Álgebra Exemplos

$x^{4} - x^{2} = x^{2} + 8$

Etapa 1

Mova todas as expressões para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.1

Subtraia $x^{2}$ dos dois lados da equação.

$x^{4} - x^{2} - x^{2} = 8$

Etapa 1.2

Subtraia $8$ dos dois lados da equação.

$x^{4} - x^{2} - x^{2} - 8 = 0$

Etapa 2

Subtraia $x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$x^{4} - 2 x^{2} - 8 = 0$

Etapa 3

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

${(x^{2})}^{2} - 2 x^{2} - 8 = 0$

Etapa 4

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$u^{2} - 2 u - 8 = 0$

Etapa 5

Fatore $u^{2} - 2 u - 8$ usando o método AC.

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Etapa 5.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 8$ e cuja soma é $- 2$ .

$- 4, 2$

Etapa 5.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(u - 4) (u + 2) = 0$

Etapa 6

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$(x^{2} - 4) (x^{2} + 2) = 0$

Etapa 7

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$(x^{2} - 2^{2}) (x^{2} + 2) = 0$

Etapa 8

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 2$ .

$(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2) = 0$

Etapa 9

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

$x^{2} + 2 = 0$

Etapa 10

Defina $x + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 10.1

Defina $x + 2$ como igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Etapa 10.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 11

Defina $x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 11.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 11.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 12

Defina $x^{2} + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 12.1

Defina $x^{2} + 2$ como igual a $0$ .

$x^{2} + 2 = 0$

Etapa 12.2

Resolva $x^{2} + 2 = 0$ para $x$ .

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Etapa 12.2.1

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x^{2} = - 2$

Etapa 12.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 2}$

Etapa 12.2.3

Simplifique $\pm \sqrt{- 2}$ .

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Etapa 12.2.3.1

Reescreva $- 2$ como $- 1 (2)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (2)}$

Etapa 12.2.3.2

Reescreva $\sqrt{- 1 (2)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$

Etapa 12.2.3.3

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \sqrt{2}$

Etapa 12.2.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 12.2.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = i \sqrt{2}$

Etapa 12.2.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - i \sqrt{2}$

Etapa 12.2.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

Etapa 13

A solução final são todos os valores que tornam $(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2) = 0$ verdadeiro.

$x = - 2, 2, i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$