Álgebra Exemplos

$y \sin (2 x) = x \cos (2 y)$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y \sin (2 x)) = \frac{d}{d x} (x \cos (2 y))$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = y$ e $g (x) = \sin (2 x)$ .

$y \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x$ .

$y (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.2.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$y (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$y (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$y \cos (2 x) (2 \cdot 1) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.3.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$y \cos (2 x) \cdot 2 + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.3.3.2

Mova $2$ para a esquerda de $y \cos (2 x)$ .

$2 \cdot (y \cos (2 x)) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.4

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 y \cos (2 x) + \sin (2 x) y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = \cos (2 y)$ .

$x \frac{d}{d x} [\cos (2 y)] + \cos (2 y) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 2 y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 y$ .

$x (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 y]) + \cos (2 y) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.2.2

A derivada de $\cos (u)$ em relação a $u$ é $- \sin (u)$ .

$x (- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 y]) + \cos (2 y) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 y$ .

$x (- \sin (2 y) \frac{d}{d x} [2 y]) + \cos (2 y) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 y$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [y]$ .

$x (- \sin (2 y) (2 \frac{d}{d x} [y])) + \cos (2 y) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.3.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$x (- 2 \sin (2 y) \frac{d}{d x} [y]) + \cos (2 y) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.4

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x (- 2 \sin (2 y) y') + \cos (2 y) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x (- 2 \sin (2 y) y') + \cos (2 y) \cdot 1$

Etapa 3.6

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1

Multiplique $\cos (2 y)$ por $1$ .

$x (- 2 \sin (2 y) y') + \cos (2 y)$

Etapa 3.6.2

Reordene os termos.

$- 2 x \sin (2 y) y' + \cos (2 y)$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$2 y \cos (2 x) + \sin (2 x) y' = - 2 x \sin (2 y) y' + \cos (2 y)$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Use a fórmula do arco duplo para transformar $\cos (2 x)$ em $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$2 y (1 - 2 \sin^{2} (x)) + \sin (2 x) y' = - 2 x \sin (2 y) y' + \cos (2 y)$

Etapa 5.2

Use a fórmula do arco duplo para transformar $\cos (2 x)$ em $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$2 y (1 - 2 \sin^{2} (x)) + \sin (2 x) y' = - 2 x \sin (2 y) y' + 1 - 2 \sin^{2} (y)$

Etapa 5.3

Subtraia $2 y (1 - 2 \sin^{2} (x))$ dos dois lados da equação.

$\sin (2 x) y' = - 2 x \sin (2 y) y' + 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y (1 - 2 \sin^{2} (x))$

Etapa 5.4

Some $2 x \sin (2 y) y'$ aos dois lados da equação.

$\sin (2 x) y' + 2 x \sin (2 y) y' = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y (1 - 2 \sin^{2} (x))$

Etapa 5.5

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1

Simplifique $\sin (2 x) y' + 2 x \sin (2 y) y'$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1.1.1

Aplique a fórmula do arco duplo do seno.

$2 \sin (x) \cos (x) y' + 2 x \sin (2 y) y' = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y (1 - 2 \sin^{2} (x))$

Etapa 5.5.1.1.2

Aplique a fórmula do arco duplo do seno.

$2 \sin (x) \cos (x) y' + 2 x (2 \sin (y) \cos (y)) y' = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y (1 - 2 \sin^{2} (x))$

Etapa 5.5.1.1.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$2 \sin (x) \cos (x) y' + 4 x \sin (y) \cos (y) y' = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y (1 - 2 \sin^{2} (x))$

Etapa 5.5.1.2

Reordene os fatores em $2 \sin (x) \cos (x) y' + 4 x \sin (y) \cos (y) y'$ .

