Álgebra Exemplos

$\sqrt{x^{2} - 5 x + 9}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x^{2} - 5 x + 9}$ como ${(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x^{2} - 5 x + 9$ .

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Etapa 1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} - 5 x + 9$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 9]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 9]$

Etapa 1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} - 5 x + 9$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 9]$

Etapa 1.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 9]$

Etapa 1.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 9]$

Etapa 1.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 9]$

Etapa 1.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 9]$

Etapa 1.6.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 9]$

Etapa 1.7

Combine frações.

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Etapa 1.7.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 5 x + 9)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 9]$

Etapa 1.7.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(x^{2} - 5 x + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} - 5 x + 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 9]$

Etapa 1.7.3

Mova ${(x^{2} - 5 x + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 9]$

Etapa 1.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 5 x + 9$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [9])$

Etapa 1.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [9])$

Etapa 1.10

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5 x$ em relação a $x$ é $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9])$

Etapa 1.11

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9])$

Etapa 1.12

Multiplique $- 5$ por $1$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 5 + \frac{d}{d x} [9])$

Etapa 1.13

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 5 + 0)$

Etapa 1.14

Some $2 x - 5$ e $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 5)$

Etapa 1.15

Simplifique.

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Etapa 1.15.1

Reordene os fatores de $\frac{1}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 5)$ .

$(2 x - 5) \frac{1}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.15.2

Multiplique $2 x - 5$ por $\frac{1}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 x - 5}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

Como $\frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{2 x - 5}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{2 x - 5}{{(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{2 x - 5}{{(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 2 x - 5$ e $g (x) = {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (2 x - 5) - (2 x - 5) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}{{({(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 2.3

Multiplique os expoentes em ${({(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 2.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (2 x - 5) - (2 x - 5) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 2.3.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.3.2.1

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (2 x - 5) - (2 x - 5) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 2.3.2.2

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (2 x - 5) - (2 x - 5) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 5 x + 9}$

Etapa 2.4

Simplifique.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (2 x - 5) - (2 x - 5) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 5 x + 9}$

Etapa 2.5

Diferencie.

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Etapa 2.5.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x - 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 5)) - (2 x - 5) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 5 x + 9}$

Etapa 2.5.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 5)) - (2 x - 5) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 5 x + 9}$

Etapa 2.5.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 5)) - (2 x - 5) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 5 x + 9}$

Etapa 2.5.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} (2 + \frac{d}{d x} (- 5)) - (2 x - 5) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 5 x + 9}$

Etapa 2.5.5

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} (2 + 0) - (2 x - 5) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 5 x + 9}$

Etapa 2.5.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.5.6.1

Some $2$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 - (2 x - 5) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 5 x + 9}$

Etapa 2.5.6.2

Mova $2$ para a esquerda de ${(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 5) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 5 x + 9}$

Etapa 2.6

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x^{2} - 5 x + 9$ .

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Etapa 2.6.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} - 5 x + 9$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 5) (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 5 x + 9))}{x^{2} - 5 x + 9}$

Etapa 2.6.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 5) (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 5 x + 9))}{x^{2} - 5 x + 9}$

Etapa 2.6.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} - 5 x + 9$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 5) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 5 x + 9))}{x^{2} - 5 x + 9}$

Etapa 2.7

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 5) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 5 x + 9))}{x^{2} - 5 x + 9}$

Etapa 2.8

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 5) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 5 x + 9))}{x^{2} - 5 x + 9}$

Etapa 2.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 5) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 5 x + 9))}{x^{2} - 5 x + 9}$

Etapa 2.10

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.10.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 5) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 5 x + 9))}{x^{2} - 5 x + 9}$

Etapa 2.10.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 5) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 5 x + 9))}{x^{2} - 5 x + 9}$

Etapa 2.11

Combine frações.

