Álgebra Exemplos

$f (x) = \frac{1}{x^{4}} - 7$

Etapa 1

Escreva $f (x) = \frac{1}{x^{4}} - 7$ como uma equação.

$y = \frac{1}{x^{4}} - 7$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = \frac{1}{y^{4}} - 7$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Reescreva a equação como $\frac{1}{y^{4}} - 7 = x$ .

$\frac{1}{y^{4}} - 7 = x$

Etapa 3.2

Some $7$ aos dois lados da equação.

$\frac{1}{y^{4}} = x + 7$

Etapa 3.3

Encontre o MMC dos termos na equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$y^{4}, 1, 1$

Etapa 3.3.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$y^{4}$

Etapa 3.4

Multiplique cada termo em $\frac{1}{y^{4}} = x + 7$ por $y^{4}$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Multiplique cada termo em $\frac{1}{y^{4}} = x + 7$ por $y^{4}$ .

$\frac{1}{y^{4}} y^{4} = x y^{4} + 7 y^{4}$

Etapa 3.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1

Cancele o fator comum de $y^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{y^{4}} y^{4} = x y^{4} + 7 y^{4}$

Etapa 3.4.2.1.2

Reescreva a expressão.

$1 = x y^{4} + 7 y^{4}$

Etapa 3.5

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Reescreva a equação como $x y^{4} + 7 y^{4} = 1$ .

$x y^{4} + 7 y^{4} = 1$

Etapa 3.5.2

Fatore $y^{4}$ de $x y^{4} + 7 y^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.1

Fatore $y^{4}$ de $x y^{4}$ .

$y^{4} x + 7 y^{4} = 1$

Etapa 3.5.2.2

Fatore $y^{4}$ de $7 y^{4}$ .

$y^{4} x + y^{4} \cdot 7 = 1$

Etapa 3.5.2.3

Fatore $y^{4}$ de $y^{4} x + y^{4} \cdot 7$ .

$y^{4} (x + 7) = 1$

Etapa 3.5.3

Divida cada termo em $y^{4} (x + 7) = 1$ por $x + 7$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.1

Divida cada termo em $y^{4} (x + 7) = 1$ por $x + 7$ .

$\frac{y^{4} (x + 7)}{x + 7} = \frac{1}{x + 7}$

Etapa 3.5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.2.1

Cancele o fator comum de $x + 7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y^{4} (x + 7)}{x + 7} = \frac{1}{x + 7}$

Etapa 3.5.3.2.1.2

Divida $y^{4}$ por $1$ .

$y^{4} = \frac{1}{x + 7}$

Etapa 3.5.4

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y = \pm \sqrt[4]{\frac{1}{x + 7}}$

Etapa 3.5.5

Simplifique $\pm \sqrt[4]{\frac{1}{x + 7}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.5.1

Reescreva $\sqrt[4]{\frac{1}{x + 7}}$ como $\frac{\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{x + 7}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{x + 7}}$

Etapa 3.5.5.2

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$y = \pm \frac{1}{\sqrt[4]{x + 7}}$

Etapa 3.5.5.3

Multiplique $\frac{1}{\sqrt[4]{x + 7}}$ por $\frac{{\sqrt[4]{x + 7}}^{3}}{{\sqrt[4]{x + 7}}^{3}}$ .

$y = \pm \frac{1}{\sqrt[4]{x + 7}} \cdot \frac{{\sqrt[4]{x + 7}}^{3}}{{\sqrt[4]{x + 7}}^{3}}$

Etapa 3.5.5.4

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 3.5.5.4.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt[4]{x + 7}}$ por $\frac{{\sqrt[4]{x + 7}}^{3}}{{\sqrt[4]{x + 7}}^{3}}$ .

$y = \pm \frac{{\sqrt[4]{x + 7}}^{3}}{\sqrt[4]{x + 7} {\sqrt[4]{x + 7}}^{3}}$

Etapa 3.5.5.4.2

Eleve $\sqrt[4]{x + 7}$ à potência de $1$ .

