Álgebra Exemplos

${(- 3 x^{2} + y)}^{5}$

Etapa 1

O triângulo de Pascal pode ser exibido assim:

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

$1 - 4 - 6 - 4 - 1$

$1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1$

O triângulo pode ser usado para calcular os coeficientes da expansão de ${(a + b)}^{n}$ , usando o expoente $n$ e somando $1$ . Os coeficientes corresponderão à linha $n + 1$ do triângulo. Para ${(- 3 x^{2} + y)}^{5}$ , $n = 5$ , de forma que os coeficientes da expansão corresponderão à linha $6$ .

Etapa 2

A expansão segue a regra ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . Os valores dos coeficientes, do triângulo, são $1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1$ .

$1 a^{5} b^{0} + 5 a^{4} b + 10 a^{3} b^{2} + 10 a^{2} b^{3} + 5 a b^{4} + 1 a^{0} b^{5}$

Etapa 3

Substitua os valores reais de $a$ $- 3 x^{2}$ e $b$ $y$ na expressão.

$1 {(- 3 x^{2})}^{5} {(y)}^{0} + 5 {(- 3 x^{2})}^{4} {(y)}^{1} + 10 {(- 3 x^{2})}^{3} {(y)}^{2} + 10 {(- 3 x^{2})}^{2} {(y)}^{3} + 5 {(- 3 x^{2})}^{1} {(y)}^{4} + 1 {(- 3 x^{2})}^{0} {(y)}^{5}$

Etapa 4

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1

Multiplique ${(- 3 x^{2})}^{5}$ por $1$ .

${(- 3 x^{2})}^{5} {(y)}^{0} + 5 {(- 3 x^{2})}^{4} {(y)}^{1} + 10 {(- 3 x^{2})}^{3} {(y)}^{2} + 10 {(- 3 x^{2})}^{2} {(y)}^{3} + 5 {(- 3 x^{2})}^{1} {(y)}^{4} + 1 {(- 3 x^{2})}^{0} {(y)}^{5}$

Etapa 4.2

Aplique a regra do produto a $- 3 x^{2}$ .

${(- 3)}^{5} {(x^{2})}^{5} {(y)}^{0} + 5 {(- 3 x^{2})}^{4} {(y)}^{1} + 10 {(- 3 x^{2})}^{3} {(y)}^{2} + 10 {(- 3 x^{2})}^{2} {(y)}^{3} + 5 {(- 3 x^{2})}^{1} {(y)}^{4} + 1 {(- 3 x^{2})}^{0} {(y)}^{5}$

Etapa 4.3

Eleve $- 3$ à potência de $5$ .

$- 243 {(x^{2})}^{5} {(y)}^{0} + 5 {(- 3 x^{2})}^{4} {(y)}^{1} + 10 {(- 3 x^{2})}^{3} {(y)}^{2} + 10 {(- 3 x^{2})}^{2} {(y)}^{3} + 5 {(- 3 x^{2})}^{1} {(y)}^{4} + 1 {(- 3 x^{2})}^{0} {(y)}^{5}$

Etapa 4.4

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{5}$ .

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Etapa 4.4.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 243 x^{2 \cdot 5} {(y)}^{0} + 5 {(- 3 x^{2})}^{4} {(y)}^{1} + 10 {(- 3 x^{2})}^{3} {(y)}^{2} + 10 {(- 3 x^{2})}^{2} {(y)}^{3} + 5 {(- 3 x^{2})}^{1} {(y)}^{4} + 1 {(- 3 x^{2})}^{0} {(y)}^{5}$

Etapa 4.4.2

Multiplique $2$ por $5$ .

$- 243 x^{10} {(y)}^{0} + 5 {(- 3 x^{2})}^{4} {(y)}^{1} + 10 {(- 3 x^{2})}^{3} {(y)}^{2} + 10 {(- 3 x^{2})}^{2} {(y)}^{3} + 5 {(- 3 x^{2})}^{1} {(y)}^{4} + 1 {(- 3 x^{2})}^{0} {(y)}^{5}$

Etapa 4.5

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$- 243 x^{10} \cdot 1 + 5 {(- 3 x^{2})}^{4} {(y)}^{1} + 10 {(- 3 x^{2})}^{3} {(y)}^{2} + 10 {(- 3 x^{2})}^{2} {(y)}^{3} + 5 {(- 3 x^{2})}^{1} {(y)}^{4} + 1 {(- 3 x^{2})}^{0} {(y)}^{5}$

Etapa 4.6

Multiplique $- 243$ por $1$ .