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Etapa 2.11.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 5) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 5 x + 9)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 5 x + 9))}{x^{2} - 5 x + 9}$

Etapa 2.11.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(x^{2} - 5 x + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 5) (\frac{{(x^{2} - 5 x + 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 5 x + 9))}{x^{2} - 5 x + 9}$

Etapa 2.11.3

Mova ${(x^{2} - 5 x + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 5) (\frac{1}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 5 x + 9))}{x^{2} - 5 x + 9}$

Etapa 2.12

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 5 x + 9$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 5) (\frac{1}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 5 x) + \frac{d}{d x} (9)))}{x^{2} - 5 x + 9}$

Etapa 2.13

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 5) (\frac{1}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (- 5 x) + \frac{d}{d x} (9)))}{x^{2} - 5 x + 9}$

Etapa 2.14

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5 x$ em relação a $x$ é $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 5) (\frac{1}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x - 5 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (9)))}{x^{2} - 5 x + 9}$

Etapa 2.15

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 5) (\frac{1}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (9)))}{x^{2} - 5 x + 9}$

Etapa 2.16

Multiplique $- 5$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 5) (\frac{1}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x - 5 + \frac{d}{d x} (9)))}{x^{2} - 5 x + 9}$

Etapa 2.17

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 5) (\frac{1}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x - 5 + 0))}{x^{2} - 5 x + 9}$

Etapa 2.18

Some $2 x - 5$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 5) (\frac{1}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x - 5))}{x^{2} - 5 x + 9}$

Etapa 2.19

Eleve $2 x - 5$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 5) (2 x - 5) \frac{1}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 5 x + 9}$

Etapa 2.20

Eleve $2 x - 5$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 5) (2 x - 5) \frac{1}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 5 x + 9}$

Etapa 2.21

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} - {(2 x - 5)}^{1 + 1} \frac{1}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 5 x + 9}$

Etapa 2.22

Some $1$ e $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} - {(2 x - 5)}^{2} \frac{1}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 5 x + 9}$

Etapa 2.23

Combine $\frac{1}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ e ${(2 x - 5)}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} - \frac{{(2 x - 5)}^{2}}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 5 x + 9}$

Etapa 2.24

Para escrever $2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{{(2 x - 5)}^{2}}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 5 x + 9}$

Etapa 2.25

Combine $2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{{(2 x - 5)}^{2}}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 5 x + 9}$

Etapa 2.26

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}) - {(2 x - 5)}^{2}}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 5 x + 9}$

Etapa 2.27

Multiplique $2$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{4 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} - {(2 x - 5)}^{2}}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 5 x + 9}$

Etapa 2.28

Multiplique ${(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ por ${(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.28.1

Mova ${(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{4 ({(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}) - {(2 x - 5)}^{2}}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 5 x + 9}$

Etapa 2.28.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{4 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - {(2 x - 5)}^{2}}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 5 x + 9}$

Etapa 2.28.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{4 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1 + 1}{2}} - {(2 x - 5)}^{2}}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 5 x + 9}$

Etapa 2.28.4

Some $1$ e $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{4 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{2}{2}} - {(2 x - 5)}^{2}}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 5 x + 9}$

Etapa 2.28.5

Divida $2$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{4 (x^{2} - 5 x + 9) - {(2 x - 5)}^{2}}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 5 x + 9}$

Etapa 2.29

Simplifique $4 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{1}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{4 (x^{2} - 5 x + 9) - {(2 x - 5)}^{2}}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 5 x + 9}$

Etapa 2.30

Reescreva $\frac{\frac{4 (x^{2} - 5 x + 9) - {(2 x - 5)}^{2}}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 5 x + 9}$ como um produto.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{4 (x^{2} - 5 x + 9) - {(2 x - 5)}^{2}}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x^{2} - 5 x + 9})$

Etapa 2.31

Multiplique $\frac{4 (x^{2} - 5 x + 9) - {(2 x - 5)}^{2}}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1}{x^{2} - 5 x + 9}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{4 (x^{2} - 5 x + 9) - {(2 x - 5)}^{2}}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} - 5 x + 9)}$

