Álgebra Exemplos

$f (x) = \frac{20}{1 + 9 e^{- 3 x}}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Como $20$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{20}{1 + 9 e^{- 3 x}}$ em relação a $x$ é $20 \frac{d}{d x} [\frac{1}{1 + 9 e^{- 3 x}}]$ .

$20 \frac{d}{d x} [\frac{1}{1 + 9 e^{- 3 x}}]$

Etapa 1.1.2

Reescreva $\frac{1}{1 + 9 e^{- 3 x}}$ como ${(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 1}$ .

$20 \frac{d}{d x} [{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 1}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = 1 + 9 e^{- 3 x}$ .

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Etapa 1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $1 + 9 e^{- 3 x}$ .

$20 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [1 + 9 e^{- 3 x}])$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$20 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + 9 e^{- 3 x}])$

Etapa 1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $1 + 9 e^{- 3 x}$ .

$20 (- {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + 9 e^{- 3 x}])$

Etapa 1.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Multiplique $- 1$ por $20$ .

$- 20 ({(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + 9 e^{- 3 x}])$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + 9 e^{- 3 x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [9 e^{- 3 x}]$ .

$- 20 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [9 e^{- 3 x}])$

Etapa 1.3.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 20 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [9 e^{- 3 x}])$

Etapa 1.3.4

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [9 e^{- 3 x}]$ .

$- 20 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [9 e^{- 3 x}]$

Etapa 1.3.5

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9 e^{- 3 x}$ em relação a $x$ é $9 \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$ .

$- 20 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} (9 \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}])$

Etapa 1.3.6

Multiplique $9$ por $- 20$ .

$- 180 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$

Etapa 1.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - 3 x$ .

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Etapa 1.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $- 3 x$ .

$- 180 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- 3 x])$

Etapa 1.4.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ é $a^{u_{2}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$- 180 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- 3 x])$

Etapa 1.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $- 3 x$ .

$- 180 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} (e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [- 3 x])$

Etapa 1.5

Diferencie.

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Etapa 1.5.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 180 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} (e^{- 3 x} (- 3 \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 1.5.2

Multiplique $- 3$ por $- 180$ .

$540 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} (e^{- 3 x} (\frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 1.5.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$540 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} (e^{- 3 x} \cdot 1)$

Etapa 1.5.4

Multiplique $e^{- 3 x}$ por $1$ .

$540 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} e^{- 3 x}$

Etapa 1.6

Simplifique.

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Etapa 1.6.1

Reordene os fatores de $540 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} e^{- 3 x}$ .

$540 e^{- 3 x} {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2}$

Etapa 1.6.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$540 e^{- 3 x} \frac{1}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}}$

Etapa 1.6.3

Multiplique $540 e^{- 3 x} \frac{1}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}}$ .

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Etapa 1.6.3.1

Combine $\frac{1}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}}$ e $540$ .

$\frac{540}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}} e^{- 3 x}$

Etapa 1.6.3.2

Combine $\frac{540}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}}$ e $e^{- 3 x}$ .

$\frac{540 e^{- 3 x}}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

Como $540$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{540 e^{- 3 x}}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}}$ em relação a $x$ é $540 \frac{d}{d x} [\frac{e^{- 3 x}}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}}]$ .

$f'' (x) = 540 \frac{d}{d x} (\frac{e^{- 3 x}}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}})$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = e^{- 3 x}$ e $g (x) = {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}$ .

$f'' (x) = 540 (\frac{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2} \frac{d}{d x} (e^{- 3 x}) - e^{- 3 x} \frac{d}{d x} {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}}{{({(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2})}^{2}})$

Etapa 2.3

Multiplique os expoentes em ${({(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2})}^{2}$ .

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Etapa 2.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 540 (\frac{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2} \frac{d}{d x} (e^{- 3 x}) - e^{- 3 x} \frac{d}{d x} {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2 \cdot 2}})$

Etapa 2.3.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$f'' (x) = 540 (\frac{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2} \frac{d}{d x} (e^{- 3 x}) - e^{- 3 x} \frac{d}{d x} {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}})$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - 3 x$ .

