3} \cdot 4 - 27 x^{2} x - 27 x^{2} \cdot 4$

Etapa 2.6

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1.1

Multiplique $x^{5}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1.1.1

Multiplique $x^{5}$ por $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1.1.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f (x) = x^{5} x + x^{5} \cdot 4 - 9 x^{4} x - 9 x^{4} \cdot 4 + 27 x^{3} x + 27 x^{3} \cdot 4 - 27 x^{2} x - 27 x^{2} \cdot 4$

Etapa 2.6.1.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (x) = x^{5 + 1} + x^{5} \cdot 4 - 9 x^{4} x - 9 x^{4} \cdot 4 + 27 x^{3} x + 27 x^{3} \cdot 4 - 27 x^{2} x - 27 x^{2} \cdot 4$

Etapa 2.6.1.1.2

Some $5$ e $1$ .

$f (x) = x^{6} + x^{5} \cdot 4 - 9 x^{4} x - 9 x^{4} \cdot 4 + 27 x^{3} x + 27 x^{3} \cdot 4 - 27 x^{2} x - 27 x^{2} \cdot 4$

Etapa 2.6.1.2

Mova $4$ para a esquerda de $x^{5}$ .

$f (x) = x^{6} + 4 \cdot x^{5} - 9 x^{4} x - 9 x^{4} \cdot 4 + 27 x^{3} x + 27 x^{3} \cdot 4 - 27 x^{2} x - 27 x^{2} \cdot 4$

Etapa 2.6.1.3

Multiplique $x^{4}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1.3.1

Mova $x$ .

$f (x) = x^{6} + 4 x^{5} - 9 (x \cdot x^{4}) - 9 x^{4} \cdot 4 + 27 x^{3} x + 27 x^{3} \cdot 4 - 27 x^{2} x - 27 x^{2} \cdot 4$

Etapa 2.6.1.3.2

Multiplique $x$ por $x^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1.3.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f (x) = x^{6} + 4 x^{5} - 9 (x \cdot x^{4}) - 9 x^{4} \cdot 4 + 27 x^{3} x + 27 x^{3} \cdot 4 - 27 x^{2} x - 27 x^{2} \cdot 4$

Etapa 2.6.1.3.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (x) = x^{6} + 4 x^{5} - 9 x^{1 + 4} - 9 x^{4} \cdot 4 + 27 x^{3} x + 27 x^{3} \cdot 4 - 27 x^{2} x - 27 x^{2} \cdot 4$

Etapa 2.6.1.3.3

Some $1$ e $4$ .

$f (x) = x^{6} + 4 x^{5} - 9 x^{5} - 9 x^{4} \cdot 4 + 27 x^{3} x + 27 x^{3} \cdot 4 - 27 x^{2} x - 27 x^{2} \cdot 4$

Etapa 2.6.1.4

Multiplique $4$ por $- 9$ .

$f (x) = x^{6} + 4 x^{5} - 9 x^{5} - 36 x^{4} + 27 x^{3} x + 27 x^{3} \cdot 4 - 27 x^{2} x - 27 x^{2} \cdot 4$

Etapa 2.6.1.5

Multiplique $x^{3}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1.5.1

Mova $x$ .

$f (x) = x^{6} + 4 x^{5} - 9 x^{5} - 36 x^{4} + 27 (x \cdot x^{3}) + 27 x^{3} \cdot 4 - 27 x^{2} x - 27 x^{2} \cdot 4$

Etapa 2.6.1.5.2

Multiplique $x$ por $x^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1.5.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f (x) = x^{6} + 4 x^{5} - 9 x^{5} - 36 x^{4} + 27 (x \cdot x^{3}) + 27 x^{3} \cdot 4 - 27 x^{2} x - 27 x^{2} \cdot 4$

Etapa 2.6.1.5.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (x) = x^{6} + 4 x^{5} - 9 x^{5} - 36 x^{4} + 27 x^{1 + 3} + 27 x^{3} \cdot 4 - 27 x^{2} x - 27 x^{2} \cdot 4$

Etapa 2.6.1.5.3

Some $1$ e $3$ .

$f (x) = x^{6} + 4 x^{5} - 9 x^{5} - 36 x^{4} + 27 x^{4} + 27 x^{3} \cdot 4 - 27 x^{2} x - 27 x^{2} \cdot 4$

Etapa 2.6.1.6

Multiplique $4$ por $27$ .

