Álgebra Exemplos

$\arctan (\frac{2 x}{1 - x^{2}})$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \arctan (x)$ e $g (x) = \frac{2 x}{1 - x^{2}}$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{2 x}{1 - x^{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{2 x}{1 - x^{2}}]$

Etapa 1.2

A derivada de $\arctan (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{2 x}{1 - x^{2}}]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{2 x}{1 - x^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{2 x}{1 - x^{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{2 x}{1 - x^{2}}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

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Etapa 2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{2 x}{1 - x^{2}}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 - x^{2}}]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{2 x}{1 - x^{2}})}^{2}} (2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 - x^{2}}])$

Etapa 2.2

Combine $2$ e $\frac{1}{1 + {(\frac{2 x}{1 - x^{2}})}^{2}}$ .

$\frac{2}{1 + {(\frac{2 x}{1 - x^{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 - x^{2}}]$

Etapa 3

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = 1 - x^{2}$ .

$\frac{2}{1 + {(\frac{2 x}{1 - x^{2}})}^{2}} \cdot \frac{(1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 4

Diferencie.

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Etapa 4.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{2}{1 + {(\frac{2 x}{1 - x^{2}})}^{2}} \cdot \frac{(1 - x^{2}) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 4.2

Multiplique $1 - x^{2}$ por $1$ .

$\frac{2}{1 + {(\frac{2 x}{1 - x^{2}})}^{2}} \cdot \frac{1 - x^{2} - x \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 4.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{2}{1 + {(\frac{2 x}{1 - x^{2}})}^{2}} \cdot \frac{1 - x^{2} - x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 4.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{2}{1 + {(\frac{2 x}{1 - x^{2}})}^{2}} \cdot \frac{1 - x^{2} - x (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 4.5

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{2}{1 + {(\frac{2 x}{1 - x^{2}})}^{2}} \cdot \frac{1 - x^{2} - x \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 4.6

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{2}{1 + {(\frac{2 x}{1 - x^{2}})}^{2}} \cdot \frac{1 - x^{2} - x (- \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 4.7

Multiplique.

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Etapa 4.7.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{2}{1 + {(\frac{2 x}{1 - x^{2}})}^{2}} \cdot \frac{1 - x^{2} + 1 x \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 4.7.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{2}{1 + {(\frac{2 x}{1 - x^{2}})}^{2}} \cdot \frac{1 - x^{2} + x \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 4.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{2}{1 + {(\frac{2 x}{1 - x^{2}})}^{2}} \cdot \frac{1 - x^{2} + x (2 x)}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{2}{1 + {(\frac{2 x}{1 - x^{2}})}^{2}} \cdot \frac{1 - x^{2} + 2 (x^{1} x)}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 6

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{2}{1 + {(\frac{2 x}{1 - x^{2}})}^{2}} \cdot \frac{1 - x^{2} + 2 (x^{1} x^{1})}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2}{1 + {(\frac{2 x}{1 - x^{2}})}^{2}} \cdot \frac{1 - x^{2} + 2 x^{1 + 1}}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 8

Some $1$ e $1$ .

$\frac{2}{1 + {(\frac{2 x}{1 - x^{2}})}^{2}} \cdot \frac{1 - x^{2} + 2 x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 9

Some $- x^{2}$ e $2 x^{2}$ .

$\frac{2}{1 + {(\frac{2 x}{1 - x^{2}})}^{2}} \cdot \frac{1 + x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 10

Multiplique $\frac{2}{1 + {(\frac{2 x}{1 - x^{2}})}^{2}}$ por $\frac{1 + x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{2}}$ .

$\frac{2 (1 + x^{2})}{(1 + {(\frac{2 x}{1 - x^{2}})}^{2}) {(1 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 11

Simplifique.

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Etapa 11.1

Aplique a regra do produto a $\frac{2 x}{1 - x^{2}}$ .

$\frac{2 (1 + x^{2})}{(1 + \frac{{(2 x)}^{2}}{{(1 - x^{2})}^{2}}) {(1 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 11.2

Aplique a regra do produto a $2 x$ .

$\frac{2 (1 + x^{2})}{(1 + \frac{2^{2} x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{2}}) {(1 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 11.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 \cdot 1 + 2 x^{2}}{(1 + \frac{2^{2} x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{2}}) {(1 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 11.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{2 + 2 x^{2}}{(1 + \frac{2^{2} x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{2}}) {(1 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 11.5

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{2 + 2 x^{2}}{(1 + \frac{4 x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{2}}) {(1 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 11.6

Reordene os termos.

$\frac{2 x^{2} + 2}{{(1 - x^{2})}^{2} (1 + \frac{4 x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{2}})}$

Etapa 11.7

Simplifique o denominador.

