Álgebra Exemplos

$x y^{6} - y = x$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d y} (x y^{6} - y) = \frac{d}{d y} (x)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x y^{6} - y$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [x y^{6}] + \frac{d}{d y} [- y]$ .

$\frac{d}{d y} [x y^{6}] + \frac{d}{d y} [- y]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d y} [x y^{6}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ é $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , em que $f (y) = x$ e $g (y) = y^{6}$ .

$x \frac{d}{d y} [y^{6}] + y^{6} \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 6$ .

$x (6 y^{5}) + y^{6} \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y]$

Etapa 2.2.3

Reescreva $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$x (6 y^{5}) + y^{6} x' + \frac{d}{d y} [- y]$

Etapa 2.2.4

Mova $6$ para a esquerda de $x$ .

$6 x y^{5} + y^{6} x' + \frac{d}{d y} [- y]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d y} [- y]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- y$ em relação a $y$ é $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$6 x y^{5} + y^{6} x' - \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$6 x y^{5} + y^{6} x' - 1 \cdot 1$

Etapa 2.3.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$6 x y^{5} + y^{6} x' - 1$

Etapa 2.4

Reordene os termos.

$6 y^{5} x + y^{6} x' - 1$

Etapa 3

Reescreva $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$x'$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$6 y^{5} x + y^{6} x' - 1 = x'$

Etapa 5

Resolva $x'$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Subtraia $x'$ dos dois lados da equação.

$6 y^{5} x + y^{6} x' - 1 - x' = 0$

Etapa 5.2

Mova todos os termos que não contêm $x'$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Subtraia $6 y^{5} x$ dos dois lados da equação.

$y^{6} x' - 1 - x' = - 6 y^{5} x$

Etapa 5.2.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$y^{6} x' - x' = - 6 y^{5} x + 1$

Etapa 5.3

Fatore $x'$ de $y^{6} x' - x'$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Fatore $x'$ de $y^{6} x'$ .

$x' y^{6} - x' = - 6 y^{5} x + 1$

Etapa 5.3.2

Fatore $x'$ de $- x'$ .

$x' y^{6} + x' \cdot - 1 = - 6 y^{5} x + 1$

Etapa 5.3.3

Fatore $x'$ de $x' y^{6} + x' \cdot - 1$ .

$x' (y^{6} - 1) = - 6 y^{5} x + 1$

Etapa 5.4

Reescreva $y^{6}$ como ${(y^{2})}^{3}$ .

$x' ({(y^{2})}^{3} - 1) = - 6 y^{5} x + 1$

Etapa 5.5

Reescreva $1$ como $1^{3}$ .

$x' ({(y^{2})}^{3} - 1^{3}) = - 6 y^{5} x + 1$

Etapa 5.6

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ em que $a = y^{2}$ e $b = 1$ .

$x' ((y^{2} - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} \cdot 1 + 1^{2})) = - 6 y^{5} x + 1$

Etapa 5.7

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.7.1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.7.1.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$x' ((y^{2} - 1^{2}) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} \cdot 1 + 1^{2})) = - 6 y^{5} x + 1$

Etapa 5.7.1.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = y$ e $b = 1$ .

$x' ((y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} \cdot 1 + 1^{2})) = - 6 y^{5} x + 1$

Etapa 5.7.1.3

Multiplique $y^{2}$ por $1$ .

$x' ((y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1^{2})) = - 6 y^{5} x + 1$

Etapa 5.7.2

Remova os parênteses desnecessários.

$x' (y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1^{2}) = - 6 y^{5} x + 1$

Etapa 5.8

Um elevado a qualquer potência é um.

$x' (y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1) = - 6 y^{5} x + 1$

Etapa 5.9

Divida cada termo em $x' (y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1) = - 6 y^{5} x + 1$ por $(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.9.1

Divida cada termo em $x' (y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1) = - 6 y^{5} x + 1$ por $(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)$ .

$\frac{x' (y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)} = \frac{- 6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}$

Etapa 5.9.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.9.2.1

Cancele o fator comum de $y + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.9.2.1.1

Cancele o fator comum.