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Etapa 2.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $- 3 x$ .

$f'' (x) = 540 (\frac{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2} (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (- 3 x)) - e^{- 3 x} \frac{d}{d x} {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}})$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 540 (\frac{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (- 3 x)) - e^{- 3 x} \frac{d}{d x} {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}})$

Etapa 2.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $- 3 x$ .

$f'' (x) = 540 (\frac{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2} (e^{- 3 x} \frac{d}{d x} (- 3 x)) - e^{- 3 x} \frac{d}{d x} {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}})$

Etapa 2.5

Diferencie.

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Etapa 2.5.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 540 (\frac{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2} e^{- 3 x} (- 3 \frac{d}{d x} x) - e^{- 3 x} \frac{d}{d x} {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}})$

Etapa 2.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 540 (\frac{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2} e^{- 3 x} (- 3 \cdot 1) - e^{- 3 x} \frac{d}{d x} {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}})$

Etapa 2.5.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.5.3.1

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$f'' (x) = 540 (\frac{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2} e^{- 3 x} \cdot - 3 - e^{- 3 x} \frac{d}{d x} {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}})$

Etapa 2.5.3.2

Mova $- 3$ para a esquerda de ${(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2} e^{- 3 x}$ .

$f'' (x) = 540 (\frac{- 3 \cdot ({(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2} e^{- 3 x}) - e^{- 3 x} \frac{d}{d x} {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}})$

Etapa 2.6

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = 1 + 9 e^{- 3 x}$ .

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Etapa 2.6.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $1 + 9 e^{- 3 x}$ .

$f'' (x) = 540 (\frac{- 3 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2} e^{- 3 x} - e^{- 3 x} (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{2}) \frac{d}{d x} (1 + 9 e^{- 3 x}))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}})$

Etapa 2.6.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 540 (\frac{- 3 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2} e^{- 3 x} - e^{- 3 x} (2 u_{2} \frac{d}{d x} (1 + 9 e^{- 3 x}))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}})$

Etapa 2.6.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $1 + 9 e^{- 3 x}$ .

$f'' (x) = 540 (\frac{- 3 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2} e^{- 3 x} - e^{- 3 x} (2 (1 + 9 e^{- 3 x}) \frac{d}{d x} (1 + 9 e^{- 3 x}))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}})$

Etapa 2.7

Diferencie.

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Etapa 2.7.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 540 (\frac{- 3 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2} e^{- 3 x} - 2 e^{- 3 x} ((1 + 9 e^{- 3 x}) \frac{d}{d x} (1 + 9 e^{- 3 x}))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}})$

Etapa 2.7.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + 9 e^{- 3 x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [9 e^{- 3 x}]$ .

$f'' (x) = 540 (\frac{- 3 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2} e^{- 3 x} - 2 e^{- 3 x} ((1 + 9 e^{- 3 x}) (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (9 e^{- 3 x})))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}})$

Etapa 2.7.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 540 (\frac{- 3 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2} e^{- 3 x} - 2 e^{- 3 x} ((1 + 9 e^{- 3 x}) (0 + \frac{d}{d x} (9 e^{- 3 x})))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}})$

Etapa 2.7.4

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [9 e^{- 3 x}]$ .

$f'' (x) = 540 (\frac{- 3 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2} e^{- 3 x} - 2 e^{- 3 x} ((1 + 9 e^{- 3 x}) \frac{d}{d x} (9 e^{- 3 x}))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}})$

Etapa 2.7.5

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9 e^{- 3 x}$ em relação a $x$ é $9 \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$ .

$f'' (x) = 540 (\frac{- 3 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2} e^{- 3 x} - 2 e^{- 3 x} ((1 + 9 e^{- 3 x}) (9 \frac{d}{d x} (e^{- 3 x})))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}})$

Etapa 2.7.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.7.6.1

Mova $9$ para a esquerda de $1 + 9 e^{- 3 x}$ .

