Álgebra Exemplos

$y = {(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 1

Alterne as variáveis.

$x = {(\frac{5^{y}}{2})}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 2

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Reescreva a equação como ${(\frac{5^{y}}{2})}^{\frac{1}{2}} = x$ .

${(\frac{5^{y}}{2})}^{\frac{1}{2}} = x$

Etapa 2.2

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln ({(\frac{5^{y}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \ln (x)$

Etapa 2.3

Expanda o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Expanda $\ln ({(\frac{5^{y}}{2})}^{\frac{1}{2}})$ movendo $\frac{1}{2}$ para fora do logaritmo.

$\frac{1}{2} \ln (\frac{5^{y}}{2}) = \ln (x)$

Etapa 2.3.2

Reescreva $\ln (\frac{5^{y}}{2})$ como $\ln (5^{y}) - \ln (2)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (5^{y}) - \ln (2)) = \ln (x)$

Etapa 2.3.3

Expanda $\ln (5^{y})$ movendo $y$ para fora do logaritmo.

$\frac{1}{2} (y \ln (5) - \ln (2)) = \ln (x)$

Etapa 2.4

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Simplifique $\frac{1}{2} (y \ln (5) - \ln (2))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{2} (y \ln (5)) + \frac{1}{2} (- \ln (2)) = \ln (x)$

Etapa 2.4.1.2

Multiplique $\frac{1}{2} (y \ln (5))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1.2.1

Combine $y$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{y}{2} \ln (5) + \frac{1}{2} (- \ln (2)) = \ln (x)$

Etapa 2.4.1.2.2

Combine $\frac{y}{2}$ e $\ln (5)$ .

$\frac{y \ln (5)}{2} + \frac{1}{2} (- \ln (2)) = \ln (x)$

Etapa 2.4.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $\ln (2)$ .

$\frac{y \ln (5)}{2} - \frac{\ln (2)}{2} = \ln (x)$

Etapa 2.5

Multiplique cada termo em $\frac{y \ln (5)}{2} - \frac{\ln (2)}{2} = \ln (x)$ por $2$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Multiplique cada termo em $\frac{y \ln (5)}{2} - \frac{\ln (2)}{2} = \ln (x)$ por $2$ .

$\frac{y \ln (5)}{2} \cdot 2 - \frac{\ln (2)}{2} \cdot 2 = \ln (x) \cdot 2$

Etapa 2.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y \ln (5)}{2} \cdot 2 - \frac{\ln (2)}{2} \cdot 2 = \ln (x) \cdot 2$

Etapa 2.5.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$y \ln (5) - \frac{\ln (2)}{2} \cdot 2 = \ln (x) \cdot 2$

Etapa 2.5.2.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.1.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\ln (2)}{2}$ para o numerador.

$y \ln (5) + \frac{- \ln (2)}{2} \cdot 2 = \ln (x) \cdot 2$

Etapa 2.5.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$y \ln (5) + \frac{- \ln (2)}{2} \cdot 2 = \ln (x) \cdot 2$

Etapa 2.5.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$y \ln (5) - \ln (2) = \ln (x) \cdot 2$

Etapa 2.5.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.3.1

Mova $2$ para a esquerda de $\ln (x)$ .

$y \ln (5) - \ln (2) = 2 \ln (x)$

Etapa 2.6

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$y \ln (5) - \ln (2) - 2 \ln (x) = 0$

Etapa 2.7

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.1

Some $\ln (2)$ aos dois lados da equação.

$y \ln (5) - 2 \ln (x) = \ln (2)$

Etapa 2.7.2

Some $2 \ln (x)$ aos dois lados da equação.

$y \ln (5) = \ln (2) + 2 \ln (x)$

Etapa 2.8

Divida cada termo em $y \ln (5) = \ln (2) + 2 \ln (x)$ por $\ln (5)$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.1

Divida cada termo em $y \ln (5) = \ln (2) + 2 \ln (x)$ por $\ln (5)$ .