$2 y' \sin (x) \cos (x) + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y (1 - 2 \sin^{2} (x))$

Etapa 5.6

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 y' \sin (x) \cos (x) + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y \cdot 1 - 2 y (- 2 \sin^{2} (x))$

Etapa 5.6.1.2

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$2 y' \sin (x) \cos (x) + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y - 2 y (- 2 \sin^{2} (x))$

Etapa 5.6.1.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$2 y' \sin (x) \cos (x) + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y - 2 \cdot - 2 y \sin^{2} (x)$

Etapa 5.6.1.4

Multiplique $- 2$ por $- 2$ .

$2 y' \sin (x) \cos (x) + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Etapa 5.7

Resolva a equação para $y'$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.7.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.7.1.1

Simplifique $2 y' \sin (x) \cos (x) + 4 x y' \sin (y) \cos (y)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.7.1.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.7.1.1.1.1

Adicione parênteses.

$2 y' (\sin (x) \cos (x)) + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Etapa 5.7.1.1.1.2

Reordene $2 y'$ e $\sin (x) \cos (x)$ .

$\sin (x) \cos (x) (2 y') + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Etapa 5.7.1.1.1.3

Reordene $\sin (x) \cos (x)$ e $2$ .

$2 \cdot (\sin (x) \cos (x)) y' + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Etapa 5.7.1.1.1.4

Aplique a fórmula do arco duplo do seno.

$\sin (2 x) y' + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Etapa 5.7.1.1.2

Reordene os fatores em $\sin (2 x) y' + 4 x y' \sin (y) \cos (y)$ .

$y' \sin (2 x) + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Etapa 5.7.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.7.2.1

Aplique a fórmula do arco duplo do cosseno.

$y' \sin (2 x) + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = \cos (2 y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Etapa 5.7.3

Use a fórmula do arco duplo para transformar $\cos (2 x)$ em $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$y' \sin (2 x) + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Etapa 5.7.4

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.7.4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.7.4.1.1

Aplique a fórmula do arco duplo do seno.

$y' (2 \sin (x) \cos (x)) + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Etapa 5.7.4.1.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$2 y' \sin (x) \cos (x) + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Etapa 5.7.5

Resolva a equação para $y'$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.7.5.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.7.5.1.1

Simplifique $2 y' \sin (x) \cos (x) + 4 x y' \sin (y) \cos (y)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.7.5.1.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.7.5.1.1.1.1

Adicione parênteses.

$2 y' (\sin (x) \cos (x)) + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Etapa 5.7.5.1.1.1.2

Reordene $2 y'$ e $\sin (x) \cos (x)$ .

$\sin (x) \cos (x) (2 y') + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Etapa 5.7.5.1.1.1.3

Reordene $\sin (x) \cos (x)$ e $2$ .

$2 \cdot (\sin (x) \cos (x)) y' + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Etapa 5.7.5.1.1.1.4

Aplique a fórmula do arco duplo do seno.

$\sin (2 x) y' + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Etapa 5.7.5.1.1.2

Reordene os fatores em $\sin (2 x) y' + 4 x y' \sin (y) \cos (y)$ .

$y' \sin (2 x) + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Etapa 5.7.5.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.7.5.2.1

Aplique a fórmula do arco duplo do cosseno.

$y' \sin (2 x) + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = \cos (2 y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Etapa 5.7.5.3

Use a fórmula do arco duplo para transformar $\cos (2 x)$ em $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$y' \sin (2 x) + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Etapa 5.7.5.4

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.7.5.4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.7.5.4.1.1

Aplique a fórmula do arco duplo do seno.

$y' (2 \sin (x) \cos (x)) + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Etapa 5.7.5.4.1.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$2 y' \sin (x) \cos (x) + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Etapa 5.7.5.5

Resolva a equação para $y'$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.7.5.5.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.7.5.5.1.1

Simplifique $2 y' \sin (x) \cos (x) + 4 x y' \sin (y) \cos (y)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.7.5.5.1.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.7.5.5.1.1.1.1

Adicione parênteses.