$y = \pm \frac{{\sqrt[4]{x + 7}}^{3}}{{\sqrt[4]{x + 7}}^{1} {\sqrt[4]{x + 7}}^{3}}$

Etapa 3.5.5.4.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y = \pm \frac{{\sqrt[4]{x + 7}}^{3}}{{\sqrt[4]{x + 7}}^{1 + 3}}$

Etapa 3.5.5.4.4

Some $1$ e $3$ .

$y = \pm \frac{{\sqrt[4]{x + 7}}^{3}}{{\sqrt[4]{x + 7}}^{4}}$

Etapa 3.5.5.4.5

Reescreva ${\sqrt[4]{x + 7}}^{4}$ como $x + 7$ .

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Etapa 3.5.5.4.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[4]{x + 7}$ como ${(x + 7)}^{\frac{1}{4}}$ .

$y = \pm \frac{{\sqrt[4]{x + 7}}^{3}}{{({(x + 7)}^{\frac{1}{4}})}^{4}}$

Etapa 3.5.5.4.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{{\sqrt[4]{x + 7}}^{3}}{{(x + 7)}^{\frac{1}{4} \cdot 4}}$

Etapa 3.5.5.4.5.3

Combine $\frac{1}{4}$ e $4$ .

$y = \pm \frac{{\sqrt[4]{x + 7}}^{3}}{{(x + 7)}^{\frac{4}{4}}}$

Etapa 3.5.5.4.5.4

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 3.5.5.4.5.4.1

Cancele o fator comum.

$y = \pm \frac{{\sqrt[4]{x + 7}}^{3}}{{(x + 7)}^{\frac{4}{4}}}$

Etapa 3.5.5.4.5.4.2

Reescreva a expressão.

$y = \pm \frac{{\sqrt[4]{x + 7}}^{3}}{{(x + 7)}^{1}}$

Etapa 3.5.5.4.5.5

Simplifique.

$y = \pm \frac{{\sqrt[4]{x + 7}}^{3}}{x + 7}$

Etapa 3.5.5.5

Reescreva ${\sqrt[4]{x + 7}}^{3}$ como $\sqrt[4]{{(x + 7)}^{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{{(x + 7)}^{3}}}{x + 7}$

Etapa 3.5.6

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 3.5.6.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y = \frac{\sqrt[4]{{(x + 7)}^{3}}}{x + 7}$

Etapa 3.5.6.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y = - \frac{\sqrt[4]{{(x + 7)}^{3}}}{x + 7}$

Etapa 3.5.6.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = \frac{\sqrt[4]{{(x + 7)}^{3}}}{x + 7}$

$y = - \frac{\sqrt[4]{{(x + 7)}^{3}}}{x + 7}$

$y = \frac{\sqrt[4]{{(x + 7)}^{3}}}{x + 7}$

$y = - \frac{\sqrt[4]{{(x + 7)}^{3}}}{x + 7}$

$y = \frac{\sqrt[4]{{(x + 7)}^{3}}}{x + 7}$

$y = - \frac{\sqrt[4]{{(x + 7)}^{3}}}{x + 7}$

$y = \frac{\sqrt[4]{{(x + 7)}^{3}}}{x + 7}$

$y = - \frac{\sqrt[4]{{(x + 7)}^{3}}}{x + 7}$

Etapa 4

Substitua $y$ por $f^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[4]{{(x + 7)}^{3}}}{x + 7}, - \frac{\sqrt[4]{{(x + 7)}^{3}}}{x + 7}$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[4]{{(x + 7)}^{3}}}{x + 7}, - \frac{\sqrt[4]{{(x + 7)}^{3}}}{x + 7}$ é o inverso de $f (x) = \frac{1}{x^{4}} - 7$ .

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Etapa 5.1

O domínio do inverso é o intervalo da função original e vice-versa. Encontre o domínio e o intervalo de $f (x) = \frac{1}{x^{4}} - 7$ e $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[4]{{(x + 7)}^{3}}}{x + 7}, - \frac{\sqrt[4]{{(x + 7)}^{3}}}{x + 7}$ e os compare.