$f'' (x) = 540 (\frac{- 3 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2} e^{- 3 x} - 2 e^{- 3 x} (9 \cdot (1 + 9 e^{- 3 x}) \frac{d}{d x} (e^{- 3 x}))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}})$

Etapa 2.7.6.2

Multiplique $9$ por $- 2$ .

$f'' (x) = 540 (\frac{- 3 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2} e^{- 3 x} - 18 e^{- 3 x} ((1 + 9 e^{- 3 x}) \frac{d}{d x} (e^{- 3 x}))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}})$

Etapa 2.8

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - 3 x$ .

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Etapa 2.8.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{3}$ como $- 3 x$ .

$f'' (x) = 540 (\frac{- 3 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2} e^{- 3 x} - 18 e^{- 3 x} ((1 + 9 e^{- 3 x}) (\frac{d}{d u (3)} (e^{u_{3}}) \frac{d}{d x} (- 3 x)))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}})$

Etapa 2.8.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ é $a^{u_{3}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 540 (\frac{- 3 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2} e^{- 3 x} - 18 e^{- 3 x} ((1 + 9 e^{- 3 x}) (e^{u_{3}} \frac{d}{d x} (- 3 x)))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}})$

Etapa 2.8.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{3}$ por $- 3 x$ .

$f'' (x) = 540 (\frac{- 3 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2} e^{- 3 x} - 18 e^{- 3 x} ((1 + 9 e^{- 3 x}) (e^{- 3 x} \frac{d}{d x} (- 3 x)))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}})$

Etapa 2.9

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = 540 (\frac{- 3 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2} e^{- 3 x} - 18 e^{- 3 x - 3 x} ((1 + 9 e^{- 3 x}) \frac{d}{d x} (- 3 x))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}})$

Etapa 2.10

Subtraia $3 x$ de $- 3 x$ .

$f'' (x) = 540 (\frac{- 3 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2} e^{- 3 x} - 18 e^{- 6 x} ((1 + 9 e^{- 3 x}) \frac{d}{d x} (- 3 x))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}})$

Etapa 2.11

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 540 (\frac{- 3 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2} e^{- 3 x} - 18 e^{- 6 x} ((1 + 9 e^{- 3 x}) (- 3 \frac{d}{d x} x))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}})$

Etapa 2.12

Multiplique $- 3$ por $- 18$ .

$f'' (x) = 540 (\frac{- 3 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2} e^{- 3 x} + 54 e^{- 6 x} ((1 + 9 e^{- 3 x}) (\frac{d}{d x} (x)))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}})$

Etapa 2.13

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 540 (\frac{- 3 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2} e^{- 3 x} + 54 e^{- 6 x} ((1 + 9 e^{- 3 x}) \cdot 1)}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}})$

Etapa 2.14

Combine frações.

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Etapa 2.14.1

Multiplique $1 + 9 e^{- 3 x}$ por $1$ .

$f'' (x) = 540 (\frac{- 3 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2} e^{- 3 x} + 54 e^{- 6 x} (1 + 9 e^{- 3 x})}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}})$

Etapa 2.14.2

Combine $540$ e $\frac{- 3 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2} e^{- 3 x} + 54 e^{- 6 x} (1 + 9 e^{- 3 x})}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}}$ .

$f'' (x) = \frac{540 (- 3 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2} e^{- 3 x} + 54 e^{- 6 x} (1 + 9 e^{- 3 x}))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}}$

Etapa 2.15

Simplifique.

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Etapa 2.15.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{540 (- 3 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2} e^{- 3 x} + 54 e^{- 6 x} \cdot 1 + 54 e^{- 6 x} (9 e^{- 3 x}))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}}$

Etapa 2.15.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{540 (- 3 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2} e^{- 3 x}) + 540 (54 e^{- 6 x} \cdot 1) + 540 (54 e^{- 6 x} (9 e^{- 3 x}))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}}$

Etapa 2.15.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.15.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.15.3.1.1

Reescreva ${(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}$ como $(1 + 9 e^{- 3 x}) (1 + 9 e^{- 3 x})$ .