$2 y' (\sin (x) \cos (x)) + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Etapa 5.7.5.5.1.1.1.2

Reordene $2 y'$ e $\sin (x) \cos (x)$ .

$\sin (x) \cos (x) (2 y') + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Etapa 5.7.5.5.1.1.1.3

Reordene $\sin (x) \cos (x)$ e $2$ .

$2 \cdot (\sin (x) \cos (x)) y' + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Etapa 5.7.5.5.1.1.1.4

Aplique a fórmula do arco duplo do seno.

$\sin (2 x) y' + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Etapa 5.7.5.5.1.1.2

Reordene os fatores em $\sin (2 x) y' + 4 x y' \sin (y) \cos (y)$ .

$y' \sin (2 x) + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Etapa 5.7.5.5.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.7.5.5.2.1

Aplique a fórmula do arco duplo do cosseno.

$y' \sin (2 x) + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = \cos (2 y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Etapa 5.7.5.5.3

Use a fórmula do arco duplo para transformar $\cos (2 x)$ em $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$y' \sin (2 x) + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Etapa 5.7.5.5.4

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.7.5.5.4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.7.5.5.4.1.1

Aplique a fórmula do arco duplo do seno.

$y' (2 \sin (x) \cos (x)) + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Etapa 5.7.5.5.4.1.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$2 y' \sin (x) \cos (x) + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Etapa 5.7.5.5.5

Resolva a equação para $y'$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.7.5.5.5.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.7.5.5.5.1.1

Simplifique $2 y' \sin (x) \cos (x) + 4 x y' \sin (y) \cos (y)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.7.5.5.5.1.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.7.5.5.5.1.1.1.1

Adicione parênteses.

$2 y' (\sin (x) \cos (x)) + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Etapa 5.7.5.5.5.1.1.1.2

Reordene $2 y'$ e $\sin (x) \cos (x)$ .

$\sin (x) \cos (x) (2 y') + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Etapa 5.7.5.5.5.1.1.1.3

Reordene $\sin (x) \cos (x)$ e $2$ .

$2 \cdot (\sin (x) \cos (x)) y' + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Etapa 5.7.5.5.5.1.1.1.4

Aplique a fórmula do arco duplo do seno.

$\sin (2 x) y' + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Etapa 5.7.5.5.5.1.1.2

Reordene os fatores em $\sin (2 x) y' + 4 x y' \sin (y) \cos (y)$ .

$y' \sin (2 x) + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Etapa 5.7.5.5.5.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.7.5.5.5.2.1

Aplique a fórmula do arco duplo do cosseno.

$y' \sin (2 x) + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = \cos (2 y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Etapa 5.7.5.5.5.3

Use a fórmula do arco duplo para transformar $\cos (2 x)$ em $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$y' \sin (2 x) + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Etapa 5.7.5.5.5.4

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.7.5.5.5.4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.7.5.5.5.4.1.1

Aplique a fórmula do arco duplo do seno.

$y' (2 \sin (x) \cos (x)) + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Etapa 5.7.5.5.5.4.1.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$2 y' \sin (x) \cos (x) + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Etapa 5.7.5.5.5.5

Resolva a equação para $y'$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.7.5.5.5.5.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.7.5.5.5.5.1.1

Simplifique $2 y' \sin (x) \cos (x) + 4 x y' \sin (y) \cos (y)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.7.5.5.5.5.1.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.7.5.5.5.5.1.1.1.1

Adicione parênteses.

$2 y' (\sin (x) \cos (x)) + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Etapa 5.7.5.5.5.5.1.1.1.2

Reordene $2 y'$ e $\sin (x) \cos (x)$ .

$\sin (x) \cos (x) (2 y') + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Etapa 5.7.5.5.5.5.1.1.1.3

Reordene $\sin (x) \cos (x)$ e $2$ .

$2 \cdot (\sin (x) \cos (x)) y' + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Etapa 5.7.5.5.5.5.1.1.1.4

Aplique a fórmula do arco duplo do seno.

