Álgebra Exemplos

$D_{x} (9 x^{- \frac{1}{2}} + \frac{4}{x^{\frac{5}{2}}})$

Etapa 1

Como $D_{x}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $D_{x} (9 x^{- \frac{1}{2}} + \frac{4}{x^{\frac{5}{2}}})$ em relação a $x$ é $D_{x} \frac{d}{d x} [9 x^{- \frac{1}{2}} + \frac{4}{x^{\frac{5}{2}}}]$ .

$D_{x} \frac{d}{d x} [9 x^{- \frac{1}{2}} + \frac{4}{x^{\frac{5}{2}}}]$

Etapa 2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $9 x^{- \frac{1}{2}} + \frac{4}{x^{\frac{5}{2}}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [9 x^{- \frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{\frac{5}{2}}}]$ .

$D_{x} (\frac{d}{d x} [9 x^{- \frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{\frac{5}{2}}}])$

Etapa 3

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9 x^{- \frac{1}{2}}$ em relação a $x$ é $9 \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}]$ .

$D_{x} (9 \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{\frac{5}{2}}}])$

Etapa 4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - \frac{1}{2}$ .

$D_{x} (9 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{\frac{5}{2}}}])$

Etapa 5

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$D_{x} (9 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{\frac{5}{2}}}])$

Etapa 6

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$D_{x} (9 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{\frac{5}{2}}}])$

Etapa 7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$D_{x} (9 (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{\frac{5}{2}}}])$

Etapa 8

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$D_{x} (9 (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{\frac{5}{2}}}])$

Etapa 8.2

Subtraia $2$ de $- 1$ .

$D_{x} (9 (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 3}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{\frac{5}{2}}}])$

Etapa 9

Combine frações.

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Etapa 9.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$D_{x} (9 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{\frac{5}{2}}}])$

Etapa 9.2

Combine $x^{- \frac{3}{2}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$D_{x} (9 (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{\frac{5}{2}}}])$

Etapa 9.3

Multiplique $- 1$ por $9$ .

$D_{x} (- 9 \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{\frac{5}{2}}}])$

Etapa 9.4

Combine $- 9$ e $\frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$ .

$D_{x} (\frac{- 9 x^{- \frac{3}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{\frac{5}{2}}}])$

Etapa 9.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 9.5.1

Mova $x^{- \frac{3}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$D_{x} (\frac{- 9}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{\frac{5}{2}}}])$

Etapa 9.5.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$D_{x} (- \frac{9}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{\frac{5}{2}}}])$

Etapa 10

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{4}{x^{\frac{5}{2}}}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{5}{2}}}]$ .

$D_{x} (- \frac{9}{2 x^{\frac{3}{2}}} + 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{5}{2}}}])$

Etapa 11

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 11.1

Reescreva $\frac{1}{x^{\frac{5}{2}}}$ como ${(x^{\frac{5}{2}})}^{- 1}$ .

$D_{x} (- \frac{9}{2 x^{\frac{3}{2}}} + 4 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{5}{2}})}^{- 1}])$

Etapa 11.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{5}{2}})}^{- 1}$ .

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Etapa 11.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$D_{x} (- \frac{9}{2 x^{\frac{3}{2}}} + 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2} \cdot - 1}])$

Etapa 11.2.2

Multiplique $\frac{5}{2} \cdot - 1$ .

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Etapa 11.2.2.1

Combine $\frac{5}{2}$ e $- 1$ .

$D_{x} (- \frac{9}{2 x^{\frac{3}{2}}} + 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5 \cdot - 1}{2}}])$

Etapa 11.2.2.2

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$D_{x} (- \frac{9}{2 x^{\frac{3}{2}}} + 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 5}{2}}])$

Etapa 11.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$D_{x} (- \frac{9}{2 x^{\frac{3}{2}}} + 4 \frac{d}{d x} [x^{- \frac{5}{2}}])$

Etapa 12

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - \frac{5}{2}$ .