Etapa 5.9.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x' (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}{(y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)} = \frac{- 6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}$

Etapa 5.9.2.2

Cancele o fator comum de $y - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.9.2.2.1

Cancele o fator comum.

Etapa 5.9.2.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x' ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}{{(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1} = \frac{- 6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}$

Etapa 5.9.2.3

Cancele o fator comum de ${(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.9.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x' ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}{{(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1} = \frac{- 6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}$

Etapa 5.9.2.3.2

Divida $x'$ por $1$ .

$x' = \frac{- 6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}$

Etapa 5.9.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.9.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.9.3.1.1

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.9.3.1.1.1

Multiplique os expoentes em ${(y^{2})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.9.3.1.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x' = \frac{- 6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) (y^{2 \cdot 2} + y^{2} + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}$

Etapa 5.9.3.1.1.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$x' = \frac{- 6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) (y^{4} + y^{2} + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}$

Etapa 5.9.3.1.1.2

Reescreva $y^{4} + y^{2} + 1$ em uma forma fatorada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.9.3.1.1.2.1

Reescreva o termo central.

$x' = \frac{- 6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) (y^{4} + 2 y^{2} \cdot 1 - y^{2} + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}$

Etapa 5.9.3.1.1.2.2

Reorganize os termos.

$x' = \frac{- 6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) (y^{4} + 2 y^{2} \cdot 1 + 1 - y^{2})} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}$

Etapa 5.9.3.1.1.2.3

Fatore os três primeiros termos pela regra do quadrado perfeito.

$x' = \frac{- 6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2} + 1)}^{2} - y^{2})} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}$

Etapa 5.9.3.1.1.2.4

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = y^{2} + 1$ e $b = y$ .

$x' = \frac{- 6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) ((y^{2} + 1 + y) (y^{2} + 1 - y))} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}$

Etapa 5.9.3.1.1.2.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.9.3.1.1.2.5.1

Reordene os termos.

$x' = \frac{- 6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) ((y^{2} + y + 1) (y^{2} + 1 - y))} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}$

Etapa 5.9.3.1.1.2.5.2

Reordene os termos.

$x' = \frac{- 6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) ((y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1))} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}$

$x' = \frac{- 6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}$

Etapa 5.9.3.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x' = - \frac{6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}$

Etapa 5.9.3.1.3

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.9.3.1.3.1

Multiplique os expoentes em ${(y^{2})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.9.3.1.3.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x' = - \frac{6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) (y^{2 \cdot 2} + y^{2} + 1)}$

Etapa 5.9.3.1.3.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$x' = - \frac{6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) (y^{4} + y^{2} + 1)}$

Etapa 5.9.3.1.3.2

Reescreva $y^{4} + y^{2} + 1$ em uma forma fatorada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.9.3.1.3.2.1

Reescreva o termo central.

$x' = - \frac{6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) (y^{4} + 2 y^{2} \cdot 1 - y^{2} + 1)}$

Etapa 5.9.3.1.3.2.2

Reorganize os termos.

$x' = - \frac{6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) (y^{4} + 2 y^{2} \cdot 1 + 1 - y^{2})}$

Etapa 5.9.3.1.3.2.3

Fatore os três primeiros termos pela regra do quadrado perfeito.

$x' = - \frac{6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2} + 1)}^{2} - y^{2})}$

Etapa 5.9.3.1.3.2.4

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = y^{2} + 1$ e $b = y$ .

$x' = - \frac{6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ((y^{2} + 1 + y) (y^{2} + 1 - y))}$

Etapa 5.9.3.1.3.2.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.9.3.1.3.2.5.1

Reordene os termos.

$x' = - \frac{6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ((y^{2} + y + 1) (y^{2} + 1 - y))}$

Etapa 5.9.3.1.3.2.5.2

Reordene os termos.

$x' = - \frac{6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ((y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1))}$

$x' = - \frac{6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)}$

Etapa 6

Substitua $x'$ por $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)}$