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Etapa 11.7.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} + 2}{{(1 - x^{2})}^{2} (1 + \frac{4 x^{2}}{{(1^{2} - x^{2})}^{2}})}$

Etapa 11.7.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 1$ e $b = x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2}{{(1 - x^{2})}^{2} (1 + \frac{4 x^{2}}{{((1 + x) (1 - x))}^{2}})}$

Etapa 11.7.3

Aplique a regra do produto a $(1 + x) (1 - x)$ .

$\frac{2 x^{2} + 2}{{(1 - x^{2})}^{2} (1 + \frac{4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}})}$

Etapa 11.8

Fatore $2$ de $2 x^{2} + 2$ .

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Etapa 11.8.1

Fatore $2$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{2 (x^{2}) + 2}{{(1 - x^{2})}^{2} (1 + \frac{4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}})}$

Etapa 11.8.2

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 (x^{2}) + 2 (1)}{{(1 - x^{2})}^{2} (1 + \frac{4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}})}$

Etapa 11.8.3

Fatore $2$ de $2 (x^{2}) + 2 (1)$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 - x^{2})}^{2} (1 + \frac{4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}})}$

Etapa 11.9

Simplifique o denominador.

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Etapa 11.9.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1^{2} - x^{2})}^{2} (1 + \frac{4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}})}$

Etapa 11.9.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 1$ e $b = x$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{((1 + x) (1 - x))}^{2} (1 + \frac{4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}})}$

Etapa 11.9.3

Aplique a regra do produto a $(1 + x) (1 - x)$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} (1 + \frac{4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}})}$

Etapa 11.9.4

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} (\frac{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}} + \frac{4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}})}$

Etapa 11.9.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Etapa 11.9.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 11.9.6.1

Reescreva ${(1 + x)}^{2}$ como $(1 + x) (1 + x)$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{(1 + x) (1 + x) {(1 - x)}^{2} + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Etapa 11.9.6.2

Expanda $(1 + x) (1 + x)$ usando o método FOIL.

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Etapa 11.9.6.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{(1 (1 + x) + x (1 + x)) {(1 - x)}^{2} + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Etapa 11.9.6.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{(1 \cdot 1 + 1 x + x (1 + x)) {(1 - x)}^{2} + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Etapa 11.9.6.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{(1 \cdot 1 + 1 x + x \cdot 1 + x \cdot x) {(1 - x)}^{2} + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Etapa 11.9.6.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 11.9.6.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 11.9.6.3.1.1

Multiplique $1$ por $1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{(1 + 1 x + x \cdot 1 + x \cdot x) {(1 - x)}^{2} + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Etapa 11.9.6.3.1.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{(1 + x + x \cdot 1 + x \cdot x) {(1 - x)}^{2} + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Etapa 11.9.6.3.1.3

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{(1 + x + x + x \cdot x) {(1 - x)}^{2} + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Etapa 11.9.6.3.1.4

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{(1 + x + x + x^{2}) {(1 - x)}^{2} + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Etapa 11.9.6.3.2

Some $x$ e $x$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{(1 + 2 x + x^{2}) {(1 - x)}^{2} + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Etapa 11.9.6.4

Reescreva ${(1 - x)}^{2}$ como $(1 - x) (1 - x)$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{(1 + 2 x + x^{2}) ((1 - x) (1 - x)) + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Etapa 11.9.6.5

Expanda $(1 - x) (1 - x)$ usando o método FOIL.

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Etapa 11.9.6.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{(1 + 2 x + x^{2}) (1 (1 - x) - x (1 - x)) + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Etapa 11.9.6.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{(1 + 2 x + x^{2}) (1 \cdot 1 + 1 (- x) - x (1 - x)) + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Etapa 11.9.6.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{(1 + 2 x + x^{2}) (1 \cdot 1 + 1 (- x) - x \cdot 1 - x (- x)) + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Etapa 11.9.6.6

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 11.9.6.6.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 11.9.6.6.1.1

Multiplique $1$ por $1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{(1 + 2 x + x^{2}) (1 + 1 (- x) - x \cdot 1 - x (- x)) + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Etapa 11.9.6.6.1.2

Multiplique $- x$ por $1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{(1 + 2 x + x^{2}) (1 - x - x \cdot 1 - x (- x)) + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Etapa 11.9.6.6.1.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{(1 + 2 x + x^{2}) (1 - x - x - x (- x)) + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Etapa 11.9.6.6.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{(1 + 2 x + x^{2}) (1 - x - x - 1 \cdot - 1 x \cdot x) + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Etapa 11.9.6.6.1.5

