Álgebra Exemplos

$y = {(3 x^{4} - 2 x)}^{- \sin (x)}$

Etapa 1

Use as propriedades dos logaritmos para simplificar a diferenciação.

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Etapa 1.1

Reescreva ${(3 x^{4} - 2 x)}^{- \sin (x)}$ como $e^{\ln ({(3 x^{4} - 2 x)}^{- \sin (x)})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({(3 x^{4} - 2 x)}^{- \sin (x)})}]$

Etapa 1.2

Expanda $\ln ({(3 x^{4} - 2 x)}^{- \sin (x)})$ movendo $- \sin (x)$ para fora do logaritmo.

$\frac{d}{d x} [e^{- \sin (x) \ln (3 x^{4} - 2 x)}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - \sin (x) \ln (3 x^{4} - 2 x)$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $- \sin (x) \ln (3 x^{4} - 2 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- \sin (x) \ln (3 x^{4} - 2 x)]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- \sin (x) \ln (3 x^{4} - 2 x)]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $- \sin (x) \ln (3 x^{4} - 2 x)$ .

$e^{- \sin (x) \ln (3 x^{4} - 2 x)} \frac{d}{d x} [- \sin (x) \ln (3 x^{4} - 2 x)]$

Etapa 3

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \sin (x) \ln (3 x^{4} - 2 x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\sin (x) \ln (3 x^{4} - 2 x)]$ .

$e^{- \sin (x) \ln (3 x^{4} - 2 x)} (- \frac{d}{d x} [\sin (x) \ln (3 x^{4} - 2 x)])$

Etapa 4

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = \ln (3 x^{4} - 2 x)$ .

$e^{- \sin (x) \ln (3 x^{4} - 2 x)} (- (\sin (x) \frac{d}{d x} [\ln (3 x^{4} - 2 x)] + \ln (3 x^{4} - 2 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]))$

Etapa 5

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 3 x^{4} - 2 x$ .

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Etapa 5.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $3 x^{4} - 2 x$ .

$e^{- \sin (x) \ln (3 x^{4} - 2 x)} (- (\sin (x) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x^{4} - 2 x]) + \ln (3 x^{4} - 2 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]))$

Etapa 5.2

A derivada de $\ln (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $\frac{1}{u_{2}}$ .

$e^{- \sin (x) \ln (3 x^{4} - 2 x)} (- (\sin (x) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{4} - 2 x]) + \ln (3 x^{4} - 2 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]))$

Etapa 5.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $3 x^{4} - 2 x$ .

$e^{- \sin (x) \ln (3 x^{4} - 2 x)} (- (\sin (x) (\frac{1}{3 x^{4} - 2 x} \frac{d}{d x} [3 x^{4} - 2 x]) + \ln (3 x^{4} - 2 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]))$

Etapa 6

Diferencie.

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Etapa 6.1

Combine $\frac{1}{3 x^{4} - 2 x}$ e $\sin (x)$ .

$e^{- \sin (x) \ln (3 x^{4} - 2 x)} (- (\frac{\sin (x)}{3 x^{4} - 2 x} \frac{d}{d x} [3 x^{4} - 2 x] + \ln (3 x^{4} - 2 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]))$

Etapa 6.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{4} - 2 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$e^{- \sin (x) \ln (3 x^{4} - 2 x)} (- (\frac{\sin (x)}{3 x^{4} - 2 x} (\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + \ln (3 x^{4} - 2 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]))$

Etapa 6.3

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{4}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$e^{- \sin (x) \ln (3 x^{4} - 2 x)} (- (\frac{\sin (x)}{3 x^{4} - 2 x} (3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + \ln (3 x^{4} - 2 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]))$

Etapa 6.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$e^{- \sin (x) \ln (3 x^{4} - 2 x)} (- (\frac{\sin (x)}{3 x^{4} - 2 x} (3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + \ln (3 x^{4} - 2 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]))$

Etapa 6.5

Multiplique $4$ por $3$ .

$e^{- \sin (x) \ln (3 x^{4} - 2 x)} (- (\frac{\sin (x)}{3 x^{4} - 2 x} (12 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + \ln (3 x^{4} - 2 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]))$

Etapa 6.6

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{- \sin (x) \ln (3 x^{4} - 2 x)} (- (\frac{\sin (x)}{3 x^{4} - 2 x} (12 x^{3} - 2 \frac{d}{d x} [x]) + \ln (3 x^{4} - 2 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]))$

Etapa 6.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$e^{- \sin (x) \ln (3 x^{4} - 2 x)} (- (\frac{\sin (x)}{3 x^{4} - 2 x} (12 x^{3} - 2 \cdot 1) + \ln (3 x^{4} - 2 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]))$

Etapa 6.8

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$e^{- \sin (x) \ln (3 x^{4} - 2 x)} (- (\frac{\sin (x)}{3 x^{4} - 2 x} (12 x^{3} - 2) + \ln (3 x^{4} - 2 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]))$

Etapa 7

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$e^{- \sin (x) \ln (3 x^{4} - 2 x)} (- (\frac{\sin (x)}{3 x^{4} - 2 x} (12 x^{3} - 2) + \ln (3 x^{4} - 2 x) \cos (x)))$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$e^{- \sin (x) \ln (3 x^{4} - 2 x)} (- (\frac{\sin (x)}{3 x^{4} - 2 x} (12 x^{3} - 2)) - (\ln (3 x^{4} - 2 x) \cos (x)))$

Etapa 8.2

Remova os parênteses.

$e^{- \sin (x) \ln (3 x^{4} - 2 x)} (- \frac{\sin (x)}{3 x^{4} - 2 x} (12 x^{3} - 2) - \ln (3 x^{4} - 2 x) \cos (x))$