Álgebra Exemplos

$x^{4} - 3 x^{3} > 4 x^{2} - 12 x$

Etapa 1

Resolva $x < - 2 or 0 < x < 2 or x > 3$ .

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Etapa 1.1

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da desigualdade.

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Etapa 1.1.1

Subtraia $4 x^{2}$ dos dois lados da desigualdade.

$x^{4} - 3 x^{3} - 4 x^{2} > - 12 x$

Etapa 1.1.2

Some $12 x$ aos dois lados da desigualdade.

$x^{4} - 3 x^{3} - 4 x^{2} + 12 x > 0$

Etapa 1.2

Converta a desigualdade em uma equação.

$x^{4} - 3 x^{3} - 4 x^{2} + 12 x = 0$

Etapa 1.3

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.3.1

Fatore $x$ de $x^{4} - 3 x^{3} - 4 x^{2} + 12 x$ .

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Etapa 1.3.1.1

Fatore $x$ de $x^{4}$ .

$x \cdot x^{3} - 3 x^{3} - 4 x^{2} + 12 x = 0$

Etapa 1.3.1.2

Fatore $x$ de $- 3 x^{3}$ .

$x \cdot x^{3} + x (- 3 x^{2}) - 4 x^{2} + 12 x = 0$

Etapa 1.3.1.3

Fatore $x$ de $- 4 x^{2}$ .

$x \cdot x^{3} + x (- 3 x^{2}) + x (- 4 x) + 12 x = 0$

Etapa 1.3.1.4

Fatore $x$ de $12 x$ .

$x \cdot x^{3} + x (- 3 x^{2}) + x (- 4 x) + x \cdot 12 = 0$

Etapa 1.3.1.5

Fatore $x$ de $x \cdot x^{3} + x (- 3 x^{2})$ .

$x (x^{3} - 3 x^{2}) + x (- 4 x) + x \cdot 12 = 0$

Etapa 1.3.1.6

Fatore $x$ de $x (x^{3} - 3 x^{2}) + x (- 4 x)$ .

$x (x^{3} - 3 x^{2} - 4 x) + x \cdot 12 = 0$

Etapa 1.3.1.7

Fatore $x$ de $x (x^{3} - 3 x^{2} - 4 x) + x \cdot 12$ .

$x (x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 12) = 0$

Etapa 1.3.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 1.3.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$x ((x^{3} - 3 x^{2}) - 4 x + 12) = 0$

Etapa 1.3.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$x (x^{2} (x - 3) - 4 (x - 3)) = 0$

Etapa 1.3.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $x - 3$ .

$x ((x - 3) (x^{2} - 4)) = 0$

Etapa 1.3.4

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x ((x - 3) (x^{2} - 2^{2})) = 0$

Etapa 1.3.5

Fatore.

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Etapa 1.3.5.1

Fatore.

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Etapa 1.3.5.1.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 2$ .

$x ((x - 3) ((x + 2) (x - 2))) = 0$

Etapa 1.3.5.1.2

Remova os parênteses desnecessários.

$x ((x - 3) (x + 2) (x - 2)) = 0$

Etapa 1.3.5.2

Remova os parênteses desnecessários.

$x (x - 3) (x + 2) (x - 2) = 0$

Etapa 1.4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x - 3 = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

Etapa 1.5

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 1.6

Defina $x - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 1.6.1

Defina $x - 3$ como igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Etapa 1.6.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x = 3$

Etapa 1.7

Defina $x + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 1.7.1

Defina $x + 2$ como igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Etapa 1.7.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 1.8

Defina $x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 1.8.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 1.8.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 1.9

A solução final são todos os valores que tornam $x (x - 3) (x + 2) (x - 2) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, 3, - 2, 2$

Etapa 1.10

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 2$

$- 2 < x < 0$

$0 < x < 2$

$2 < x < 3$

$x > 3$

Etapa 1.11

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 1.11.1

Teste um valor no intervalo $x < - 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 1.11.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 4$

Etapa 1.11.1.2

Substitua $x$ por $- 4$ na desigualdade original.

${(- 4)}^{4} - 3 {(- 4)}^{3} > 4 {(- 4)}^{2} - 12 \cdot - 4$

Etapa 1.11.1.3

O lado esquerdo $448$ é maior do que o lado direito $112$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 1.11.2

Teste um valor no intervalo $- 2 < x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 1.11.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 2 < x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 1$

Etapa 1.11.2.2

Substitua $x$ por $- 1$ na desigualdade original.

${(- 1)}^{4} - 3 {(- 1)}^{3} > 4 {(- 1)}^{2} - 12 \cdot - 1$

Etapa 1.11.2.3

O lado esquerdo $4$ não é maior do que o lado direito $16$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 1.11.3

Teste um valor no intervalo $0 < x < 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 1.11.3.1

Escolha um valor no intervalo $0 < x < 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 1$

Etapa 1.11.3.2

Substitua $x$ por $1$ na desigualdade original.

${(1)}^{4} - 3 {(1)}^{3} > 4 {(1)}^{2} - 12 \cdot 1$

Etapa 1.11.3.3

O lado esquerdo $- 2$ é maior do que o lado direito $- 8$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 1.11.4

Teste um valor no intervalo $2 < x < 3$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 1.11.4.1

Escolha um valor no intervalo $2 < x < 3$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 2.5$

Etapa 1.11.4.2

Substitua $x$ por $2.5$ na desigualdade original.

${(2.5)}^{4} - 3 {(2.5)}^{3} > 4 {(2.5)}^{2} - 12 \cdot 2.5$

Etapa 1.11.4.3

O lado esquerdo $- 7.8125$ não é maior do que o lado direito $- 5$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 1.11.5

Teste um valor no intervalo $x > 3$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 1.11.5.1

Escolha um valor no intervalo $x > 3$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 6$

Etapa 1.11.5.2

Substitua $x$ por $6$ na desigualdade original.

${(6)}^{4} - 3 {(6)}^{3} > 4 {(6)}^{2} - 12 \cdot 6$

Etapa 1.11.5.3

O lado esquerdo $648$ é maior do que o lado direito $72$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 1.11.6

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 2$ Verdadeiro

$- 2 < x < 0$ Falso

$0 < x < 2$ Verdadeiro

$2 < x < 3$ Falso

$x > 3$ Verdadeiro

$x < - 2$ Verdadeiro

$- 2 < x < 0$ Falso

$0 < x < 2$ Verdadeiro

$2 < x < 3$ Falso

$x > 3$ Verdadeiro

Etapa 1.12

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x < - 2$ ou $0 < x < 2$ ou $x > 3$

Etapa 2

Use a desigualdade $x < - 2 or 0 < x < 2 or x > 3$ para criar a notação do conjunto.

${x | x < - 2 or 0 < x < 2 or x > 3}$

Etapa 3