$f'' (x) = \frac{540 (- 3 ((1 + 9 e^{- 3 x}) (1 + 9 e^{- 3 x})) e^{- 3 x}) + 540 (54 e^{- 6 x} \cdot 1) + 540 (54 e^{- 6 x} (9 e^{- 3 x}))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}}$

Etapa 2.15.3.1.2

Expanda $(1 + 9 e^{- 3 x}) (1 + 9 e^{- 3 x})$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.15.3.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{540 (- 3 (1 (1 + 9 e^{- 3 x}) + 9 e^{- 3 x} (1 + 9 e^{- 3 x})) e^{- 3 x}) + 540 (54 e^{- 6 x} \cdot 1) + 540 (54 e^{- 6 x} (9 e^{- 3 x}))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}}$

Etapa 2.15.3.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{540 (- 3 (1 \cdot 1 + 1 (9 e^{- 3 x}) + 9 e^{- 3 x} (1 + 9 e^{- 3 x})) e^{- 3 x}) + 540 (54 e^{- 6 x} \cdot 1) + 540 (54 e^{- 6 x} (9 e^{- 3 x}))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}}$

Etapa 2.15.3.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{540 (- 3 (1 \cdot 1 + 1 (9 e^{- 3 x}) + 9 e^{- 3 x} \cdot 1 + 9 e^{- 3 x} (9 e^{- 3 x})) e^{- 3 x}) + 540 (54 e^{- 6 x} \cdot 1) + 540 (54 e^{- 6 x} (9 e^{- 3 x}))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}}$

Etapa 2.15.3.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.15.3.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.15.3.1.3.1.1

Multiplique $1$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{540 (- 3 (1 + 1 (9 e^{- 3 x}) + 9 e^{- 3 x} \cdot 1 + 9 e^{- 3 x} (9 e^{- 3 x})) e^{- 3 x}) + 540 (54 e^{- 6 x} \cdot 1) + 540 (54 e^{- 6 x} (9 e^{- 3 x}))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}}$

Etapa 2.15.3.1.3.1.2

Multiplique $9 e^{- 3 x}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{540 (- 3 (1 + 9 e^{- 3 x} + 9 e^{- 3 x} \cdot 1 + 9 e^{- 3 x} (9 e^{- 3 x})) e^{- 3 x}) + 540 (54 e^{- 6 x} \cdot 1) + 540 (54 e^{- 6 x} (9 e^{- 3 x}))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}}$

Etapa 2.15.3.1.3.1.3

Multiplique $9$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{540 (- 3 (1 + 9 e^{- 3 x} + 9 e^{- 3 x} + 9 e^{- 3 x} (9 e^{- 3 x})) e^{- 3 x}) + 540 (54 e^{- 6 x} \cdot 1) + 540 (54 e^{- 6 x} (9 e^{- 3 x}))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}}$

Etapa 2.15.3.1.3.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f'' (x) = \frac{540 (- 3 (1 + 9 e^{- 3 x} + 9 e^{- 3 x} + 9 \cdot (9 e^{- 3 x} e^{- 3 x})) e^{- 3 x}) + 540 (54 e^{- 6 x} \cdot 1) + 540 (54 e^{- 6 x} (9 e^{- 3 x}))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}}$

Etapa 2.15.3.1.3.1.5

Multiplique $e^{- 3 x}$ por $e^{- 3 x}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.15.3.1.3.1.5.1

Mova $e^{- 3 x}$ .

$f'' (x) = \frac{540 (- 3 (1 + 9 e^{- 3 x} + 9 e^{- 3 x} + 9 \cdot (9 (e^{- 3 x} e^{- 3 x}))) e^{- 3 x}) + 540 (54 e^{- 6 x} \cdot 1) + 540 (54 e^{- 6 x} (9 e^{- 3 x}))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}}$

Etapa 2.15.3.1.3.1.5.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{540 (- 3 (1 + 9 e^{- 3 x} + 9 e^{- 3 x} + 9 \cdot (9 e^{- 3 x - 3 x})) e^{- 3 x}) + 540 (54 e^{- 6 x} \cdot 1) + 540 (54 e^{- 6 x} (9 e^{- 3 x}))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}}$

Etapa 2.15.3.1.3.1.5.3

Subtraia $3 x$ de $- 3 x$ .

