Álgebra Exemplos

$y = \log (\frac{x}{2})$

Etapa 1

Alterne as variáveis.

$x = \log (\frac{y}{2})$

Etapa 2

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Reescreva a equação como $\log (\frac{y}{2}) = x$ .

$\log (\frac{y}{2}) = x$

Etapa 2.2

Reescreva $\log (\frac{y}{2}) = x$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$10^{x} = \frac{y}{2}$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

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Etapa 2.3.1

Reescreva a equação como $\frac{y}{2} = 10^{x}$ .

$\frac{y}{2} = 10^{x}$

Etapa 2.3.2

Multiplique os dois lados da equação por $2$ .

$2 \frac{y}{2} = 2 \cdot 10^{x}$

Etapa 2.3.3

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.3.3.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.3.3.1.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{y}{2} = 2 \cdot 10^{x}$

Etapa 2.3.3.1.2

Reescreva a expressão.

$y = 2 \cdot 10^{x}$

Etapa 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = 2 \cdot 10^{x}$

Etapa 4

Verifique se $f^{- 1} (x) = 2 \cdot 10^{x}$ é o inverso de $f (x) = \log (\frac{x}{2})$ .

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Etapa 4.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 4.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

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Etapa 4.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 4.2.2

Avalie $f^{- 1} (\log (\frac{x}{2}))$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\log (\frac{x}{2})) = 2 \cdot 10^{\log (\frac{x}{2})}$

Etapa 4.2.3

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$f^{- 1} (\log (\frac{x}{2})) = 2 \cdot \frac{x}{2}$

Etapa 4.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.2.4.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\log (\frac{x}{2})) = 2 \cdot \frac{x}{2}$

Etapa 4.2.4.2

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (\log (\frac{x}{2})) = x$

Etapa 4.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

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Etapa 4.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 4.3.2

Avalie $f (2 \cdot 10^{x})$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (2 \cdot 10^{x}) = \log (\frac{2 \cdot 10^{x}}{2})$

Etapa 4.3.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.3.3.1

Cancele o fator comum.

$f (2 \cdot 10^{x}) = \log (\frac{2 \cdot 10^{x}}{2})$

Etapa 4.3.3.2

Divida $10^{x}$ por $1$ .

$f (2 \cdot 10^{x}) = \log (10^{x})$

Etapa 4.3.4

Use as regras logarítmicas para mover $x$ para fora do expoente.

$f (2 \cdot 10^{x}) = x \log (10)$

Etapa 4.3.5

A base do logaritmo $10$ de $10$ é $1$ .

$f (2 \cdot 10^{x}) = x \cdot 1$

Etapa 4.3.6

Multiplique $x$ por $1$ .

$f (2 \cdot 10^{x}) = x$

Etapa 4.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = 2 \cdot 10^{x}$ é o inverso de $f (x) = \log (\frac{x}{2})$ .

$f^{- 1} (x) = 2 \cdot 10^{x}$