$\frac{y \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}$

Etapa 2.8.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.2.1

Cancele o fator comum de $\ln (5)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}$

Etapa 2.8.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}$

Etapa 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}$

Etapa 4

Verifique se $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}$ é o inverso de $f (x) = {(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 4.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 4.2.2

Avalie $f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}})$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}})}{\ln (5)}$

Etapa 4.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (2) + 2 \ln ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}})}{\ln (5)}$

Etapa 4.2.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.4.1

Aplique a regra do produto a $\frac{5^{x}}{2}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (2) + 2 \ln (\frac{{(5^{x})}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}})}{\ln (5)}$

Etapa 4.2.4.2

Multiplique os expoentes em ${(5^{x})}^{\frac{1}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.4.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (2) + 2 \ln (\frac{5^{x (\frac{1}{2})}}{2^{\frac{1}{2}}})}{\ln (5)}$

Etapa 4.2.4.2.2

Combine $x$ e $\frac{1}{2}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (2) + 2 \ln (\frac{5^{\frac{x}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}})}{\ln (5)}$

Etapa 4.2.4.3

Simplifique $2 \ln (\frac{5^{\frac{x}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}})$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (2) + \ln ({(\frac{5^{\frac{x}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}})}^{2})}{\ln (5)}$

Etapa 4.2.4.4

Aplique a regra do produto a $\frac{5^{\frac{x}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (2) + \ln (\frac{{(5^{\frac{x}{2}})}^{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}{\ln (5)}$

Etapa 4.2.4.5

Multiplique os expoentes em ${(5^{\frac{x}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.4.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (2) + \ln (\frac{5^{\frac{x}{2} \cdot 2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}{\ln (5)}$

Etapa 4.2.4.5.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.4.5.2.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (2) + \ln (\frac{5^{\frac{x}{2} \cdot 2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}{\ln (5)}$

Etapa 4.2.4.5.2.2

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (2) + \ln (\frac{5^{x}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}{\ln (5)}$

Etapa 4.2.4.6

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.4.6.1

Multiplique os expoentes em ${(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.4.6.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (2) + \ln (\frac{5^{x}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}{\ln (5)}$

Etapa 4.2.4.6.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.4.6.1.2.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (2) + \ln (\frac{5^{x}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}{\ln (5)}$

Etapa 4.2.4.6.1.2.2

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (2) + \ln (\frac{5^{x}}{2})}{\ln (5)}$

Etapa 4.2.4.6.2

Avalie o expoente.

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (2) + \ln (\frac{5^{x}}{2})}{\ln (5)}$

Etapa 4.2.5

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (2 (\frac{5^{x}}{2}))}{\ln (5)}$

Etapa 4.2.6

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.6.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (2 (\frac{5^{x}}{2}))}{\ln (5)}$

Etapa 4.2.6.2

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (5^{x})}{\ln (5)}$

Etapa 4.2.7

Expanda $\ln (5^{x})$ movendo $x$ para fora do logaritmo.

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{x \ln (5)}{\ln (5)}$

Etapa 4.2.8

Cancele o fator comum de $\ln (5)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.8.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{x \ln (5)}{\ln (5)}$

Etapa 4.2.8.2

Divida $x$ por $1$ .

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = x$

Etapa 4.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 4.3.2

Avalie $f (\frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)})$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (\frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}) = {(\frac{5^{\frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}}}{2})}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 4.3.3

Simplifique $2 \ln (x)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$f (\frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}) = {(\frac{5^{\frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{\ln (x^{2})}{\ln (5)}}}{2})}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 4.3.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.4.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}) = {(\frac{5^{\frac{\ln (2) + \ln (x^{2})}{\ln (5)}}}{2})}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 4.3.4.2

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$f (\frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}) = {(\frac{5^{\frac{\ln (2 x^{2})}{\ln (5)}}}{2})}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 4.3.4.3

Use a regra da mudança de base $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (\frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}) = {(\frac{5^{\log_{5} (2 x^{2})}}{2})}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 4.3.4.4

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$f (\frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}) = {(\frac{2 x^{2}}{2})}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 4.3.5

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.5.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.5.1.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}) = {(\frac{2 x^{2}}{2})}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 4.3.5.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$f (\frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}) = {(x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 4.3.5.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.5.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}) = x^{2 (\frac{1}{2})}$

Etapa 4.3.5.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.5.2.2.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}) = x^{2 (\frac{1}{2})}$

Etapa 4.3.5.2.2.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}) = x$

Etapa 4.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}$ é o inverso de $f (x) = {(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}$