$f'' (x) = \frac{540 (- 3 (1 + 9 e^{- 3 x} + 9 e^{- 3 x} + 9 \cdot (9 e^{- 6 x})) e^{- 3 x}) + 540 (54 e^{- 6 x} \cdot 1) + 540 (54 e^{- 6 x} (9 e^{- 3 x}))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}}$

Etapa 2.15.3.1.3.1.6

Multiplique $9$ por $9$ .

$f'' (x) = \frac{540 (- 3 (1 + 9 e^{- 3 x} + 9 e^{- 3 x} + 81 e^{- 6 x}) e^{- 3 x}) + 540 (54 e^{- 6 x} \cdot 1) + 540 (54 e^{- 6 x} (9 e^{- 3 x}))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}}$

Etapa 2.15.3.1.3.2

Some $9 e^{- 3 x}$ e $9 e^{- 3 x}$ .

$f'' (x) = \frac{540 (- 3 (1 + 18 e^{- 3 x} + 81 e^{- 6 x}) e^{- 3 x}) + 540 (54 e^{- 6 x} \cdot 1) + 540 (54 e^{- 6 x} (9 e^{- 3 x}))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}}$

Etapa 2.15.3.1.4

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{540 ((- 3 \cdot 1 - 3 (18 e^{- 3 x}) - 3 (81 e^{- 6 x})) e^{- 3 x}) + 540 (54 e^{- 6 x} \cdot 1) + 540 (54 e^{- 6 x} (9 e^{- 3 x}))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}}$

Etapa 2.15.3.1.5

Simplifique.

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Etapa 2.15.3.1.5.1

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{540 ((- 3 - 3 (18 e^{- 3 x}) - 3 (81 e^{- 6 x})) e^{- 3 x}) + 540 (54 e^{- 6 x} \cdot 1) + 540 (54 e^{- 6 x} (9 e^{- 3 x}))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}}$

Etapa 2.15.3.1.5.2

Multiplique $18$ por $- 3$ .

$f'' (x) = \frac{540 ((- 3 - 54 e^{- 3 x} - 3 (81 e^{- 6 x})) e^{- 3 x}) + 540 (54 e^{- 6 x} \cdot 1) + 540 (54 e^{- 6 x} (9 e^{- 3 x}))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}}$

Etapa 2.15.3.1.5.3

Multiplique $81$ por $- 3$ .

$f'' (x) = \frac{540 ((- 3 - 54 e^{- 3 x} - 243 e^{- 6 x}) e^{- 3 x}) + 540 (54 e^{- 6 x} \cdot 1) + 540 (54 e^{- 6 x} (9 e^{- 3 x}))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}}$

Etapa 2.15.3.1.6

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{540 (- 3 e^{- 3 x} - 54 e^{- 3 x} e^{- 3 x} - 243 e^{- 6 x} e^{- 3 x}) + 540 (54 e^{- 6 x} \cdot 1) + 540 (54 e^{- 6 x} (9 e^{- 3 x}))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}}$

Etapa 2.15.3.1.7

Simplifique.

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Etapa 2.15.3.1.7.1

Multiplique $e^{- 3 x}$ por $e^{- 3 x}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.15.3.1.7.1.1

Mova $e^{- 3 x}$ .

$f'' (x) = \frac{540 (- 3 e^{- 3 x} - 54 (e^{- 3 x} e^{- 3 x}) - 243 e^{- 6 x} e^{- 3 x}) + 540 (54 e^{- 6 x} \cdot 1) + 540 (54 e^{- 6 x} (9 e^{- 3 x}))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}}$

Etapa 2.15.3.1.7.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{540 (- 3 e^{- 3 x} - 54 e^{- 3 x - 3 x} - 243 e^{- 6 x} e^{- 3 x}) + 540 (54 e^{- 6 x} \cdot 1) + 540 (54 e^{- 6 x} (9 e^{- 3 x}))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}}$

Etapa 2.15.3.1.7.1.3

Subtraia $3 x$ de $- 3 x$ .

