Álgebra Exemplos

$H = 33 (10 \sqrt{v} - v + 10.45)$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{v'}$ como ${v'}^{\frac{1}{2}}$ .

$H = 33 (10 {v'}^{\frac{1}{2}} - v' + 10.45)$

Etapa 2

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d H} (H) = \frac{d}{d H} (33 (10 {v'}^{\frac{1}{2}} - v' + 10.45))$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d H} [H^{n}]$ é $n H^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1$

Etapa 4

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 4.1

Diferencie.

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Etapa 4.1.1

Como $33$ é constante em relação a $H$ , a derivada de $33 (10 {v'}^{\frac{1}{2}} - v' + 10.45)$ em relação a $H$ é $33 \frac{d}{d H} [10 {v'}^{\frac{1}{2}} - v' + 10.45]$ .

$33 \frac{d}{d H} [10 {v'}^{\frac{1}{2}} - v' + 10.45]$

Etapa 4.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $10 {v'}^{\frac{1}{2}} - v' + 10.45$ com relação a $H$ é $\frac{d}{d H} [10 {v'}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d H} [- v'] + \frac{d}{d H} [10.45]$ .

$33 (\frac{d}{d H} [10 {v'}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d H} [- v'] + \frac{d}{d H} [10.45])$

Etapa 4.1.3

Como $10$ é constante em relação a $H$ , a derivada de $10 {v'}^{\frac{1}{2}}$ em relação a $H$ é $10 \frac{d}{d H} [{v'}^{\frac{1}{2}}]$ .

$33 (10 \frac{d}{d H} [{v'}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d H} [- v'] + \frac{d}{d H} [10.45])$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d H} [f (g (H))]$ é $f' (g (H)) g' (H)$ , em que $f (H) = H^{\frac{1}{2}}$ e $g (H) = v'$ .

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Etapa 4.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $v'$ .

$33 (10 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d H} [v']) + \frac{d}{d H} [- v'] + \frac{d}{d H} [10.45])$

Etapa 4.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$33 (10 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d H} [v']) + \frac{d}{d H} [- v'] + \frac{d}{d H} [10.45])$

Etapa 4.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $v'$ .

$33 (10 (\frac{1}{2} {v'}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d H} [v']) + \frac{d}{d H} [- v'] + \frac{d}{d H} [10.45])$

Etapa 4.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$33 (10 (\frac{1}{2} {v'}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d H} [v']) + \frac{d}{d H} [- v'] + \frac{d}{d H} [10.45])$

Etapa 4.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$33 (10 (\frac{1}{2} {v'}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d H} [v']) + \frac{d}{d H} [- v'] + \frac{d}{d H} [10.45])$

Etapa 4.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$33 (10 (\frac{1}{2} {v'}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d H} [v']) + \frac{d}{d H} [- v'] + \frac{d}{d H} [10.45])$

Etapa 4.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$33 (10 (\frac{1}{2} {v'}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d H} [v']) + \frac{d}{d H} [- v'] + \frac{d}{d H} [10.45])$

Etapa 4.6.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$33 (10 (\frac{1}{2} {v'}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d H} [v']) + \frac{d}{d H} [- v'] + \frac{d}{d H} [10.45])$

Etapa 4.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$33 (10 (\frac{1}{2} {v'}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d H} [v']) + \frac{d}{d H} [- v'] + \frac{d}{d H} [10.45])$

Etapa 4.8

Combine $\frac{1}{2}$ e ${v'}^{- \frac{1}{2}}$ .

$33 (10 (\frac{{v'}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d H} [v']) + \frac{d}{d H} [- v'] + \frac{d}{d H} [10.45])$

Etapa 4.9

Mova ${v'}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$33 (10 (\frac{1}{2 {v'}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d H} [v']) + \frac{d}{d H} [- v'] + \frac{d}{d H} [10.45])$

Etapa 4.10

Combine $\frac{1}{2 {v'}^{\frac{1}{2}}}$ e $10$ .

$33 (\frac{10}{2 {v'}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d H} [v'] + \frac{d}{d H} [- v'] + \frac{d}{d H} [10.45])$

Etapa 4.11

Fatore $2$ de $10$ .

$33 (\frac{2 \cdot 5}{2 {v'}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d H} [v'] + \frac{d}{d H} [- v'] + \frac{d}{d H} [10.45])$

Etapa 4.12

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.12.1

Fatore $2$ de $2 {v'}^{\frac{1}{2}}$ .