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 11.9.6.6.1.5.1

Mova $x$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{(1 + 2 x + x^{2}) (1 - x - x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x)) + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Etapa 11.9.6.6.1.5.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{(1 + 2 x + x^{2}) (1 - x - x - 1 \cdot - 1 x^{2}) + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Etapa 11.9.6.6.1.6

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{(1 + 2 x + x^{2}) (1 - x - x + 1 x^{2}) + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Etapa 11.9.6.6.1.7

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{(1 + 2 x + x^{2}) (1 - x - x + x^{2}) + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Etapa 11.9.6.6.2

Subtraia $x$ de $- x$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{(1 + 2 x + x^{2}) (1 - 2 x + x^{2}) + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Etapa 11.9.6.7

Expanda $(1 + 2 x + x^{2}) (1 - 2 x + x^{2})$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{1 \cdot 1 + 1 (- 2 x) + 1 x^{2} + 2 x \cdot 1 + 2 x (- 2 x) + 2 x \cdot x^{2} + x^{2} \cdot 1 + x^{2} (- 2 x) + x^{2} x^{2} + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Etapa 11.9.6.8

Combine os termos opostos em $1 \cdot 1 + 1 (- 2 x) + 1 x^{2} + 2 x \cdot 1 + 2 x (- 2 x) + 2 x \cdot x^{2} + x^{2} \cdot 1 + x^{2} (- 2 x) + x^{2} x^{2}$ .

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Etapa 11.9.6.8.1

Reorganize os fatores nos termos $2 x \cdot x^{2}$ e $x^{2} (- 2 x)$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{1 \cdot 1 + 1 (- 2 x) + 1 x^{2} + 2 x \cdot 1 + 2 x (- 2 x) + 2 x^{2} x + x^{2} \cdot 1 - 2 x^{2} x + x^{2} x^{2} + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Etapa 11.9.6.8.2

Subtraia $2 x^{2} x$ de $2 x^{2} x$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{1 \cdot 1 + 1 (- 2 x) + 1 x^{2} + 2 x \cdot 1 + 2 x (- 2 x) + x^{2} \cdot 1 + 0 + x^{2} x^{2} + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Etapa 11.9.6.8.3

Some $1 \cdot 1 + 1 (- 2 x) + 1 x^{2} + 2 x \cdot 1 + 2 x (- 2 x) + x^{2} \cdot 1$ e $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{1 \cdot 1 + 1 (- 2 x) + 1 x^{2} + 2 x \cdot 1 + 2 x (- 2 x) + x^{2} \cdot 1 + x^{2} x^{2} + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Etapa 11.9.6.9

Simplifique cada termo.

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Etapa 11.9.6.9.1

Multiplique $1$ por $1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{1 + 1 (- 2 x) + 1 x^{2} + 2 x \cdot 1 + 2 x (- 2 x) + x^{2} \cdot 1 + x^{2} x^{2} + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Etapa 11.9.6.9.2

Multiplique $- 2 x$ por $1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{1 - 2 x + 1 x^{2} + 2 x \cdot 1 + 2 x (- 2 x) + x^{2} \cdot 1 + x^{2} x^{2} + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Etapa 11.9.6.9.3

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{1 - 2 x + x^{2} + 2 x \cdot 1 + 2 x (- 2 x) + x^{2} \cdot 1 + x^{2} x^{2} + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Etapa 11.9.6.9.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{1 - 2 x + x^{2} + 2 x + 2 x (- 2 x) + x^{2} \cdot 1 + x^{2} x^{2} + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Etapa 11.9.6.9.5

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{1 - 2 x + x^{2} + 2 x + 2 \cdot - 2 x \cdot x + x^{2} \cdot 1 + x^{2} x^{2} + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Etapa 11.9.6.9.6

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 11.9.6.9.6.1

Mova $x$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{1 - 2 x + x^{2} + 2 x + 2 \cdot - 2 (x \cdot x) + x^{2} \cdot 1 + x^{2} x^{2} + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Etapa 11.9.6.9.6.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{1 - 2 x + x^{2} + 2 x + 2 \cdot - 2 x^{2} + x^{2} \cdot 1 + x^{2} x^{2} + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Etapa 11.9.6.9.7

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{1 - 2 x + x^{2} + 2 x - 4 x^{2} + x^{2} \cdot 1 + x^{2} x^{2} + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Etapa 11.9.6.9.8

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{1 - 2 x + x^{2} + 2 x - 4 x^{2} + x^{2} + x^{2} x^{2} + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Etapa 11.9.6.9.9

Multiplique $x^{2}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 11.9.6.9.9.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{1 - 2 x + x^{2} + 2 x - 4 x^{2} + x^{2} + x^{2 + 2} + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Etapa 11.9.6.9.9.2

Some $2$ e $2$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{1 - 2 x + x^{2} + 2 x - 4 x^{2} + x^{2} + x^{4} + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Etapa 11.9.6.10

Combine os termos opostos em $1 - 2 x + x^{2} + 2 x - 4 x^{2} + x^{2} + x^{4}$ .