$f'' (x) = \frac{540 (- 3 e^{- 3 x} - 54 e^{- 6 x} - 243 e^{- 6 x} e^{- 3 x}) + 540 (54 e^{- 6 x} \cdot 1) + 540 (54 e^{- 6 x} (9 e^{- 3 x}))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}}$

Etapa 2.15.3.1.7.2

Multiplique $e^{- 6 x}$ por $e^{- 3 x}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.15.3.1.7.2.1

Mova $e^{- 3 x}$ .

$f'' (x) = \frac{540 (- 3 e^{- 3 x} - 54 e^{- 6 x} - 243 (e^{- 3 x} e^{- 6 x})) + 540 (54 e^{- 6 x} \cdot 1) + 540 (54 e^{- 6 x} (9 e^{- 3 x}))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}}$

Etapa 2.15.3.1.7.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{540 (- 3 e^{- 3 x} - 54 e^{- 6 x} - 243 e^{- 3 x - 6 x}) + 540 (54 e^{- 6 x} \cdot 1) + 540 (54 e^{- 6 x} (9 e^{- 3 x}))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}}$

Etapa 2.15.3.1.7.2.3

Subtraia $6 x$ de $- 3 x$ .

$f'' (x) = \frac{540 (- 3 e^{- 3 x} - 54 e^{- 6 x} - 243 e^{- 9 x}) + 540 (54 e^{- 6 x} \cdot 1) + 540 (54 e^{- 6 x} (9 e^{- 3 x}))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}}$

Etapa 2.15.3.1.8

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{540 (- 3 e^{- 3 x}) + 540 (- 54 e^{- 6 x}) + 540 (- 243 e^{- 9 x}) + 540 (54 e^{- 6 x} \cdot 1) + 540 (54 e^{- 6 x} (9 e^{- 3 x}))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}}$

Etapa 2.15.3.1.9

Simplifique.

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Etapa 2.15.3.1.9.1

Multiplique $- 3$ por $540$ .

$f'' (x) = \frac{- 1620 e^{- 3 x} + 540 (- 54 e^{- 6 x}) + 540 (- 243 e^{- 9 x}) + 540 (54 e^{- 6 x} \cdot 1) + 540 (54 e^{- 6 x} (9 e^{- 3 x}))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}}$

Etapa 2.15.3.1.9.2

Multiplique $- 54$ por $540$ .

$f'' (x) = \frac{- 1620 e^{- 3 x} - 29160 e^{- 6 x} + 540 (- 243 e^{- 9 x}) + 540 (54 e^{- 6 x} \cdot 1) + 540 (54 e^{- 6 x} (9 e^{- 3 x}))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}}$

Etapa 2.15.3.1.9.3

Multiplique $- 243$ por $540$ .

$f'' (x) = \frac{- 1620 e^{- 3 x} - 29160 e^{- 6 x} - 131220 e^{- 9 x} + 540 (54 e^{- 6 x} \cdot 1) + 540 (54 e^{- 6 x} (9 e^{- 3 x}))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}}$

Etapa 2.15.3.1.10

Multiplique $54$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 1620 e^{- 3 x} - 29160 e^{- 6 x} - 131220 e^{- 9 x} + 540 (54 e^{- 6 x}) + 540 (54 e^{- 6 x} (9 e^{- 3 x}))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}}$

Etapa 2.15.3.1.11

Multiplique $54$ por $540$ .

$f'' (x) = \frac{- 1620 e^{- 3 x} - 29160 e^{- 6 x} - 131220 e^{- 9 x} + 29160 e^{- 6 x} + 540 (54 e^{- 6 x} (9 e^{- 3 x}))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}}$

Etapa 2.15.3.1.12

Multiplique $e^{- 6 x}$ por $e^{- 3 x}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.15.3.1.12.1

Mova $e^{- 3 x}$ .

