Álgebra Exemplos

$\frac{42^{x}}{6^{x}}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 42^{x}$ e $g (x) = 6^{x}$ .

$\frac{6^{x} \frac{d}{d x} [42^{x}] - 42^{x} \frac{d}{d x} [6^{x}]}{{(6^{x})}^{2}}$

Etapa 2

Multiplique os expoentes em ${(6^{x})}^{2}$ .

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Etapa 2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{6^{x} \frac{d}{d x} [42^{x}] - 42^{x} \frac{d}{d x} [6^{x}]}{6^{x \cdot 2}}$

Etapa 2.2

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{6^{x} \frac{d}{d x} [42^{x}] - 42^{x} \frac{d}{d x} [6^{x}]}{6^{2 x}}$

Etapa 3

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $42$ .

$\frac{6^{x} (42^{x} \ln (42)) - 42^{x} \frac{d}{d x} [6^{x}]}{6^{2 x}}$

Etapa 4

Simplifique com fatoração.

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Etapa 4.1

Reescreva $42^{x} \cdot 6^{x}$ como ${(42 \cdot 6)}^{x}$ .

$\frac{{(42 \cdot 6)}^{x} \ln (42) - 42^{x} \frac{d}{d x} [6^{x}]}{6^{2 x}}$

Etapa 4.2

Multiplique $42$ por $6$ .

$\frac{252^{x} \ln (42) - 42^{x} \frac{d}{d x} [6^{x}]}{6^{2 x}}$

Etapa 5

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $6$ .

$\frac{252^{x} \ln (42) - 42^{x} (6^{x} \ln (6))}{6^{2 x}}$

Etapa 6

Simplifique com fatoração.

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Etapa 6.1

Reescreva $6^{x} \cdot 42^{x}$ como ${(6 \cdot 42)}^{x}$ .

$\frac{252^{x} \ln (42) - {(6 \cdot 42)}^{x} \ln (6)}{6^{2 x}}$

Etapa 6.2

Multiplique $6$ por $42$ .

$\frac{252^{x} \ln (42) - 252^{x} \ln (6)}{6^{2 x}}$

Etapa 7

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.1

Fatore $252^{x}$ de $252^{x} \ln (42) - 252^{x} \ln (6)$ .

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Etapa 7.1.1

Fatore $252^{x}$ de $252^{x} \ln (42)$ .

$\frac{252^{x} (\ln (42)) - 252^{x} \ln (6)}{6^{2 x}}$

Etapa 7.1.2

Fatore $252^{x}$ de $- 252^{x} \ln (6)$ .

$\frac{252^{x} (\ln (42)) + 252^{x} (- \ln (6))}{6^{2 x}}$

Etapa 7.1.3

Fatore $252^{x}$ de $252^{x} (\ln (42)) + 252^{x} (- \ln (6))$ .

$\frac{252^{x} (\ln (42) - \ln (6))}{6^{2 x}}$

Etapa 7.2

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{252^{x} \ln (\frac{42}{6})}{6^{2 x}}$

Etapa 7.3

Divida $42$ por $6$ .

$\frac{252^{x} \ln (7)}{6^{2 x}}$