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Etapa 11.9.6.10.1

Some $- 2 x$ e $2 x$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{1 + x^{2} + 0 - 4 x^{2} + x^{2} + x^{4} + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Etapa 11.9.6.10.2

Some $1 + x^{2}$ e $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{1 + x^{2} - 4 x^{2} + x^{2} + x^{4} + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Etapa 11.9.6.11

Subtraia $4 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{1 - 3 x^{2} + x^{2} + x^{4} + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Etapa 11.9.6.12

Some $- 3 x^{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{1 - 2 x^{2} + x^{4} + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Etapa 11.9.6.13

Some $- 2 x^{2}$ e $4 x^{2}$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{1 + x^{4} + 2 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Etapa 11.9.6.14

Reordene os termos.

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{x^{4} + 2 x^{2} + 1}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Etapa 11.9.6.15

Reescreva $x^{4} + 2 x^{2} + 1$ em uma forma fatorada.

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Etapa 11.9.6.15.1

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{{(x^{2})}^{2} + 2 x^{2} + 1}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Etapa 11.9.6.15.2

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{u^{2} + 2 u + 1}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Etapa 11.9.6.15.3

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 11.9.6.15.3.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{u^{2} + 2 u + 1^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Etapa 11.9.6.15.3.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Etapa 11.9.6.15.3.3

Reescreva o polinômio.

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{u^{2} + 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Etapa 11.9.6.15.3.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , em que $a = u$ e $b = 1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{{(u + 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Etapa 11.9.6.15.4

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Etapa 11.9.7

Combine expoentes.

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Etapa 11.9.7.1

Combine $\frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}$ e ${(1 + x)}^{2}$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} {(1 + x)}^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}} {(1 - x)}^{2}}$

Etapa 11.9.7.2

Combine $\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} {(1 + x)}^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}$ e ${(1 - x)}^{2}$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} {(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Etapa 11.9.8

Reduza a expressão $\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} {(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}$ cancelando os fatores comuns.

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Etapa 11.9.8.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} {(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Etapa 11.9.8.2

Reescreva a expressão.

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} {(1 - x)}^{2}}{{(1 - x)}^{2}}}$

Etapa 11.9.9

Cancele o fator comum de ${(1 - x)}^{2}$ .

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Etapa 11.9.9.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} {(1 - x)}^{2}}{{(1 - x)}^{2}}}$

Etapa 11.9.9.2

Divida ${(x^{2} + 1)}^{2}$ por $1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 11.9.10

Reescreva ${(x^{2} + 1)}^{2}$ como $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)}$

Etapa 11.9.11

Expanda $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 11.9.11.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{x^{2} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1)}$

Etapa 11.9.11.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 (x^{2} + 1)}$

Etapa 11.9.11.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1}$

Etapa 11.9.12

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 11.9.12.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 11.9.12.1.1

Multiplique $x^{2}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 11.9.12.1.1.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1}$

Etapa 11.9.12.1.1.2

Some $2$ e $2$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{x^{4} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1}$

Etapa 11.9.12.1.2

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{x^{4} + x^{2} + 1 x^{2} + 1 \cdot 1}$

Etapa 11.9.12.1.3

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1 \cdot 1}$

Etapa 11.9.12.1.4

Multiplique $1$ por $1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1}$

Etapa 11.9.12.2

Some $x^{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{x^{4} + 2 x^{2} + 1}$

Etapa 11.9.13

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(x^{2})}^{2} + 2 x^{2} + 1}$

Etapa 11.9.14

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{u^{2} + 2 u + 1}$

Etapa 11.9.15

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 11.9.15.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{u^{2} + 2 u + 1^{2}}$

Etapa 11.9.15.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Etapa 11.9.15.3

Reescreva o polinômio.

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{u^{2} + 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2}}$

Etapa 11.9.15.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , em que $a = u$ e $b = 1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(u + 1)}^{2}}$

Etapa 11.9.16

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 11.10

Cancele o fator comum de $x^{2} + 1$ e ${(x^{2} + 1)}^{2}$ .

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Etapa 11.10.1

Fatore $x^{2} + 1$ de $2 (x^{2} + 1)$ .

$\frac{(x^{2} + 1) \cdot 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 11.10.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 11.10.2.1

Fatore $x^{2} + 1$ de ${(x^{2} + 1)}^{2}$ .

$\frac{(x^{2} + 1) \cdot 2}{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)}$

Etapa 11.10.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{(x^{2} + 1) \cdot 2}{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)}$

Etapa 11.10.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2}{x^{2} + 1}$