$f'' (x) = \frac{- 1620 e^{- 3 x} - 29160 e^{- 6 x} - 131220 e^{- 9 x} + 29160 e^{- 6 x} + 540 (54 (e^{- 3 x} e^{- 6 x}) \cdot 9)}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}}$

Etapa 2.15.3.1.12.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{- 1620 e^{- 3 x} - 29160 e^{- 6 x} - 131220 e^{- 9 x} + 29160 e^{- 6 x} + 540 (54 e^{- 3 x - 6 x} \cdot 9)}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}}$

Etapa 2.15.3.1.12.3

Subtraia $6 x$ de $- 3 x$ .

$f'' (x) = \frac{- 1620 e^{- 3 x} - 29160 e^{- 6 x} - 131220 e^{- 9 x} + 29160 e^{- 6 x} + 540 (54 e^{- 9 x} \cdot 9)}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}}$

Etapa 2.15.3.1.13

Multiplique $9$ por $54$ .

$f'' (x) = \frac{- 1620 e^{- 3 x} - 29160 e^{- 6 x} - 131220 e^{- 9 x} + 29160 e^{- 6 x} + 540 (486 e^{- 9 x})}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}}$

Etapa 2.15.3.1.14

Multiplique $486$ por $540$ .

$f'' (x) = \frac{- 1620 e^{- 3 x} - 29160 e^{- 6 x} - 131220 e^{- 9 x} + 29160 e^{- 6 x} + 262440 e^{- 9 x}}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}}$

Etapa 2.15.3.2

Combine os termos opostos em $- 1620 e^{- 3 x} - 29160 e^{- 6 x} - 131220 e^{- 9 x} + 29160 e^{- 6 x} + 262440 e^{- 9 x}$ .

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Etapa 2.15.3.2.1

Some $- 29160 e^{- 6 x}$ e $29160 e^{- 6 x}$ .

$f'' (x) = \frac{- 1620 e^{- 3 x} + 0 - 131220 e^{- 9 x} + 262440 e^{- 9 x}}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}}$

Etapa 2.15.3.2.2

Some $- 1620 e^{- 3 x}$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 1620 e^{- 3 x} - 131220 e^{- 9 x} + 262440 e^{- 9 x}}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}}$

Etapa 2.15.3.3

Some $- 131220 e^{- 9 x}$ e $262440 e^{- 9 x}$ .

$f'' (x) = \frac{- 1620 e^{- 3 x} + 131220 e^{- 9 x}}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}}$

Etapa 2.15.4

Reordene os termos.

$f'' (x) = \frac{131220 e^{- 9 x} - 1620 e^{- 3 x}}{{(9 e^{- 3 x} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.15.5

Fatore $1620$ de $131220 e^{- 9 x} - 1620 e^{- 3 x}$ .

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Etapa 2.15.5.1

Fatore $1620$ de $131220 e^{- 9 x}$ .

$f'' (x) = \frac{1620 (81 e^{- 9 x}) - 1620 e^{- 3 x}}{{(9 e^{- 3 x} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.15.5.2

Fatore $1620$ de $- 1620 e^{- 3 x}$ .

$f'' (x) = \frac{1620 (81 e^{- 9 x}) + 1620 (- e^{- 3 x})}{{(9 e^{- 3 x} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.15.5.3

Fatore $1620$ de $1620 (81 e^{- 9 x}) + 1620 (- e^{- 3 x})$ .

$f'' (x) = \frac{1620 (81 e^{- 9 x} - e^{- 3 x})}{{(9 e^{- 3 x} + 1)}^{4}}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$\frac{540 e^{- 3 x}}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}} = 0$

Etapa 4

Visto que não há um valor de $x$ que torne a primeira derivada igual a $0$ , não há extremos locais.

Nenhum extremo local

Etapa 5

Nenhum extremo local

Etapa 6