Etapa 5.2

Encontre o intervalo de $f (x) = \frac{1}{x^{4}} - 7$ .

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Etapa 5.2.1

O intervalo é o conjunto de todos os valores $y$ válidos. Use o gráfico para encontrar o intervalo.

Notação de intervalo:

$(- 7, \infty)$

Etapa 5.3

Encontre o domínio de $\frac{\sqrt[4]{{(x + 7)}^{3}}}{x + 7}$ .

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Etapa 5.3.1

Defina o radicando em $\sqrt[4]{{(x + 7)}^{3}}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

${(x + 7)}^{3} \geq 0$

Etapa 5.3.2

Resolva $x$ .

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Etapa 5.3.2.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da desigualdade para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$\sqrt[3]{{(x + 7)}^{3}} \geq \sqrt[3]{0}$

Etapa 5.3.2.2

Simplifique a equação.

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Etapa 5.3.2.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.2.1.1

Elimine os termos abaixo do radical.

$x + 7 \geq \sqrt[3]{0}$

Etapa 5.3.2.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.2.2.2.1

Simplifique $\sqrt[3]{0}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.2.2.1.1

Reescreva $0$ como $0^{3}$ .

$x + 7 \geq \sqrt[3]{0^{3}}$

Etapa 5.3.2.2.2.1.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$x + 7 \geq 0$

Etapa 5.3.2.3

Subtraia $7$ dos dois lados da desigualdade.

$x \geq - 7$

Etapa 5.3.3

Defina o denominador em $\frac{\sqrt[4]{{(x + 7)}^{3}}}{x + 7}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x + 7 = 0$

Etapa 5.3.4

Subtraia $7$ dos dois lados da equação.

$x = - 7$

Etapa 5.3.5

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- 7, \infty)$

Etapa 5.4

Encontre o domínio de $f (x) = \frac{1}{x^{4}} - 7$ .

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Etapa 5.4.1

Defina o denominador em $\frac{1}{x^{4}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x^{4} = 0$

Etapa 5.4.2

Resolva $x$ .

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Etapa 5.4.2.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt[4]{0}$

Etapa 5.4.2.2

Simplifique $\pm \sqrt[4]{0}$ .

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Etapa 5.4.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{4}$ .

$x = \pm \sqrt[4]{0^{4}}$

Etapa 5.4.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Etapa 5.4.2.2.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 5.4.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Etapa 5.5

Encontre o intervalo do inverso.

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Etapa 5.5.1

Encontre o intervalo de $\frac{\sqrt[4]{{(x + 7)}^{3}}}{x + 7}$ .

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Etapa 5.5.1.1

O intervalo é o conjunto de todos os valores $y$ válidos. Use o gráfico para encontrar o intervalo.

Notação de intervalo:

$(1, \infty)$

Etapa 5.5.2

Encontre o intervalo de $- \frac{\sqrt[4]{{(x + 7)}^{3}}}{x + 7}$ .

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Etapa 5.5.2.1

O intervalo é o conjunto de todos os valores $y$ válidos. Use o gráfico para encontrar o intervalo.

Notação de intervalo:

$(- \infty, - 1)$

Etapa 5.5.3

Encontre a união de $(1, \infty), (- \infty, - 1)$ .

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Etapa 5.5.3.1

A união consiste em todos os elementos contidos em cada intervalo.

$(- \infty, - 1) \cup (1, \infty)$

Etapa 5.6

Como o intervalo de $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[4]{{(x + 7)}^{3}}}{x + 7}, - \frac{\sqrt[4]{{(x + 7)}^{3}}}{x + 7}$ não é igual ao domínio de $f (x) = \frac{1}{x^{4}} - 7$ , então, $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[4]{{(x + 7)}^{3}}}{x + 7}, - \frac{\sqrt[4]{{(x + 7)}^{3}}}{x + 7}$ não é um inverso de $f (x) = \frac{1}{x^{4}} - 7$ .

Não há inverso

Etapa 6