Álgebra Exemplos

$\ln (x + 2 y) = x^{4}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (\ln (x + 2 y)) = \frac{d}{d x} (x^{4})$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x + 2 y$ .

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Etapa 2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x + 2 y$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x + 2 y]$

Etapa 2.1.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x + 2 y]$

Etapa 2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 2 y$ .

$\frac{1}{x + 2 y} \frac{d}{d x} [x + 2 y]$

Etapa 2.2

Diferencie.

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Etapa 2.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 2 y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y]$ .

$\frac{1}{x + 2 y} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y])$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{x + 2 y} (1 + \frac{d}{d x} [2 y])$

Etapa 2.2.3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 y$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{1}{x + 2 y} (1 + 2 \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{1}{x + 2 y} (1 + 2 y')$

Etapa 2.4

Simplifique.

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Etapa 2.4.1

Reordene os fatores de $\frac{1}{x + 2 y} (1 + 2 y')$ .

$(1 + 2 y') \frac{1}{x + 2 y}$

Etapa 2.4.2

Multiplique $1 + 2 y'$ por $\frac{1}{x + 2 y}$ .

$\frac{1 + 2 y'}{x + 2 y}$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 x^{3}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$\frac{1 + 2 y'}{x + 2 y} = 4 x^{3}$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Multiplique os dois lados por $x + 2 y$ .

$\frac{1 + 2 y'}{x + 2 y} (x + 2 y) = 4 x^{3} (x + 2 y)$

Etapa 5.2

Simplifique.

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Etapa 5.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.1.1

Simplifique $\frac{1 + 2 y'}{x + 2 y} (x + 2 y)$ .

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Etapa 5.2.1.1.1

Cancele o fator comum de $x + 2 y$ .

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Etapa 5.2.1.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 + 2 y'}{x + 2 y} (x + 2 y) = 4 x^{3} (x + 2 y)$

Etapa 5.2.1.1.1.2

Reescreva a expressão.

$1 + 2 y' = 4 x^{3} (x + 2 y)$

Etapa 5.2.1.1.2

Reordene $1$ e $2 y'$ .

$2 y' + 1 = 4 x^{3} (x + 2 y)$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.2.1

Simplifique $4 x^{3} (x + 2 y)$ .

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Etapa 5.2.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 y' + 1 = 4 x^{3} x + 4 x^{3} (2 y)$

Etapa 5.2.2.1.2

Multiplique $x^{3}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 5.2.2.1.2.1

Mova $x$ .

$2 y' + 1 = 4 (x \cdot x^{3}) + 4 x^{3} (2 y)$

Etapa 5.2.2.1.2.2

Multiplique $x$ por $x^{3}$ .

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Etapa 5.2.2.1.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$2 y' + 1 = 4 (x^{1} x^{3}) + 4 x^{3} (2 y)$

Etapa 5.2.2.1.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 y' + 1 = 4 x^{1 + 3} + 4 x^{3} (2 y)$

Etapa 5.2.2.1.2.3

Some $1$ e $3$ .

$2 y' + 1 = 4 x^{4} + 4 x^{3} (2 y)$

Etapa 5.2.2.1.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$2 y' + 1 = 4 x^{4} + 4 \cdot 2 x^{3} y$

Etapa 5.2.2.1.4

Multiplique $4$ por $2$ .

$2 y' + 1 = 4 x^{4} + 8 x^{3} y$

Etapa 5.2.2.1.5

Reordene $4 x^{4}$ e $8 x^{3} y$ .

$2 y' + 1 = 8 x^{3} y + 4 x^{4}$

Etapa 5.3

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.3.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$2 y' = 8 x^{3} y + 4 x^{4} - 1$

Etapa 5.3.2

Divida cada termo em $2 y' = 8 x^{3} y + 4 x^{4} - 1$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 5.3.2.1

Divida cada termo em $2 y' = 8 x^{3} y + 4 x^{4} - 1$ por $2$ .

$\frac{2 y'}{2} = \frac{8 x^{3} y}{2} + \frac{4 x^{4}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Etapa 5.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 y'}{2} = \frac{8 x^{3} y}{2} + \frac{4 x^{4}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Etapa 5.3.2.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{8 x^{3} y}{2} + \frac{4 x^{4}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Etapa 5.3.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.3.2.3.1.1

Cancele o fator comum de $8$ e $2$ .

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Etapa 5.3.2.3.1.1.1

Fatore $2$ de $8 x^{3} y$ .

$y' = \frac{2 (4 x^{3} y)}{2} + \frac{4 x^{4}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Etapa 5.3.2.3.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.3.2.3.1.1.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$y' = \frac{2 (4 x^{3} y)}{2 (1)} + \frac{4 x^{4}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Etapa 5.3.2.3.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{2 (4 x^{3} y)}{2 \cdot 1} + \frac{4 x^{4}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Etapa 5.3.2.3.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{4 x^{3} y}{1} + \frac{4 x^{4}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Etapa 5.3.2.3.1.1.2.4

Divida $4 x^{3} y$ por $1$ .

$y' = 4 x^{3} y + \frac{4 x^{4}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Etapa 5.3.2.3.1.2

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

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Etapa 5.3.2.3.1.2.1

Fatore $2$ de $4 x^{4}$ .

$y' = 4 x^{3} y + \frac{2 (2 x^{4})}{2} + \frac{- 1}{2}$

Etapa 5.3.2.3.1.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.3.2.3.1.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$y' = 4 x^{3} y + \frac{2 (2 x^{4})}{2 (1)} + \frac{- 1}{2}$

Etapa 5.3.2.3.1.2.2.2

Cancele o fator comum.

$y' = 4 x^{3} y + \frac{2 (2 x^{4})}{2 \cdot 1} + \frac{- 1}{2}$

Etapa 5.3.2.3.1.2.2.3

Reescreva a expressão.

$y' = 4 x^{3} y + \frac{2 x^{4}}{1} + \frac{- 1}{2}$

Etapa 5.3.2.3.1.2.2.4

Divida $2 x^{4}$ por $1$ .

$y' = 4 x^{3} y + 2 x^{4} + \frac{- 1}{2}$

Etapa 5.3.2.3.1.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = 4 x^{3} y + 2 x^{4} - \frac{1}{2}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 4 x^{3} y + 2 x^{4} - \frac{1}{2}$