Etapa 2.32

Eleve $x^{2} - 5 x + 9$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{4 (x^{2} - 5 x + 9) - {(2 x - 5)}^{2}}{2 ((x^{2} - 5 x + 9) {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}})}$

Etapa 2.33

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{4 (x^{2} - 5 x + 9) - {(2 x - 5)}^{2}}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{1 + \frac{1}{2}}}$

Etapa 2.34

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.34.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{4 (x^{2} - 5 x + 9) - {(2 x - 5)}^{2}}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Etapa 2.34.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{4 (x^{2} - 5 x + 9) - {(2 x - 5)}^{2}}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Etapa 2.34.3

Some $2$ e $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{4 (x^{2} - 5 x + 9) - {(2 x - 5)}^{2}}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 2.35

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{4 (x^{2} - 5 x + 9) - {(2 x - 5)}^{2}}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 (x^{2} - 5 x + 9) - {(2 x - 5)}^{2}}{2 (2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{3}{2}})}$

Etapa 2.36

Multiplique $2$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 (x^{2} - 5 x + 9) - {(2 x - 5)}^{2}}{4 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 2.37

Simplifique.

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Etapa 2.37.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} + 4 (- 5 x) + 4 \cdot 9 - {(2 x - 5)}^{2}}{4 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 2.37.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.37.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.37.2.1.1

Multiplique $- 5$ por $4$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 20 x + 4 \cdot 9 - {(2 x - 5)}^{2}}{4 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 2.37.2.1.2

Multiplique $4$ por $9$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 20 x + 36 - {(2 x - 5)}^{2}}{4 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 2.37.2.1.3

Reescreva ${(2 x - 5)}^{2}$ como $(2 x - 5) (2 x - 5)$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 20 x + 36 - ((2 x - 5) (2 x - 5))}{4 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 2.37.2.1.4

Expanda $(2 x - 5) (2 x - 5)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.37.2.1.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 20 x + 36 - (2 x (2 x - 5) - 5 (2 x - 5))}{4 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 2.37.2.1.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 20 x + 36 - (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x - 5))}{4 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 2.37.2.1.4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 20 x + 36 - (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5)}{4 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 2.37.2.1.5

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.37.2.1.5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.37.2.1.5.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 20 x + 36 - (2 \cdot (2 x \cdot x) + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5)}{4 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 2.37.2.1.5.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 2.37.2.1.5.1.2.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 20 x + 36 - (2 \cdot (2 (x \cdot x)) + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5)}{4 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 2.37.2.1.5.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 20 x + 36 - (2 \cdot (2 x^{2}) + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5)}{4 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 2.37.2.1.5.1.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 20 x + 36 - (4 x^{2} + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5)}{4 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 2.37.2.1.5.1.4

Multiplique $- 5$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 20 x + 36 - (4 x^{2} - 10 x - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5)}{4 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 2.37.2.1.5.1.5

Multiplique $2$ por $- 5$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 20 x + 36 - (4 x^{2} - 10 x - 10 x - 5 \cdot - 5)}{4 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 2.37.2.1.5.1.6

Multiplique $- 5$ por $- 5$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 20 x + 36 - (4 x^{2} - 10 x - 10 x + 25)}{4 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 2.37.2.1.5.2

Subtraia $10 x$ de $- 10 x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 20 x + 36 - (4 x^{2} - 20 x + 25)}{4 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 2.37.2.1.6

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 20 x + 36 - (4 x^{2}) - (- 20 x) - 1 \cdot 25}{4 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 2.37.2.1.7

Simplifique.