$f (x) = x^{6} + 4 x^{5} - 9 x^{5} - 36 x^{4} + 27 x^{4} + 108 x^{3} - 27 x^{2} x - 27 x^{2} \cdot 4$

Etapa 2.6.1.7

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1.7.1

Mova $x$ .

$f (x) = x^{6} + 4 x^{5} - 9 x^{5} - 36 x^{4} + 27 x^{4} + 108 x^{3} - 27 (x \cdot x^{2}) - 27 x^{2} \cdot 4$

Etapa 2.6.1.7.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1.7.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f (x) = x^{6} + 4 x^{5} - 9 x^{5} - 36 x^{4} + 27 x^{4} + 108 x^{3} - 27 (x \cdot x^{2}) - 27 x^{2} \cdot 4$

Etapa 2.6.1.7.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (x) = x^{6} + 4 x^{5} - 9 x^{5} - 36 x^{4} + 27 x^{4} + 108 x^{3} - 27 x^{1 + 2} - 27 x^{2} \cdot 4$

Etapa 2.6.1.7.3

Some $1$ e $2$ .

$f (x) = x^{6} + 4 x^{5} - 9 x^{5} - 36 x^{4} + 27 x^{4} + 108 x^{3} - 27 x^{3} - 27 x^{2} \cdot 4$

Etapa 2.6.1.8

Multiplique $4$ por $- 27$ .

$f (x) = x^{6} + 4 x^{5} - 9 x^{5} - 36 x^{4} + 27 x^{4} + 108 x^{3} - 27 x^{3} - 108 x^{2}$

Etapa 2.6.2

Simplifique somando os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.2.1

Subtraia $9 x^{5}$ de $4 x^{5}$ .

$f (x) = x^{6} - 5 x^{5} - 36 x^{4} + 27 x^{4} + 108 x^{3} - 27 x^{3} - 108 x^{2}$

Etapa 2.6.2.2

Some $- 36 x^{4}$ e $27 x^{4}$ .

$f (x) = x^{6} - 5 x^{5} - 9 x^{4} + 108 x^{3} - 27 x^{3} - 108 x^{2}$

Etapa 2.6.2.3

Subtraia $27 x^{3}$ de $108 x^{3}$ .

$f (x) = x^{6} - 5 x^{5} - 9 x^{4} + 81 x^{3} - 108 x^{2}$

Etapa 3

Encontre $f (- x)$ .

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Etapa 3.1

Encontre $f (- x)$ substituindo $- x$ por todas as ocorrências de $x$ em $f (x)$ .

$f (- x) = {(- x)}^{6} - 5 {(- x)}^{5} - 9 {(- x)}^{4} + 81 {(- x)}^{3} - 108 {(- x)}^{2}$

Etapa 3.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Aplique a regra do produto a $- x$ .

$f (- x) = {(- 1)}^{6} x^{6} - 5 {(- x)}^{5} - 9 {(- x)}^{4} + 81 {(- x)}^{3} - 108 {(- x)}^{2}$

Etapa 3.2.2

Eleve $- 1$ à potência de $6$ .

$f (- x) = 1 x^{6} - 5 {(- x)}^{5} - 9 {(- x)}^{4} + 81 {(- x)}^{3} - 108 {(- x)}^{2}$

Etapa 3.2.3

Multiplique $x^{6}$ por $1$ .

$f (- x) = x^{6} - 5 {(- x)}^{5} - 9 {(- x)}^{4} + 81 {(- x)}^{3} - 108 {(- x)}^{2}$

Etapa 3.2.4

Aplique a regra do produto a $- x$ .

$f (- x) = x^{6} - 5 ({(- 1)}^{5} x^{5}) - 9 {(- x)}^{4} + 81 {(- x)}^{3} - 108 {(- x)}^{2}$

Etapa 3.2.5

Eleve $- 1$ à potência de $5$ .

$f (- x) = x^{6} - 5 (- x^{5}) - 9 {(- x)}^{4} + 81 {(- x)}^{3} - 108 {(- x)}^{2}$

Etapa 3.2.6

Multiplique $- 1$ por $- 5$ .

$f (- x) = x^{6} + 5 x^{5} - 9 {(- x)}^{4} + 81 {(- x)}^{3} - 108 {(- x)}^{2}$

Etapa 3.2.7

Aplique a regra do produto a $- x$ .

