Álgebra Exemplos

$x = y^{2} - 5 y$

Etapa 1

Reescreva a equação como $y^{2} - 5 y = x$ .

$y^{2} - 5 y = x$

Etapa 2

Subtraia $x$ dos dois lados da equação.

$y^{2} - 5 y - x = 0$

Etapa 3

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 4

Substitua os valores $a = 1$ , $b = - 5$ e $c = - x$ na fórmula quadrática e resolva $y$ .

$\frac{5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- x))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Eleve $- 5$ à potência de $2$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 4 x}}{2}$

Etapa 6

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Eleve $- 5$ à potência de $2$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 4 x}}{2}$

Etapa 6.3

Altere $\pm$ para $+$ .

$y = \frac{5 + \sqrt{25 + 4 x}}{2}$

Etapa 7

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1

Eleve $- 5$ à potência de $2$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 4 x}}{2}$

Etapa 7.3

Altere $\pm$ para $-$ .

$y = \frac{5 - \sqrt{25 + 4 x}}{2}$

Etapa 8

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$y = \frac{5 + \sqrt{25 + 4 x}}{2}$

$y = \frac{5 - \sqrt{25 + 4 x}}{2}$

Etapa 9

Alterne as variáveis. Crie uma equação para cada expressão.

$x = \frac{5 + \sqrt{25 + 4 y}}{2}, x = \frac{5 - \sqrt{25 + 4 y}}{2}$

Etapa 10

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Reescreva a equação como $\frac{5 + \sqrt{25 + 4 y}}{2} = x$ .

$\frac{5 + \sqrt{25 + 4 y}}{2} = x$

Etapa 10.2

Multiplique os dois lados por $2$ .

$\frac{5 + \sqrt{25 + 4 y}}{2} \cdot 2 = x \cdot 2$

Etapa 10.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.1.1

Simplifique $\frac{5 + \sqrt{25 + 4 y}}{2} \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.1.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.1.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{5 + \sqrt{25 + 4 y}}{2} \cdot 2 = x \cdot 2$

Etapa 10.3.1.1.1.2

Reescreva a expressão.

$5 + \sqrt{25 + 4 y} = x \cdot 2$

Etapa 10.3.1.1.2

Reordene $25$ e $4 y$ .

$5 + \sqrt{4 y + 25} = x \cdot 2$

Etapa 10.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.2.1

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$5 + \sqrt{4 y + 25} = 2 x$

Etapa 10.4

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.4.1

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$\sqrt{4 y + 25} = 2 x - 5$

Etapa 10.4.2

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${\sqrt{4 y + 25}}^{2} = {(2 x - 5)}^{2}$

Etapa 10.4.3

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.4.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{4 y + 25}$ como ${(4 y + 25)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(4 y + 25)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x - 5)}^{2}$

Etapa 10.4.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.4.3.2.1

Simplifique ${({(4 y + 25)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.4.3.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(4 y + 25)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.4.3.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(4 y + 25)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x - 5)}^{2}$

Etapa 10.4.3.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.4.3.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(4 y + 25)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x - 5)}^{2}$

Etapa 10.4.3.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(4 y + 25)}^{1} = {(2 x - 5)}^{2}$

Etapa 10.4.3.2.1.2

Simplifique.

$4 y + 25 = {(2 x - 5)}^{2}$

Etapa 10.4.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.4.3.3.1

Simplifique ${(2 x - 5)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.4.3.3.1.1

Reescreva ${(2 x - 5)}^{2}$ como $(2 x - 5) (2 x - 5)$ .

$4 y + 25 = (2 x - 5) (2 x - 5)$

Etapa 10.4.3.3.1.2

Expanda $(2 x - 5) (2 x - 5)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.4.3.3.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$4 y + 25 = 2 x (2 x - 5) - 5 (2 x - 5)$

Etapa 10.4.3.3.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$4 y + 25 = 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x - 5)$

Etapa 10.4.3.3.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$4 y + 25 = 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5$

Etapa 10.4.3.3.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.4.3.3.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.4.3.3.1.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$4 y + 25 = 2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5$

Etapa 10.4.3.3.1.3.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.4.3.3.1.3.1.2.1

Mova $x$ .

$4 y + 25 = 2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5$

Etapa 10.4.3.3.1.3.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$4 y + 25 = 2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5$

Etapa 10.4.3.3.1.3.1.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 y + 25 = 4 x^{2} + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5$

Etapa 10.4.3.3.1.3.1.4

Multiplique $- 5$ por $2$ .

$4 y + 25 = 4 x^{2} - 10 x - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5$

Etapa 10.4.3.3.1.3.1.5

Multiplique $2$ por $- 5$ .

$4 y + 25 = 4 x^{2} - 10 x - 10 x - 5 \cdot - 5$

Etapa 10.4.3.3.1.3.1.6

Multiplique $- 5$ por $- 5$ .

$4 y + 25 = 4 x^{2} - 10 x - 10 x + 25$

Etapa 10.4.3.3.1.3.2

Subtraia $10 x$ de $- 10 x$ .

$4 y + 25 = 4 x^{2} - 20 x + 25$

Etapa 10.4.4

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.4.4.1

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.4.4.1.1

Subtraia $25$ dos dois lados da equação.