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Etapa 2.37.2.1.7.1

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 20 x + 36 - 4 x^{2} - (- 20 x) - 1 \cdot 25}{4 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 2.37.2.1.7.2

Multiplique $- 20$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 20 x + 36 - 4 x^{2} + 20 x - 1 \cdot 25}{4 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 2.37.2.1.7.3

Multiplique $- 1$ por $25$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 20 x + 36 - 4 x^{2} + 20 x - 25}{4 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 2.37.2.2

Combine os termos opostos em $4 x^{2} - 20 x + 36 - 4 x^{2} + 20 x - 25$ .

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Etapa 2.37.2.2.1

Subtraia $4 x^{2}$ de $4 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 20 x + 36 + 0 + 20 x - 25}{4 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 2.37.2.2.2

Some $- 20 x + 36$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 20 x + 36 + 20 x - 25}{4 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 2.37.2.2.3

Some $- 20 x$ e $20 x$ .

$f'' (x) = \frac{0 + 36 - 25}{4 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 2.37.2.2.4

Some $0$ e $36$ .

$f'' (x) = \frac{36 - 25}{4 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 2.37.2.3

Subtraia $25$ de $36$ .

$f'' (x) = \frac{11}{4 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$\frac{2 x - 5}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x^{2} - 5 x + 9}$ como ${(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 4.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x^{2} - 5 x + 9$ .

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Etapa 4.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} - 5 x + 9$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 9]$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 9]$

Etapa 4.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} - 5 x + 9$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 9]$

Etapa 4.1.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 9]$

Etapa 4.1.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 9]$

Etapa 4.1.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 9]$

Etapa 4.1.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 9]$

Etapa 4.1.6.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 9]$

Etapa 4.1.7

Combine frações.

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Etapa 4.1.7.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 5 x + 9)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 9]$

Etapa 4.1.7.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(x^{2} - 5 x + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} - 5 x + 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 9]$

Etapa 4.1.7.3

Mova ${(x^{2} - 5 x + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 9]$

Etapa 4.1.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 5 x + 9$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [9])$

Etapa 4.1.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [9])$

Etapa 4.1.10

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5 x$ em relação a $x$ é $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9])$

Etapa 4.1.11

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9])$

Etapa 4.1.12

Multiplique $- 5$ por $1$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 5 + \frac{d}{d x} [9])$

Etapa 4.1.13

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 5 + 0)$

Etapa 4.1.14

Some $2 x - 5$ e $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 5)$

Etapa 4.1.15

Simplifique.

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Etapa 4.1.15.1

Reordene os fatores de $\frac{1}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 5)$ .

$(2 x - 5) \frac{1}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.1.15.2

Multiplique $2 x - 5$ por $\frac{1}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{2 x - 5}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{2 x - 5}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 x - 5}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{2 x - 5}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

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Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{2 x - 5}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Etapa 5.2

Defina o numerador como igual a zero.

$2 x - 5 = 0$

Etapa 5.3

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 5.3.1

Some $5$ aos dois lados da equação.

$2 x = 5$

Etapa 5.3.2

Divida cada termo em $2 x = 5$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 5.3.2.1

Divida cada termo em $2 x = 5$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Etapa 5.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Etapa 5.3.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{5}{2}$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = \frac{5}{2}$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{5}{2}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{11}{4 {({(\frac{5}{2})}^{2} - 5 (\frac{5}{2}) + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 9.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 9.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 9.1.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{5}{2}$ .

$\frac{11}{4 {(\frac{5^{2}}{2^{2}} - 5 (\frac{5}{2}) + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9.1.1.2

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$\frac{11}{4 {(\frac{25}{2^{2}} - 5 (\frac{5}{2}) + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9.1.1.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{11}{4 {(\frac{25}{4} - 5 (\frac{5}{2}) + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9.1.1.4

Multiplique $- 5 (\frac{5}{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1.4.1

Combine $- 5$ e $\frac{5}{2}$ .

$\frac{11}{4 {(\frac{25}{4} + \frac{- 5 \cdot 5}{2} + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9.1.1.4.2

Multiplique $- 5$ por $5$ .