$f (- x) = x^{6} + 5 x^{5} - 9 ({(- 1)}^{4} x^{4}) + 81 {(- x)}^{3} - 108 {(- x)}^{2}$

Etapa 3.2.8

Eleve $- 1$ à potência de $4$ .

$f (- x) = x^{6} + 5 x^{5} - 9 (1 x^{4}) + 81 {(- x)}^{3} - 108 {(- x)}^{2}$

Etapa 3.2.9

Multiplique $x^{4}$ por $1$ .

$f (- x) = x^{6} + 5 x^{5} - 9 x^{4} + 81 {(- x)}^{3} - 108 {(- x)}^{2}$

Etapa 3.2.10

Aplique a regra do produto a $- x$ .

$f (- x) = x^{6} + 5 x^{5} - 9 x^{4} + 81 ({(- 1)}^{3} x^{3}) - 108 {(- x)}^{2}$

Etapa 3.2.11

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$f (- x) = x^{6} + 5 x^{5} - 9 x^{4} + 81 (- x^{3}) - 108 {(- x)}^{2}$

Etapa 3.2.12

Multiplique $- 1$ por $81$ .

$f (- x) = x^{6} + 5 x^{5} - 9 x^{4} - 81 x^{3} - 108 {(- x)}^{2}$

Etapa 3.2.13

Aplique a regra do produto a $- x$ .

$f (- x) = x^{6} + 5 x^{5} - 9 x^{4} - 81 x^{3} - 108 ({(- 1)}^{2} x^{2})$

Etapa 3.2.14

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f (- x) = x^{6} + 5 x^{5} - 9 x^{4} - 81 x^{3} - 108 (1 x^{2})$

Etapa 3.2.15

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$f (- x) = x^{6} + 5 x^{5} - 9 x^{4} - 81 x^{3} - 108 x^{2}$

Etapa 4

Uma função será par se $f (- x) = f (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Verifique se $f (- x) = f (x)$ .

Etapa 4.2

Como $x^{6} + 5 x^{5} - 9 x^{4} - 81 x^{3} - 108 x^{2}$ $\neq$ $x^{6} - 5 x^{5} - 9 x^{4} + 81 x^{3} - 108 x^{2}$ , a função não é par.

A função não é par

Etapa 5

Uma função será ímpar se $f (- x) = - f (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Encontre $- f (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Multiplique $x^{6} - 5 x^{5} - 9 x^{4} + 81 x^{3} - 108 x^{2}$ por $- 1$ .

$- f (x) = - (x^{6} - 5 x^{5} - 9 x^{4} + 81 x^{3} - 108 x^{2})$

Etapa 5.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- f (x) = - x^{6} - (- 5 x^{5}) - (- 9 x^{4}) - (81 x^{3}) - (- 108 x^{2})$

Etapa 5.1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.1

Multiplique $- 5$ por $- 1$ .

$- f (x) = - x^{6} + 5 x^{5} - (- 9 x^{4}) - (81 x^{3}) - (- 108 x^{2})$

Etapa 5.1.3.2

Multiplique $- 9$ por $- 1$ .

$- f (x) = - x^{6} + 5 x^{5} + 9 x^{4} - (81 x^{3}) - (- 108 x^{2})$

Etapa 5.1.3.3

Multiplique $81$ por $- 1$ .

$- f (x) = - x^{6} + 5 x^{5} + 9 x^{4} - 81 x^{3} - (- 108 x^{2})$

Etapa 5.1.3.4

Multiplique $- 108$ por $- 1$ .

$- f (x) = - x^{6} + 5 x^{5} + 9 x^{4} - 81 x^{3} + 108 x^{2}$

Etapa 5.2

Como $x^{6} + 5 x^{5} - 9 x^{4} - 81 x^{3} - 108 x^{2}$ $\neq$ $- x^{6} + 5 x^{5} + 9 x^{4} - 81 x^{3} + 108 x^{2}$ , a função não é ímpar.

A função não é ímpar

Etapa 6

A função não é ímpar nem par

Etapa 7

Como a função não é ímpar, ela não é simétrica em relação à origem.

Nenhuma simetria de origem

Etapa 8

Como a função não é par, ela não é simétrica em relação ao eixo y.

Não há simetria do eixo y

Etapa 9

Como a função não é ímpar nem par, não há simetria em relação à origem/ao eixo y.

A função não é simétrica

Etapa 10