$- 243 x^{10} + 5 {(- 3 x^{2})}^{4} {(y)}^{1} + 10 {(- 3 x^{2})}^{3} {(y)}^{2} + 10 {(- 3 x^{2})}^{2} {(y)}^{3} + 5 {(- 3 x^{2})}^{1} {(y)}^{4} + 1 {(- 3 x^{2})}^{0} {(y)}^{5}$

Etapa 4.7

Aplique a regra do produto a $- 3 x^{2}$ .

$- 243 x^{10} + 5 ({(- 3)}^{4} {(x^{2})}^{4}) {(y)}^{1} + 10 {(- 3 x^{2})}^{3} {(y)}^{2} + 10 {(- 3 x^{2})}^{2} {(y)}^{3} + 5 {(- 3 x^{2})}^{1} {(y)}^{4} + 1 {(- 3 x^{2})}^{0} {(y)}^{5}$

Etapa 4.8

Eleve $- 3$ à potência de $4$ .

$- 243 x^{10} + 5 (81 {(x^{2})}^{4}) {(y)}^{1} + 10 {(- 3 x^{2})}^{3} {(y)}^{2} + 10 {(- 3 x^{2})}^{2} {(y)}^{3} + 5 {(- 3 x^{2})}^{1} {(y)}^{4} + 1 {(- 3 x^{2})}^{0} {(y)}^{5}$

Etapa 4.9

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{4}$ .

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Etapa 4.9.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 243 x^{10} + 5 (81 x^{2 \cdot 4}) {(y)}^{1} + 10 {(- 3 x^{2})}^{3} {(y)}^{2} + 10 {(- 3 x^{2})}^{2} {(y)}^{3} + 5 {(- 3 x^{2})}^{1} {(y)}^{4} + 1 {(- 3 x^{2})}^{0} {(y)}^{5}$

Etapa 4.9.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$- 243 x^{10} + 5 (81 x^{8}) {(y)}^{1} + 10 {(- 3 x^{2})}^{3} {(y)}^{2} + 10 {(- 3 x^{2})}^{2} {(y)}^{3} + 5 {(- 3 x^{2})}^{1} {(y)}^{4} + 1 {(- 3 x^{2})}^{0} {(y)}^{5}$

Etapa 4.10

Multiplique $81$ por $5$ .

$- 243 x^{10} + 405 x^{8} {(y)}^{1} + 10 {(- 3 x^{2})}^{3} {(y)}^{2} + 10 {(- 3 x^{2})}^{2} {(y)}^{3} + 5 {(- 3 x^{2})}^{1} {(y)}^{4} + 1 {(- 3 x^{2})}^{0} {(y)}^{5}$

Etapa 4.11

Simplifique.

$- 243 x^{10} + 405 x^{8} y + 10 {(- 3 x^{2})}^{3} {(y)}^{2} + 10 {(- 3 x^{2})}^{2} {(y)}^{3} + 5 {(- 3 x^{2})}^{1} {(y)}^{4} + 1 {(- 3 x^{2})}^{0} {(y)}^{5}$

Etapa 4.12

Aplique a regra do produto a $- 3 x^{2}$ .

$- 243 x^{10} + 405 x^{8} y + 10 ({(- 3)}^{3} {(x^{2})}^{3}) {(y)}^{2} + 10 {(- 3 x^{2})}^{2} {(y)}^{3} + 5 {(- 3 x^{2})}^{1} {(y)}^{4} + 1 {(- 3 x^{2})}^{0} {(y)}^{5}$

Etapa 4.13

Eleve $- 3$ à potência de $3$ .

$- 243 x^{10} + 405 x^{8} y + 10 (- 27 {(x^{2})}^{3}) {(y)}^{2} + 10 {(- 3 x^{2})}^{2} {(y)}^{3} + 5 {(- 3 x^{2})}^{1} {(y)}^{4} + 1 {(- 3 x^{2})}^{0} {(y)}^{5}$

Etapa 4.14

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{3}$ .

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Etapa 4.14.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 243 x^{10} + 405 x^{8} y + 10 (- 27 x^{2 \cdot 3}) {(y)}^{2} + 10 {(- 3 x^{2})}^{2} {(y)}^{3} + 5 {(- 3 x^{2})}^{1} {(y)}^{4} + 1 {(- 3 x^{2})}^{0} {(y)}^{5}$

Etapa 4.14.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$- 243 x^{10} + 405 x^{8} y + 10 (- 27 x^{6}) {(y)}^{2} + 10 {(- 3 x^{2})}^{2} {(y)}^{3} + 5 {(- 3 x^{2})}^{1} {(y)}^{4} + 1 {(- 3 x^{2})}^{0} {(y)}^{5}$

Etapa 4.15

Multiplique $- 27$ por $10$ .