$\frac{11}{4 {(\frac{25}{4} + \frac{- 25}{2} + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9.1.1.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{11}{4 {(\frac{25}{4} - \frac{25}{2} + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9.1.2

Encontre o denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.2.1

Multiplique $\frac{25}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{11}{4 {(\frac{25}{4} - (\frac{25}{2} \cdot \frac{2}{2}) + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9.1.2.2

Multiplique $\frac{25}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{11}{4 {(\frac{25}{4} - \frac{25 \cdot 2}{2 \cdot 2} + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9.1.2.3

Escreva $9$ como uma fração com denominador $1$ .

$\frac{11}{4 {(\frac{25}{4} - \frac{25 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{9}{1})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9.1.2.4

Multiplique $\frac{9}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{11}{4 {(\frac{25}{4} - \frac{25 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{9}{1} \cdot \frac{4}{4})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9.1.2.5

Multiplique $\frac{9}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{11}{4 {(\frac{25}{4} - \frac{25 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{9 \cdot 4}{4})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9.1.2.6

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{11}{4 {(\frac{25}{4} - \frac{25 \cdot 2}{4} + \frac{9 \cdot 4}{4})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{11}{4 {(\frac{25 - 25 \cdot 2 + 9 \cdot 4}{4})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9.1.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.4.1

Multiplique $- 25$ por $2$ .

$\frac{11}{4 {(\frac{25 - 50 + 9 \cdot 4}{4})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9.1.4.2

Multiplique $9$ por $4$ .

$\frac{11}{4 {(\frac{25 - 50 + 36}{4})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9.1.5

Subtraia $50$ de $25$ .

$\frac{11}{4 {(\frac{- 25 + 36}{4})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9.1.6

Some $- 25$ e $36$ .

$\frac{11}{4 {(\frac{11}{4})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9.1.7

Aplique a regra do produto a $\frac{11}{4}$ .

$\frac{11}{4 \frac{11^{\frac{3}{2}}}{4^{\frac{3}{2}}}}$

Etapa 9.1.8

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.8.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{11}{4 \frac{11^{\frac{3}{2}}}{{(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}}$

Etapa 9.1.8.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{11}{4 \frac{11^{\frac{3}{2}}}{2^{2 (\frac{3}{2})}}}$

Etapa 9.1.8.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.8.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{11}{4 \frac{11^{\frac{3}{2}}}{2^{2 (\frac{3}{2})}}}$

Etapa 9.1.8.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{11}{4 \frac{11^{\frac{3}{2}}}{2^{3}}}$

Etapa 9.1.8.4

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$\frac{11}{4 \frac{11^{\frac{3}{2}}}{8}}$

Etapa 9.2

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Combine $4$ e $\frac{11^{\frac{3}{2}}}{8}$ .

$\frac{11}{\frac{4 \cdot 11^{\frac{3}{2}}}{8}}$

Etapa 9.2.2

Reduza a expressão $\frac{4 \cdot 11^{\frac{3}{2}}}{8}$ cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.2.1

Fatore $4$ de $4 \cdot 11^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{11}{\frac{4 (11^{\frac{3}{2}})}{8}}$

Etapa 9.2.2.2

Fatore $4$ de $8$ .

$\frac{11}{\frac{4 \cdot 11^{\frac{3}{2}}}{4 \cdot 2}}$

Etapa 9.2.2.3

Cancele o fator comum.

$\frac{11}{\frac{4 \cdot 11^{\frac{3}{2}}}{4 \cdot 2}}$

Etapa 9.2.2.4

Reescreva a expressão.

$\frac{11}{\frac{11^{\frac{3}{2}}}{2}}$

Etapa 9.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$11 \frac{2}{11^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9.4

Multiplique $11 \frac{2}{11^{\frac{3}{2}}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.4.1

Combine $11$ e $\frac{2}{11^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{11 \cdot 2}{11^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9.4.2

Multiplique $11$ por $2$ .

$\frac{22}{11^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 10

$x = \frac{5}{2}$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{5}{2}$ é um mínimo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = \frac{5}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{5}{2}$ na expressão.