$4 y = 4 x^{2} - 20 x + 25 - 25$

Etapa 10.4.4.1.2

Combine os termos opostos em $4 x^{2} - 20 x + 25 - 25$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.4.4.1.2.1

Subtraia $25$ de $25$ .

$4 y = 4 x^{2} - 20 x + 0$

Etapa 10.4.4.1.2.2

Some $4 x^{2} - 20 x$ e $0$ .

$4 y = 4 x^{2} - 20 x$

Etapa 10.4.4.2

Divida cada termo em $4 y = 4 x^{2} - 20 x$ por $4$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.4.4.2.1

Divida cada termo em $4 y = 4 x^{2} - 20 x$ por $4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{4 x^{2}}{4} + \frac{- 20 x}{4}$

Etapa 10.4.4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.4.4.2.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.4.4.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 y}{4} = \frac{4 x^{2}}{4} + \frac{- 20 x}{4}$

Etapa 10.4.4.2.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{4 x^{2}}{4} + \frac{- 20 x}{4}$

Etapa 10.4.4.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.4.4.2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.4.4.2.3.1.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.4.4.2.3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$y = \frac{4 x^{2}}{4} + \frac{- 20 x}{4}$

Etapa 10.4.4.2.3.1.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$y = x^{2} + \frac{- 20 x}{4}$

Etapa 10.4.4.2.3.1.2

Cancele o fator comum de $- 20$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.4.4.2.3.1.2.1

Fatore $4$ de $- 20 x$ .

$y = x^{2} + \frac{4 (- 5 x)}{4}$

Etapa 10.4.4.2.3.1.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.4.4.2.3.1.2.2.1

Fatore $4$ de $4$ .

$y = x^{2} + \frac{4 (- 5 x)}{4 (1)}$

Etapa 10.4.4.2.3.1.2.2.2

Cancele o fator comum.

$y = x^{2} + \frac{4 (- 5 x)}{4 \cdot 1}$

Etapa 10.4.4.2.3.1.2.2.3

Reescreva a expressão.

$y = x^{2} + \frac{- 5 x}{1}$

Etapa 10.4.4.2.3.1.2.2.4

Divida $- 5 x$ por $1$ .

$y = x^{2} - 5 x$

Etapa 11

Substitua $y$ por $f^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 5 x$

Etapa 12

Verifique se $f^{- 1} (x) = x^{2} - 5 x$ é o inverso de $f (x) = \frac{5 + \sqrt{25 + 4 x}}{2}, \frac{5 - \sqrt{25 + 4 x}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

O domínio do inverso é o intervalo da função original e vice-versa. Encontre o domínio e o intervalo de $f (x) = \frac{5 + \sqrt{25 + 4 x}}{2}, \frac{5 - \sqrt{25 + 4 x}}{2}$ e $f^{- 1} (x) = x^{2} - 5 x$ e os compare.

Etapa 12.2

Encontre o intervalo de $f (x) = \frac{5 + \sqrt{25 + 4 x}}{2}, \frac{5 - \sqrt{25 + 4 x}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1

Encontre o intervalo de $\frac{5 + \sqrt{25 + 4 x}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1.1

O intervalo é o conjunto de todos os valores $y$ válidos. Use o gráfico para encontrar o intervalo.

Notação de intervalo:

$[\frac{5}{2}, \infty)$

Etapa 12.2.2

Encontre o intervalo de $\frac{5 - \sqrt{25 + 4 x}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.2.1

O intervalo é o conjunto de todos os valores $y$ válidos. Use o gráfico para encontrar o intervalo.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \frac{5}{2}]$

Etapa 12.2.3

Encontre a união de $[\frac{5}{2}, \infty), (- \infty, \frac{5}{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.3.1

A união consiste em todos os elementos contidos em cada intervalo.

$(- \infty, \infty)$

Etapa 12.3

Encontre o domínio de $\frac{5 + \sqrt{25 + 4 x}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.3.1

Defina o radicando em $\sqrt{25 + 4 x}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$25 + 4 x \geq 0$

Etapa 12.3.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.3.2.1

Subtraia $25$ dos dois lados da desigualdade.

$4 x \geq - 25$

Etapa 12.3.2.2

Divida cada termo em $4 x \geq - 25$ por $4$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.3.2.2.1

Divida cada termo em $4 x \geq - 25$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} \geq \frac{- 25}{4}$

Etapa 12.3.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.3.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.3.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 x}{4} \geq \frac{- 25}{4}$

Etapa 12.3.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x \geq \frac{- 25}{4}$

Etapa 12.3.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.3.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x \geq - \frac{25}{4}$

Etapa 12.3.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$[- \frac{25}{4}, \infty)$

Etapa 12.4

Como o domínio de $f^{- 1} (x) = x^{2} - 5 x$ é o intervalo de $f (x) = \frac{5 + \sqrt{25 + 4 x}}{2}, \frac{5 - \sqrt{25 + 4 x}}{2}$ , e o intervalo de $f^{- 1} (x) = x^{2} - 5 x$ é o domínio de $f (x) = \frac{5 + \sqrt{25 + 4 x}}{2}, \frac{5 - \sqrt{25 + 4 x}}{2}$ , então, $f^{- 1} (x) = x^{2} - 5 x$ é o inverso de $f (x) = \frac{5 + \sqrt{25 + 4 x}}{2}, \frac{5 - \sqrt{25 + 4 x}}{2}$ .

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 5 x$

Etapa 13