$- 243 x^{10} + 405 x^{8} y - 270 x^{6} {(y)}^{2} + 10 {(- 3 x^{2})}^{2} {(y)}^{3} + 5 {(- 3 x^{2})}^{1} {(y)}^{4} + 1 {(- 3 x^{2})}^{0} {(y)}^{5}$

Etapa 4.16

Aplique a regra do produto a $- 3 x^{2}$ .

$- 243 x^{10} + 405 x^{8} y - 270 x^{6} y^{2} + 10 ({(- 3)}^{2} {(x^{2})}^{2}) {(y)}^{3} + 5 {(- 3 x^{2})}^{1} {(y)}^{4} + 1 {(- 3 x^{2})}^{0} {(y)}^{5}$

Etapa 4.17

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$- 243 x^{10} + 405 x^{8} y - 270 x^{6} y^{2} + 10 (9 {(x^{2})}^{2}) {(y)}^{3} + 5 {(- 3 x^{2})}^{1} {(y)}^{4} + 1 {(- 3 x^{2})}^{0} {(y)}^{5}$

Etapa 4.18

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{2}$ .

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Etapa 4.18.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 243 x^{10} + 405 x^{8} y - 270 x^{6} y^{2} + 10 (9 x^{2 \cdot 2}) {(y)}^{3} + 5 {(- 3 x^{2})}^{1} {(y)}^{4} + 1 {(- 3 x^{2})}^{0} {(y)}^{5}$

Etapa 4.18.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$- 243 x^{10} + 405 x^{8} y - 270 x^{6} y^{2} + 10 (9 x^{4}) {(y)}^{3} + 5 {(- 3 x^{2})}^{1} {(y)}^{4} + 1 {(- 3 x^{2})}^{0} {(y)}^{5}$

Etapa 4.19

Multiplique $9$ por $10$ .

$- 243 x^{10} + 405 x^{8} y - 270 x^{6} y^{2} + 90 x^{4} {(y)}^{3} + 5 {(- 3 x^{2})}^{1} {(y)}^{4} + 1 {(- 3 x^{2})}^{0} {(y)}^{5}$

Etapa 4.20

Simplifique.

$- 243 x^{10} + 405 x^{8} y - 270 x^{6} y^{2} + 90 x^{4} y^{3} + 5 (- 3 x^{2}) {(y)}^{4} + 1 {(- 3 x^{2})}^{0} {(y)}^{5}$

Etapa 4.21

Multiplique $- 3$ por $5$ .

$- 243 x^{10} + 405 x^{8} y - 270 x^{6} y^{2} + 90 x^{4} y^{3} - 15 x^{2} {(y)}^{4} + 1 {(- 3 x^{2})}^{0} {(y)}^{5}$

Etapa 4.22

Multiplique ${(- 3 x^{2})}^{0}$ por $1$ .

$- 243 x^{10} + 405 x^{8} y - 270 x^{6} y^{2} + 90 x^{4} y^{3} - 15 x^{2} y^{4} + {(- 3 x^{2})}^{0} {(y)}^{5}$

Etapa 4.23

Aplique a regra do produto a $- 3 x^{2}$ .

$- 243 x^{10} + 405 x^{8} y - 270 x^{6} y^{2} + 90 x^{4} y^{3} - 15 x^{2} y^{4} + {(- 3)}^{0} {(x^{2})}^{0} {(y)}^{5}$

Etapa 4.24

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$- 243 x^{10} + 405 x^{8} y - 270 x^{6} y^{2} + 90 x^{4} y^{3} - 15 x^{2} y^{4} + 1 {(x^{2})}^{0} {(y)}^{5}$

Etapa 4.25

Multiplique ${(x^{2})}^{0}$ por $1$ .

$- 243 x^{10} + 405 x^{8} y - 270 x^{6} y^{2} + 90 x^{4} y^{3} - 15 x^{2} y^{4} + {(x^{2})}^{0} {(y)}^{5}$

Etapa 4.26

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{0}$ .

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Etapa 4.26.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 243 x^{10} + 405 x^{8} y - 270 x^{6} y^{2} + 90 x^{4} y^{3} - 15 x^{2} y^{4} + x^{2 \cdot 0} {(y)}^{5}$

Etapa 4.26.2

Multiplique $2$ por $0$ .

$- 243 x^{10} + 405 x^{8} y - 270 x^{6} y^{2} + 90 x^{4} y^{3} - 15 x^{2} y^{4} + x^{0} {(y)}^{5}$

Etapa 4.27

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$- 243 x^{10} + 405 x^{8} y - 270 x^{6} y^{2} + 90 x^{4} y^{3} - 15 x^{2} y^{4} + 1 {(y)}^{5}$

Etapa 4.28

Multiplique ${(y)}^{5}$ por $1$ .

$- 243 x^{10} + 405 x^{8} y - 270 x^{6} y^{2} + 90 x^{4} y^{3} - 15 x^{2} y^{4} + y^{5}$