Álgebra Exemplos

$\ln (x^{3} \sin^{2} (x))$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{3} \sin^{2} (x)$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $x^{3} \sin^{2} (x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{3} \sin^{2} (x)]$

Etapa 1.2

A derivada de $\ln (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{3} \sin^{2} (x)]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x^{3} \sin^{2} (x)$ .

$\frac{1}{x^{3} \sin^{2} (x)} \frac{d}{d x} [x^{3} \sin^{2} (x)]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = \sin^{2} (x)$ .

$\frac{1}{x^{3} \sin^{2} (x)} (x^{3} \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)] + \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sin (x)$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $\sin (x)$ .

$\frac{1}{x^{3} \sin^{2} (x)} (x^{3} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{3} \sin^{2} (x)} (x^{3} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $\sin (x)$ .

$\frac{1}{x^{3} \sin^{2} (x)} (x^{3} (2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 4

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$\frac{1}{x^{3} \sin^{2} (x)} (x^{3} (2 \sin (x) \cos (x)) + \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{1}{x^{3} \sin^{2} (x)} (x^{3} (2 \sin (x) \cos (x)) + \sin^{2} (x) (3 x^{2}))$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{x^{3} \sin^{2} (x)} (x^{3} (2 \sin (x) \cos (x))) + \frac{1}{x^{3} \sin^{2} (x)} (\sin^{2} (x) (3 x^{2}))$

Etapa 6.2

Combine os termos.

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Etapa 6.2.1

Combine $x^{3}$ e $\frac{1}{x^{3} \sin^{2} (x)}$ .

$\frac{x^{3}}{x^{3} \sin^{2} (x)} (2 \sin (x) \cos (x)) + \frac{1}{x^{3} \sin^{2} (x)} (\sin^{2} (x) (3 x^{2}))$

Etapa 6.2.2

Combine $2$ e $\frac{x^{3}}{x^{3} \sin^{2} (x)}$ .

$\frac{2 x^{3}}{x^{3} \sin^{2} (x)} (\sin (x) \cos (x)) + \frac{1}{x^{3} \sin^{2} (x)} (\sin^{2} (x) (3 x^{2}))$

Etapa 6.2.3

Combine $\sin (x)$ e $\frac{2 x^{3}}{x^{3} \sin^{2} (x)}$ .

$\frac{\sin (x) (2 x^{3})}{x^{3} \sin^{2} (x)} \cos (x) + \frac{1}{x^{3} \sin^{2} (x)} (\sin^{2} (x) (3 x^{2}))$

Etapa 6.2.4

Combine $\frac{\sin (x) (2 x^{3})}{x^{3} \sin^{2} (x)}$ e $\cos (x)$ .

$\frac{\sin (x) (2 x^{3}) \cos (x)}{x^{3} \sin^{2} (x)} + \frac{1}{x^{3} \sin^{2} (x)} (\sin^{2} (x) (3 x^{2}))$

Etapa 6.2.5

Cancele o fator comum de $\sin (x)$ e $\sin^{2} (x)$ .

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Etapa 6.2.5.1

Fatore $\sin (x)$ de $\sin (x) (2 x^{3}) \cos (x)$ .

$\frac{\sin (x) ((2 x^{3}) \cos (x))}{x^{3} \sin^{2} (x)} + \frac{1}{x^{3} \sin^{2} (x)} (\sin^{2} (x) (3 x^{2}))$

Etapa 6.2.5.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 6.2.5.2.1

Fatore $\sin (x)$ de $x^{3} \sin^{2} (x)$ .

$\frac{\sin (x) ((2 x^{3}) \cos (x))}{\sin (x) (x^{3} \sin (x))} + \frac{1}{x^{3} \sin^{2} (x)} (\sin^{2} (x) (3 x^{2}))$

Etapa 6.2.5.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{\sin (x) ((2 x^{3}) \cos (x))}{\sin (x) (x^{3} \sin (x))} + \frac{1}{x^{3} \sin^{2} (x)} (\sin^{2} (x) (3 x^{2}))$

Etapa 6.2.5.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{(2 x^{3}) \cos (x)}{x^{3} \sin (x)} + \frac{1}{x^{3} \sin^{2} (x)} (\sin^{2} (x) (3 x^{2}))$

Etapa 6.2.6

Cancele o fator comum de $x^{3}$ .

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Etapa 6.2.6.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x^{3} \cos (x)}{x^{3} \sin (x)} + \frac{1}{x^{3} \sin^{2} (x)} (\sin^{2} (x) (3 x^{2}))$

Etapa 6.2.6.2

Reescreva a expressão.

$\frac{(2) \cos (x)}{\sin (x)} + \frac{1}{x^{3} \sin^{2} (x)} (\sin^{2} (x) (3 x^{2}))$

Etapa 6.2.7

Converta de $\frac{2 \cos (x)}{\sin (x)}$ em $2 \cot (x)$ .

$2 \cot (x) + \frac{1}{x^{3} \sin^{2} (x)} (\sin^{2} (x) (3 x^{2}))$

Etapa 6.2.8

Combine $\sin^{2} (x)$ e $\frac{1}{x^{3} \sin^{2} (x)}$ .

$2 \cot (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{x^{3} \sin^{2} (x)} (3 x^{2})$

Etapa 6.2.9

Combine $3$ e $\frac{\sin^{2} (x)}{x^{3} \sin^{2} (x)}$ .

$2 \cot (x) + \frac{3 \sin^{2} (x)}{x^{3} \sin^{2} (x)} x^{2}$

Etapa 6.2.10

Combine $\frac{3 \sin^{2} (x)}{x^{3} \sin^{2} (x)}$ e $x^{2}$ .

$2 \cot (x) + \frac{3 \sin^{2} (x) x^{2}}{x^{3} \sin^{2} (x)}$

Etapa 6.2.11

Cancele o fator comum de $\sin^{2} (x)$ .

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Etapa 6.2.11.1

Cancele o fator comum.

$2 \cot (x) + \frac{3 \sin^{2} (x) x^{2}}{x^{3} \sin^{2} (x)}$

Etapa 6.2.11.2

Reescreva a expressão.

$2 \cot (x) + \frac{3 x^{2}}{x^{3}}$

Etapa 6.2.12

Cancele o fator comum de $x^{2}$ e $x^{3}$ .

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Etapa 6.2.12.1

Fatore $x^{2}$ de $3 x^{2}$ .

$2 \cot (x) + \frac{x^{2} \cdot 3}{x^{3}}$

Etapa 6.2.12.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 6.2.12.2.1

Fatore $x^{2}$ de $x^{3}$ .

$2 \cot (x) + \frac{x^{2} \cdot 3}{x^{2} x}$

Etapa 6.2.12.2.2

Cancele o fator comum.

$2 \cot (x) + \frac{x^{2} \cdot 3}{x^{2} x}$

Etapa 6.2.12.2.3

Reescreva a expressão.

$2 \cot (x) + \frac{3}{x}$

Etapa 6.3

Reordene os termos.

$\frac{3}{x} + 2 \cot (x)$