$f (\frac{5}{2}) = \sqrt{{(\frac{5}{2})}^{2} - 5 (\frac{5}{2}) + 9}$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Aplique a regra do produto a $\frac{5}{2}$ .

$f (\frac{5}{2}) = \sqrt{\frac{5^{2}}{2^{2}} - 5 (\frac{5}{2}) + 9}$

Etapa 11.2.2

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$f (\frac{5}{2}) = \sqrt{\frac{25}{2^{2}} - 5 (\frac{5}{2}) + 9}$

Etapa 11.2.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f (\frac{5}{2}) = \sqrt{\frac{25}{4} - 5 (\frac{5}{2}) + 9}$

Etapa 11.2.4

Multiplique $- 5 (\frac{5}{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.4.1

Combine $- 5$ e $\frac{5}{2}$ .

$f (\frac{5}{2}) = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{- 5 \cdot 5}{2} + 9}$

Etapa 11.2.4.2

Multiplique $- 5$ por $5$ .

$f (\frac{5}{2}) = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{- 25}{2} + 9}$

Etapa 11.2.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (\frac{5}{2}) = \sqrt{\frac{25}{4} - \frac{25}{2} + 9}$

Etapa 11.2.6

Para escrever $- \frac{25}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5}{2}) = \sqrt{\frac{25}{4} - \frac{25}{2} \cdot \frac{2}{2} + 9}$

Etapa 11.2.7

Escreva cada expressão com um denominador comum de $4$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.7.1

Multiplique $\frac{25}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5}{2}) = \sqrt{\frac{25}{4} - \frac{25 \cdot 2}{2 \cdot 2} + 9}$

Etapa 11.2.7.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$f (\frac{5}{2}) = \sqrt{\frac{25}{4} - \frac{25 \cdot 2}{4} + 9}$

Etapa 11.2.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{5}{2}) = \sqrt{\frac{25 - 25 \cdot 2}{4} + 9}$

Etapa 11.2.9

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.9.1

Multiplique $- 25$ por $2$ .

$f (\frac{5}{2}) = \sqrt{\frac{25 - 50}{4} + 9}$

Etapa 11.2.9.2

Subtraia $50$ de $25$ .

$f (\frac{5}{2}) = \sqrt{\frac{- 25}{4} + 9}$

Etapa 11.2.10

Para escrever $9$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{5}{2}) = \sqrt{\frac{- 25}{4} + 9 \cdot \frac{4}{4}}$

Etapa 11.2.11

Combine $9$ e $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{5}{2}) = \sqrt{\frac{- 25}{4} + \frac{9 \cdot 4}{4}}$

Etapa 11.2.12

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{5}{2}) = \sqrt{\frac{- 25 + 9 \cdot 4}{4}}$

Etapa 11.2.13

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.13.1

Multiplique $9$ por $4$ .

$f (\frac{5}{2}) = \sqrt{\frac{- 25 + 36}{4}}$

Etapa 11.2.13.2

Some $- 25$ e $36$ .

$f (\frac{5}{2}) = \sqrt{\frac{11}{4}}$

Etapa 11.2.14

Reescreva $\sqrt{\frac{11}{4}}$ como $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{4}}$ .

$f (\frac{5}{2}) = \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{4}}$

Etapa 11.2.15

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.15.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$f (\frac{5}{2}) = \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{2^{2}}}$

Etapa 11.2.15.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$f (\frac{5}{2}) = \frac{\sqrt{11}}{2}$

Etapa 11.2.16

A resposta final é $\frac{\sqrt{11}}{2}$ .

$y = \frac{\sqrt{11}}{2}$

Etapa 12

Esses são os extremos locais para $f (x) = \sqrt{x^{2} - 5 x + 9}$ .

$(\frac{5}{2}, \frac{\sqrt{11}}{2})$ é um mínimo local

Etapa 13