Álgebra Exemplos

$4 x^{4}$

Etapa 1

Alterne as variáveis.

$x = 4 y^{4}$

Etapa 2

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Reescreva a equação como $4 y^{4} = x$ .

$4 y^{4} = x$

Etapa 2.2

Divida cada termo em $4 y^{4} = x$ por $4$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Divida cada termo em $4 y^{4} = x$ por $4$ .

$\frac{4 y^{4}}{4} = \frac{x}{4}$

Etapa 2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 y^{4}}{4} = \frac{x}{4}$

Etapa 2.2.2.1.2

Divida $y^{4}$ por $1$ .

$y^{4} = \frac{x}{4}$

Etapa 2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt[4]{\frac{x}{4}}$

Etapa 2.4

Simplifique $\pm \sqrt[4]{\frac{x}{4}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Reescreva $\sqrt[4]{\frac{x}{4}}$ como $\frac{\sqrt[4]{x}}{\sqrt[4]{4}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{x}}{\sqrt[4]{4}}$

Etapa 2.4.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{x}}{\sqrt[4]{2^{2}}}$

Etapa 2.4.2.2

Reescreva $\sqrt[4]{2^{2}}$ como $\sqrt{\sqrt{2^{2}}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{x}}{\sqrt{\sqrt{2^{2}}}}$

Etapa 2.4.2.3

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{x}}{\sqrt{2}}$

Etapa 2.4.3

Multiplique $\frac{\sqrt[4]{x}}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{x}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Etapa 2.4.4

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.4.1

Multiplique $\frac{\sqrt[4]{x}}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{x} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Etapa 2.4.4.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{x} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Etapa 2.4.4.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{x} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Etapa 2.4.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{x} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Etapa 2.4.4.5

Some $1$ e $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{x} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Etapa 2.4.4.6

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.4.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{x} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 2.4.4.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{x} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 2.4.4.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{x} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 2.4.4.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.4.6.4.1

Cancele o fator comum.

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{x} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 2.4.4.6.4.2

Reescreva a expressão.

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{x} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Etapa 2.4.4.6.5

Avalie o expoente.

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{x} \sqrt{2}}{2}$

Etapa 2.4.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.4.5.1

Reescreva a expressão usando o menor índice comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.5.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{x} \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 2.4.5.1.2

Reescreva $2^{\frac{1}{2}}$ como $2^{\frac{2}{4}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{x} \cdot 2^{\frac{2}{4}}}{2}$

Etapa 2.4.5.1.3

Reescreva $2^{\frac{2}{4}}$ como $\sqrt[4]{2^{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{x} \sqrt[4]{2^{2}}}{2}$

Etapa 2.4.5.2

Combine usando a regra do produto para radicais.

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{x \cdot 2^{2}}}{2}$

Etapa 2.4.5.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{x \cdot 4}}{2}$

Etapa 2.4.6

Reordene os fatores em $\pm \frac{\sqrt[4]{x \cdot 4}}{2}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{4 x}}{2}$

Etapa 2.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 2.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y = \frac{\sqrt[4]{4 x}}{2}$

Etapa 2.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y = - \frac{\sqrt[4]{4 x}}{2}$

Etapa 2.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = \frac{\sqrt[4]{4 x}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt[4]{4 x}}{2}$

$y = \frac{\sqrt[4]{4 x}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt[4]{4 x}}{2}$

$y = \frac{\sqrt[4]{4 x}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt[4]{4 x}}{2}$

Etapa 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[4]{4 x}}{2}, - \frac{\sqrt[4]{4 x}}{2}$

Etapa 4

Verifique se $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[4]{4 x}}{2}, - \frac{\sqrt[4]{4 x}}{2}$ é o inverso de $f (x) = 4 x^{4}$ .

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Etapa 4.1

O domínio do inverso é o intervalo da função original e vice-versa. Encontre o domínio e o intervalo de $f (x) = 4 x^{4}$ e $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[4]{4 x}}{2}, - \frac{\sqrt[4]{4 x}}{2}$ e os compare.

Etapa 4.2

Encontre o intervalo de $f (x) = 4 x^{4}$ .

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Etapa 4.2.1

O intervalo é o conjunto de todos os valores $y$ válidos. Use o gráfico para encontrar o intervalo.

Notação de intervalo:

$[0, \infty)$

Etapa 4.3

Encontre o domínio de $\frac{\sqrt[4]{4 x}}{2}$ .

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Etapa 4.3.1

Defina o radicando em $\sqrt[4]{4 x}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$4 x \geq 0$

Etapa 4.3.2

Divida cada termo em $4 x \geq 0$ por $4$ e simplifique.

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Etapa 4.3.2.1

Divida cada termo em $4 x \geq 0$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} \geq \frac{0}{4}$

Etapa 4.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.3.2.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 4.3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 x}{4} \geq \frac{0}{4}$

Etapa 4.3.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x \geq \frac{0}{4}$

Etapa 4.3.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.3.2.3.1

Divida $0$ por $4$ .

$x \geq 0$

Etapa 4.3.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$[0, \infty)$

Etapa 4.4

Encontre o domínio de $f (x) = 4 x^{4}$ .

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Etapa 4.4.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

$(- \infty, \infty)$

Etapa 4.5

Como o domínio de $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[4]{4 x}}{2}, - \frac{\sqrt[4]{4 x}}{2}$ é o intervalo de $f (x) = 4 x^{4}$ , e o intervalo de $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[4]{4 x}}{2}, - \frac{\sqrt[4]{4 x}}{2}$ é o domínio de $f (x) = 4 x^{4}$ , então, $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[4]{4 x}}{2}, - \frac{\sqrt[4]{4 x}}{2}$ é o inverso de $f (x) = 4 x^{4}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[4]{4 x}}{2}, - \frac{\sqrt[4]{4 x}}{2}$

Etapa 5