$\sin (2 x) y' + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Etapa 5.7.5.5.5.5.1.1.2

Reordene os fatores em $\sin (2 x) y' + 4 x y' \sin (y) \cos (y)$ .

$y' \sin (2 x) + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Etapa 5.7.5.5.5.5.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.7.5.5.5.5.2.1

Aplique a fórmula do arco duplo do cosseno.

$y' \sin (2 x) + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = \cos (2 y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Etapa 5.7.5.5.5.5.3

Fatore $y'$ de $y' \sin (2 x) + 4 x y' \sin (y) \cos (y)$ .

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Etapa 5.7.5.5.5.5.3.1

Fatore $y'$ de $y' \sin (2 x)$ .

$y' (\sin (2 x)) + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = \cos (2 y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Etapa 5.7.5.5.5.5.3.2

Fatore $y'$ de $4 x y' \sin (y) \cos (y)$ .

$y' (\sin (2 x)) + y' (4 x \sin (y) \cos (y)) = \cos (2 y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Etapa 5.7.5.5.5.5.3.3

Fatore $y'$ de $y' (\sin (2 x)) + y' (4 x \sin (y) \cos (y))$ .

$y' (\sin (2 x) + 4 x \sin (y) \cos (y)) = \cos (2 y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Etapa 5.7.5.5.5.5.4

Divida cada termo em $y' (\sin (2 x) + 4 x \sin (y) \cos (y)) = \cos (2 y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$ por $\sin (2 x) + 4 x \sin (y) \cos (y)$ e simplifique.

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Etapa 5.7.5.5.5.5.4.1

Divida cada termo em $y' (\sin (2 x) + 4 x \sin (y) \cos (y)) = \cos (2 y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$ por $\sin (2 x) + 4 x \sin (y) \cos (y)$ .

$\frac{y' (\sin (2 x) + 4 x \sin (y) \cos (y))}{\sin (2 x) + 4 x \sin (y) \cos (y)} = \frac{\cos (2 y)}{\sin (2 x) + 4 x \sin (y) \cos (y)} + \frac{- 2 y}{\sin (2 x) + 4 x \sin (y) \cos (y)} + \frac{4 y \sin^{2} (x)}{\sin (2 x) + 4 x \sin (y) \cos (y)}$

Etapa 5.7.5.5.5.5.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.7.5.5.5.5.4.2.1

Cancele o fator comum de $\sin (2 x) + 4 x \sin (y) \cos (y)$ .

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Etapa 5.7.5.5.5.5.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

Etapa 5.7.5.5.5.5.4.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{\cos (2 y)}{\sin (2 x) + 4 x \sin (y) \cos (y)} + \frac{- 2 y}{\sin (2 x) + 4 x \sin (y) \cos (y)} + \frac{4 y \sin^{2} (x)}{\sin (2 x) + 4 x \sin (y) \cos (y)}$

Etapa 5.7.5.5.5.5.4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.7.5.5.5.5.4.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = \frac{\cos (2 y)}{\sin (2 x) + 4 x \sin (y) \cos (y)} - \frac{2 y}{\sin (2 x) + 4 x \sin (y) \cos (y)} + \frac{4 y \sin^{2} (x)}{\sin (2 x) + 4 x \sin (y) \cos (y)}$

Etapa 5.7.5.5.5.5.4.3.2

Combine em uma fração.

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Etapa 5.7.5.5.5.5.4.3.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{\cos (2 y) - 2 y}{\sin (2 x) + 4 x \sin (y) \cos (y)} + \frac{4 y \sin^{2} (x)}{\sin (2 x) + 4 x \sin (y) \cos (y)}$

Etapa 5.7.5.5.5.5.4.3.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{\cos (2 y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)}{\sin (2 x) + 4 x \sin (y) \cos (y)}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\cos (2 y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)}{\sin (2 x) + 4 x \sin (y) \cos (y)}$