Álgebra Exemplos

$x^{4} - x^{3} - 15 x^{2} + 9 x + 54 = 0$

Etapa 1

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.1

Reagrupe os termos.

$- x^{3} + 9 x + x^{4} - 15 x^{2} + 54 = 0$

Etapa 1.2

Fatore $- x$ de $- x^{3} + 9 x$ .

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Etapa 1.2.1

Fatore $- x$ de $- x^{3}$ .

$- x \cdot x^{2} + 9 x + x^{4} - 15 x^{2} + 54 = 0$

Etapa 1.2.2

Fatore $- x$ de $9 x$ .

$- x \cdot x^{2} - x \cdot - 9 + x^{4} - 15 x^{2} + 54 = 0$

Etapa 1.2.3

Fatore $- x$ de $- x (x^{2}) - x (- 9)$ .

$- x (x^{2} - 9) + x^{4} - 15 x^{2} + 54 = 0$

Etapa 1.3

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$- x (x^{2} - 3^{2}) + x^{4} - 15 x^{2} + 54 = 0$

Etapa 1.4

Fatore.

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Etapa 1.4.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 3$ .

$- x ((x + 3) (x - 3)) + x^{4} - 15 x^{2} + 54 = 0$

Etapa 1.4.2

Remova os parênteses desnecessários.

$- x (x + 3) (x - 3) + x^{4} - 15 x^{2} + 54 = 0$

Etapa 1.5

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$- x (x + 3) (x - 3) + {(x^{2})}^{2} - 15 x^{2} + 54 = 0$

Etapa 1.6

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$- x (x + 3) (x - 3) + u^{2} - 15 u + 54 = 0$

Etapa 1.7

Fatore $u^{2} - 15 u + 54$ usando o método AC.

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Etapa 1.7.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $54$ e cuja soma é $- 15$ .

$- 9, - 6$

Etapa 1.7.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$- x (x + 3) (x - 3) + (u - 9) (u - 6) = 0$

Etapa 1.8

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$- x (x + 3) (x - 3) + (x^{2} - 9) (x^{2} - 6) = 0$

Etapa 1.9

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$- x (x + 3) (x - 3) + (x^{2} - 3^{2}) (x^{2} - 6) = 0$

Etapa 1.10

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 3$ .

$- x (x + 3) (x - 3) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 6) = 0$

Etapa 1.11

Fatore $(x + 3) (x - 3)$ de $- x (x + 3) (x - 3) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 6)$ .

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Etapa 1.11.1

Fatore $(x + 3) (x - 3)$ de $- x (x + 3) (x - 3)$ .

$(x + 3) (x - 3) (- x) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 6) = 0$

Etapa 1.11.2

Fatore $(x + 3) (x - 3)$ de $(x + 3) (x - 3) (- x) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 6)$ .

$(x + 3) (x - 3) (- x + x^{2} - 6) = 0$

Etapa 1.12

Deixe $u = x$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x$ .

$(x + 3) (x - 3) (- u + u^{2} - 6) = 0$

Etapa 1.13

Fatore $- u + u^{2} - 6$ usando o método AC.

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Etapa 1.13.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 6$ e cuja soma é $- 1$ .

$- 3, 2$

Etapa 1.13.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x + 3) (x - 3) ((u - 3) (u + 2)) = 0$

Etapa 1.14

Fatore.

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Etapa 1.14.1

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x$ .

$(x + 3) (x - 3) ((x - 3) (x + 2)) = 0$

Etapa 1.14.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x + 3) (x - 3) (x - 3) (x + 2) = 0$

Etapa 1.15

Combine expoentes.

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Etapa 1.15.1

Eleve $x - 3$ à potência de $1$ .

$(x + 3) ((x - 3) (x - 3)) (x + 2) = 0$

Etapa 1.15.2

Eleve $x - 3$ à potência de $1$ .

$(x + 3) ((x - 3) (x - 3)) (x + 2) = 0$

Etapa 1.15.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(x + 3) {(x - 3)}^{1 + 1} (x + 2) = 0$

Etapa 1.15.4

Some $1$ e $1$ .

$(x + 3) {(x - 3)}^{2} (x + 2) = 0$

Etapa 2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

${(x - 3)}^{2} = 0$

$x + 2 = 0$

Etapa 3

Defina $x + 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.1

Defina $x + 3$ como igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Etapa 3.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$x = - 3$

Etapa 4

Defina ${(x - 3)}^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.1

Defina ${(x - 3)}^{2}$ como igual a $0$ .

${(x - 3)}^{2} = 0$

Etapa 4.2

Resolva ${(x - 3)}^{2} = 0$ para $x$ .

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Etapa 4.2.1

Defina $x - 3$ como igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Etapa 4.2.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x = 3$

Etapa 5

Defina $x + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.1

Defina $x + 2$ como igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Etapa 5.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 6

A solução final são todos os valores que tornam $(x + 3) {(x - 3)}^{2} (x + 2) = 0$ verdadeiro.

$x = - 3, 3, - 2$

Etapa 7