$33 (\frac{2 \cdot 5}{2 {v'}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d H} [v'] + \frac{d}{d H} [- v'] + \frac{d}{d H} [10.45])$

Etapa 4.12.2

Cancele o fator comum.

$33 (\frac{2 \cdot 5}{2 {v'}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d H} [v'] + \frac{d}{d H} [- v'] + \frac{d}{d H} [10.45])$

Etapa 4.12.3

Reescreva a expressão.

$33 (\frac{5}{{v'}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d H} [v'] + \frac{d}{d H} [- v'] + \frac{d}{d H} [10.45])$

Etapa 4.13

Reescreva $\frac{d}{d H} [v']$ como $v''$ .

$33 (\frac{5}{{v'}^{\frac{1}{2}}} v'' + \frac{d}{d H} [- v'] + \frac{d}{d H} [10.45])$

Etapa 4.14

Combine $\frac{5}{{v'}^{\frac{1}{2}}}$ e $v''$ .

$33 (\frac{5 v''}{{v'}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d H} [- v'] + \frac{d}{d H} [10.45])$

Etapa 4.15

Como $- 1$ é constante em relação a $H$ , a derivada de $- v'$ em relação a $H$ é $- \frac{d}{d H} [v']$ .

$33 (\frac{5 v''}{{v'}^{\frac{1}{2}}} - \frac{d}{d H} [v'] + \frac{d}{d H} [10.45])$

Etapa 4.16

Reescreva $\frac{d}{d H} [v']$ como $v''$ .

$33 (\frac{5 v''}{{v'}^{\frac{1}{2}}} - v'' + \frac{d}{d H} [10.45])$

Etapa 4.17

Como $10.45$ é constante em relação a $H$ , a derivada de $10.45$ em relação a $H$ é $0$ .

$33 (\frac{5 v''}{{v'}^{\frac{1}{2}}} - v'' + 0)$

Etapa 4.18

Some $\frac{5 v''}{{v'}^{\frac{1}{2}}} - v''$ e $0$ .

$33 (\frac{5 v''}{{v'}^{\frac{1}{2}}} - v'')$

Etapa 4.19

Simplifique.

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Etapa 4.19.1

Aplique a propriedade distributiva.

$33 \frac{5 v''}{{v'}^{\frac{1}{2}}} + 33 (- v'')$

Etapa 4.19.2

Combine os termos.

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Etapa 4.19.2.1

Combine $33$ e $\frac{5 v''}{{v'}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{33 (5 v'')}{{v'}^{\frac{1}{2}}} + 33 (- v'')$

Etapa 4.19.2.2

Multiplique $5$ por $33$ .

$\frac{165 v''}{{v'}^{\frac{1}{2}}} + 33 (- v'')$

Etapa 4.19.2.3

Multiplique $- 1$ por $33$ .

$\frac{165 v''}{{v'}^{\frac{1}{2}}} - 33 v''$

Etapa 5

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$1 = \frac{165 v''}{{v'}^{\frac{1}{2}}} - 33 v''$

Etapa 6

Resolva $v'$ .

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Etapa 6.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.1.1

Mova ${v'}^{\frac{1}{2}}$ para o numerador usando a regra do expoente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$1 = 165 v' {v'}^{- \frac{1}{2}} - 33 v'$

Etapa 6.1.2

Multiplique $v'$ por ${v'}^{- \frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 6.1.2.1

Mova ${v'}^{- \frac{1}{2}}$ .

$1 = 165 ({v'}^{- \frac{1}{2}} v') - 33 v'$

Etapa 6.1.2.2

Multiplique ${v'}^{- \frac{1}{2}}$ por $v'$ .

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Etapa 6.1.2.2.1

Eleve $v'$ à potência de $1$ .

$1 = 165 ({v'}^{- \frac{1}{2}} {v'}^{1}) - 33 v'$

Etapa 6.1.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$1 = 165 {v'}^{- \frac{1}{2} + 1} - 33 v'$

Etapa 6.1.2.3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$1 = 165 {v'}^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} - 33 v'$

Etapa 6.1.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$1 = 165 {v'}^{\frac{- 1 + 2}{2}} - 33 v'$

Etapa 6.1.2.5

Some $- 1$ e $2$ .

$1 = 165 {v'}^{\frac{1}{2}} - 33 v'$

Etapa 6.2

Represente cada lado da equação em um gráfico. A solução é o valor x do ponto de intersecção.

$v' \approx 3.68202613 E - 5, 24.93935711$

Etapa 7

Substitua $v'$ por $\frac{d v}{d H}$ .

$v' = \frac{d v}{d H} \approx 3.68202613 E - 5, 24.93935711$