Álgebra Exemplos

$10 e^{10 x} x^{2} + 2 e^{10 x} x$

Etapa 1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $10 e^{10 x} x^{2} + 2 e^{10 x} x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [10 e^{10 x} x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 e^{10 x} x]$ .

$\frac{d}{d x} [10 e^{10 x} x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 e^{10 x} x]$

Etapa 2

Avalie $\frac{d}{d x} [10 e^{10 x} x^{2}]$ .

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Etapa 2.1

Como $10$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $10 e^{10 x} x^{2}$ em relação a $x$ é $10 \frac{d}{d x} [e^{10 x} x^{2}]$ .

$10 \frac{d}{d x} [e^{10 x} x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 e^{10 x} x]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = e^{10 x}$ e $g (x) = x^{2}$ .

$10 (e^{10 x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + x^{2} \frac{d}{d x} [e^{10 x}]) + \frac{d}{d x} [2 e^{10 x} x]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$10 (e^{10 x} (2 x) + x^{2} \frac{d}{d x} [e^{10 x}]) + \frac{d}{d x} [2 e^{10 x} x]$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 10 x$ .

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Etapa 2.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $10 x$ .

$10 (e^{10 x} (2 x) + x^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [10 x])) + \frac{d}{d x} [2 e^{10 x} x]$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$10 (e^{10 x} (2 x) + x^{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [10 x])) + \frac{d}{d x} [2 e^{10 x} x]$

Etapa 2.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $10 x$ .

$10 (e^{10 x} (2 x) + x^{2} (e^{10 x} \frac{d}{d x} [10 x])) + \frac{d}{d x} [2 e^{10 x} x]$

Etapa 2.5

Como $10$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $10 x$ em relação a $x$ é $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 (e^{10 x} (2 x) + x^{2} (e^{10 x} (10 \frac{d}{d x} [x]))) + \frac{d}{d x} [2 e^{10 x} x]$

Etapa 2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$10 (e^{10 x} (2 x) + x^{2} (e^{10 x} (10 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [2 e^{10 x} x]$

Etapa 2.7

Multiplique $10$ por $1$ .

$10 (e^{10 x} (2 x) + x^{2} (e^{10 x} \cdot 10)) + \frac{d}{d x} [2 e^{10 x} x]$

Etapa 2.8

Mova $10$ para a esquerda de $e^{10 x}$ .

$10 (e^{10 x} (2 x) + x^{2} (10 e^{10 x})) + \frac{d}{d x} [2 e^{10 x} x]$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 e^{10 x} x]$ .

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Etapa 3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 e^{10 x} x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [e^{10 x} x]$ .

$10 (e^{10 x} (2 x) + x^{2} (10 e^{10 x})) + 2 \frac{d}{d x} [e^{10 x} x]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = e^{10 x}$ e $g (x) = x$ .

$10 (e^{10 x} (2 x) + x^{2} (10 e^{10 x})) + 2 (e^{10 x} \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [e^{10 x}])$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$10 (e^{10 x} (2 x) + x^{2} (10 e^{10 x})) + 2 (e^{10 x} \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [e^{10 x}])$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 10 x$ .

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Etapa 3.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $10 x$ .

$10 (e^{10 x} (2 x) + x^{2} (10 e^{10 x})) + 2 (e^{10 x} \cdot 1 + x (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [10 x]))$

Etapa 3.4.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ é $a^{u_{2}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$10 (e^{10 x} (2 x) + x^{2} (10 e^{10 x})) + 2 (e^{10 x} \cdot 1 + x (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [10 x]))$

Etapa 3.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $10 x$ .

$10 (e^{10 x} (2 x) + x^{2} (10 e^{10 x})) + 2 (e^{10 x} \cdot 1 + x (e^{10 x} \frac{d}{d x} [10 x]))$

Etapa 3.5

Como $10$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $10 x$ em relação a $x$ é $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 (e^{10 x} (2 x) + x^{2} (10 e^{10 x})) + 2 (e^{10 x} \cdot 1 + x (e^{10 x} (10 \frac{d}{d x} [x])))$

Etapa 3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$10 (e^{10 x} (2 x) + x^{2} (10 e^{10 x})) + 2 (e^{10 x} \cdot 1 + x (e^{10 x} (10 \cdot 1)))$

Etapa 3.7

Multiplique $e^{10 x}$ por $1$ .

$10 (e^{10 x} (2 x) + x^{2} (10 e^{10 x})) + 2 (e^{10 x} + x (e^{10 x} (10 \cdot 1)))$

Etapa 3.8

Multiplique $10$ por $1$ .

$10 (e^{10 x} (2 x) + x^{2} (10 e^{10 x})) + 2 (e^{10 x} + x (e^{10 x} \cdot 10))$

Etapa 3.9

Mova $10$ para a esquerda de $e^{10 x}$ .

$10 (e^{10 x} (2 x) + x^{2} (10 e^{10 x})) + 2 (e^{10 x} + x (10 e^{10 x}))$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$10 (e^{10 x} (2 x)) + 10 (x^{2} (10 e^{10 x})) + 2 (e^{10 x} + x (10 e^{10 x}))$

Etapa 4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$10 (e^{10 x} (2 x)) + 10 (x^{2} (10 e^{10 x})) + 2 e^{10 x} + 2 (x (10 e^{10 x}))$

Etapa 4.3

Combine os termos.

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Etapa 4.3.1

Multiplique $2$ por $10$ .

$20 (e^{10 x} (x)) + 10 (x^{2} (10 e^{10 x})) + 2 e^{10 x} + 2 (x (10 e^{10 x}))$

Etapa 4.3.2

Multiplique $10$ por $10$ .

$20 e^{10 x} x + 100 (x^{2} (e^{10 x})) + 2 e^{10 x} + 2 (x (10 e^{10 x}))$

Etapa 4.3.3

Multiplique $10$ por $2$ .

$20 e^{10 x} x + 100 x^{2} e^{10 x} + 2 e^{10 x} + 20 (x (e^{10 x}))$

Etapa 4.3.4

Some $20 e^{10 x} x$ e $20 x e^{10 x}$ .

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Etapa 4.3.4.1

Mova $e^{10 x}$ .

$20 x e^{10 x} + 20 x e^{10 x} + 100 x^{2} e^{10 x} + 2 e^{10 x}$

Etapa 4.3.4.2

Some $20 x e^{10 x}$ e $20 x e^{10 x}$ .

$40 x e^{10 x} + 100 x^{2} e^{10 x} + 2 e^{10 x}$

Etapa 4.4

Reordene os termos.

$40 e^{10 x} x + 100 e^{10 x} x^{2} + 2 e^{10 x}$

Etapa 4.5

Reordene os fatores em $40 e^{10 x} x + 100 e^{10 x} x^{2} + 2 e^{10 x}$ .

$40 x e^{10 x} + 100 x^{2} e^{10 x} + 2 e^{10 x}$