$D_{x} (- \frac{9}{2 x^{\frac{3}{2}}} + 4 (- \frac{5}{2} x^{- \frac{5}{2} - 1}))$

Etapa 13

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$D_{x} (- \frac{9}{2 x^{\frac{3}{2}}} + 4 (- \frac{5}{2} x^{- \frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Etapa 14

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$D_{x} (- \frac{9}{2 x^{\frac{3}{2}}} + 4 (- \frac{5}{2} x^{- \frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Etapa 15

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$D_{x} (- \frac{9}{2 x^{\frac{3}{2}}} + 4 (- \frac{5}{2} x^{\frac{- 5 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Etapa 16

Simplifique o numerador.

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Etapa 16.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$D_{x} (- \frac{9}{2 x^{\frac{3}{2}}} + 4 (- \frac{5}{2} x^{\frac{- 5 - 2}{2}}))$

Etapa 16.2

Subtraia $2$ de $- 5$ .

$D_{x} (- \frac{9}{2 x^{\frac{3}{2}}} + 4 (- \frac{5}{2} x^{\frac{- 7}{2}}))$

Etapa 17

Mova o número negativo para a frente da fração.

$D_{x} (- \frac{9}{2 x^{\frac{3}{2}}} + 4 (- \frac{5}{2} x^{- \frac{7}{2}}))$

Etapa 18

Combine $x^{- \frac{7}{2}}$ e $\frac{5}{2}$ .

$D_{x} (- \frac{9}{2 x^{\frac{3}{2}}} + 4 (- \frac{x^{- \frac{7}{2}} \cdot 5}{2}))$

Etapa 19

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$D_{x} (- \frac{9}{2 x^{\frac{3}{2}}} - 4 \frac{x^{- \frac{7}{2}} \cdot 5}{2})$

Etapa 20

Combine $- 4$ e $\frac{x^{- \frac{7}{2}} \cdot 5}{2}$ .

$D_{x} (- \frac{9}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{- 4 (x^{- \frac{7}{2}} \cdot 5)}{2})$

Etapa 21

Multiplique.

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Etapa 21.1

Multiplique $5$ por $- 4$ .

$D_{x} (- \frac{9}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{- 20 x^{- \frac{7}{2}}}{2})$

Etapa 21.2

Mova $x^{- \frac{7}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$D_{x} (- \frac{9}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{- 20}{2 x^{\frac{7}{2}}})$

Etapa 22

Fatore $2$ de $- 20$ .

$D_{x} (- \frac{9}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{2 \cdot - 10}{2 x^{\frac{7}{2}}})$

Etapa 23

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 23.1

Fatore $2$ de $2 x^{\frac{7}{2}}$ .

$D_{x} (- \frac{9}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{2 \cdot - 10}{2 (x^{\frac{7}{2}})})$

Etapa 23.2

Cancele o fator comum.

$D_{x} (- \frac{9}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{2 \cdot - 10}{2 x^{\frac{7}{2}}})$

Etapa 23.3

Reescreva a expressão.

$D_{x} (- \frac{9}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{- 10}{x^{\frac{7}{2}}})$

Etapa 24

Mova o número negativo para a frente da fração.

$D_{x} (- \frac{9}{2 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{10}{x^{\frac{7}{2}}})$

Etapa 25

Simplifique.

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Etapa 25.1

Aplique a propriedade distributiva.

$D_{x} (- \frac{9}{2 x^{\frac{3}{2}}}) + D_{x} (- \frac{10}{x^{\frac{7}{2}}})$

Etapa 25.2

Combine os termos.

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Etapa 25.2.1

Combine $D_{x}$ e $\frac{9}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ .

$- \frac{D_{x} \cdot 9}{2 x^{\frac{3}{2}}} + D_{x} (- \frac{10}{x^{\frac{7}{2}}})$

Etapa 25.2.2

Mova $9$ para a esquerda de $D_{x}$ .

$- \frac{9 \cdot D_{x}}{2 x^{\frac{3}{2}}} + D_{x} (- \frac{10}{x^{\frac{7}{2}}})$

Etapa 25.2.3

Combine $D_{x}$ e $\frac{10}{x^{\frac{7}{2}}}$ .

$- \frac{9 D_{x}}{2 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{D_{x} \cdot 10}{x^{\frac{7}{2}}}$

Etapa 25.2.4

Mova $10$ para a esquerda de $D_{x}$ .

$- \frac{9 D_{x}}{2 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{10 D_{x}}{x^{\frac{7}{2}}}$