Álgebra Exemplos

$x^{4} - 4 x^{3} + x^{2} + 12 x - 12 = 0$

Etapa 1

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.1

Reagrupe os termos.

$- 4 x^{3} + 12 x + x^{4} + x^{2} - 12 = 0$

Etapa 1.2

Fatore $- 4 x$ de $- 4 x^{3} + 12 x$ .

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Etapa 1.2.1

Fatore $- 4 x$ de $- 4 x^{3}$ .

$- 4 x \cdot x^{2} + 12 x + x^{4} + x^{2} - 12 = 0$

Etapa 1.2.2

Fatore $- 4 x$ de $12 x$ .

$- 4 x \cdot x^{2} - 4 x \cdot - 3 + x^{4} + x^{2} - 12 = 0$

Etapa 1.2.3

Fatore $- 4 x$ de $- 4 x (x^{2}) - 4 x (- 3)$ .

$- 4 x (x^{2} - 3) + x^{4} + x^{2} - 12 = 0$

Etapa 1.3

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 4 x (x^{2} - 3) + {(x^{2})}^{2} + x^{2} - 12 = 0$

Etapa 1.4

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$- 4 x (x^{2} - 3) + u^{2} + u - 12 = 0$

Etapa 1.5

Fatore $u^{2} + u - 12$ usando o método AC.

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Etapa 1.5.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 12$ e cuja soma é $1$ .

$- 3, 4$

Etapa 1.5.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$- 4 x (x^{2} - 3) + (u - 3) (u + 4) = 0$

Etapa 1.6

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$- 4 x (x^{2} - 3) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 4) = 0$

Etapa 1.7

Fatore $x^{2} - 3$ de $- 4 x (x^{2} - 3) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 4)$ .

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Etapa 1.7.1

Fatore $x^{2} - 3$ de $- 4 x (x^{2} - 3)$ .

$(x^{2} - 3) (- 4 x) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 4) = 0$

Etapa 1.7.2

Fatore $x^{2} - 3$ de $(x^{2} - 3) (- 4 x) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 4)$ .

$(x^{2} - 3) (- 4 x + x^{2} + 4) = 0$

Etapa 1.8

Deixe $u = x$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x$ .

$(x^{2} - 3) (- 4 u + u^{2} + 4) = 0$

Etapa 1.9

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 1.9.1

Reorganize os termos.

$(x^{2} - 3) (u^{2} - 4 u + 4) = 0$

Etapa 1.9.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$(x^{2} - 3) (u^{2} - 4 u + 2^{2}) = 0$

Etapa 1.9.3

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$4 u = 2 \cdot u \cdot 2$

Etapa 1.9.4

Reescreva o polinômio.

$(x^{2} - 3) (u^{2} - 2 \cdot u \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

Etapa 1.9.5

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , em que $a = u$ e $b = 2$ .

$(x^{2} - 3) {(u - 2)}^{2} = 0$

Etapa 1.10

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x$ .

$(x^{2} - 3) {(x - 2)}^{2} = 0$

Etapa 2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x^{2} - 3 = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

Etapa 3

Defina $x^{2} - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.1

Defina $x^{2} - 3$ como igual a $0$ .

$x^{2} - 3 = 0$

Etapa 3.2

Resolva $x^{2} - 3 = 0$ para $x$ .

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Etapa 3.2.1

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x^{2} = 3$

Etapa 3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{3}$

Etapa 3.2.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 3.2.3.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \sqrt{3}$

Etapa 3.2.3.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \sqrt{3}$

Etapa 3.2.3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Etapa 4

Defina ${(x - 2)}^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.1

Defina ${(x - 2)}^{2}$ como igual a $0$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Etapa 4.2

Resolva ${(x - 2)}^{2} = 0$ para $x$ .

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Etapa 4.2.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 4.2.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 5

A solução final são todos os valores que tornam $(x^{2} - 3) {(x - 2)}^{2} = 0$ verdadeiro.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}, 2$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}, 2$

Forma decimal:

$x = 1.73205080 \dots, - 1.73205080 \dots, 2$

Etapa 7