Álgebra Exemplos

$f (x) = \ln (6 x) + 5 e^{x}$

Etapa 1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\ln (6 x) + 5 e^{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\ln (6 x)] + \frac{d}{d x} [5 e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (6 x)] + \frac{d}{d x} [5 e^{x}]$

Etapa 2

Avalie $\frac{d}{d x} [\ln (6 x)]$ .

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 6 x$ .

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Etapa 2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $6 x$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [5 e^{x}]$

Etapa 2.1.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [5 e^{x}]$

Etapa 2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $6 x$ .

$\frac{1}{6 x} \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [5 e^{x}]$

Etapa 2.2

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{6 x} (6 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [5 e^{x}]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{6 x} (6 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [5 e^{x}]$

Etapa 2.4

Multiplique $6$ por $1$ .

$\frac{1}{6 x} \cdot 6 + \frac{d}{d x} [5 e^{x}]$

Etapa 2.5

Combine $\frac{1}{6 x}$ e $6$ .

$\frac{6}{6 x} + \frac{d}{d x} [5 e^{x}]$

Etapa 2.6

Cancele o fator comum de $6$ .

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Etapa 2.6.1

Cancele o fator comum.

$\frac{6}{6 x} + \frac{d}{d x} [5 e^{x}]$

Etapa 2.6.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [5 e^{x}]$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d x} [5 e^{x}]$ .

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Etapa 3.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 e^{x}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{1}{x} + 5 \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{1}{x} + 5 e^{x}$