Álgebra Exemplos

$f (t) = 2 t^{4} - \frac{5}{\sqrt{t}} - \frac{1}{t^{2}}$

Etapa 1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 t^{4} - \frac{5}{\sqrt{t}} - \frac{1}{t^{2}}$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [2 t^{4}] + \frac{d}{d t} [- \frac{5}{\sqrt{t}}] + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{t^{2}}]$ .

$\frac{d}{d t} [2 t^{4}] + \frac{d}{d t} [- \frac{5}{\sqrt{t}}] + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{t^{2}}]$

Etapa 2

Avalie $\frac{d}{d t} [2 t^{4}]$ .

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Etapa 2.1

Como $2$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $2 t^{4}$ em relação a $t$ é $2 \frac{d}{d t} [t^{4}]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [- \frac{5}{\sqrt{t}}] + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{t^{2}}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$2 (4 t^{3}) + \frac{d}{d t} [- \frac{5}{\sqrt{t}}] + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{t^{2}}]$

Etapa 2.3

Multiplique $4$ por $2$ .

$8 t^{3} + \frac{d}{d t} [- \frac{5}{\sqrt{t}}] + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{t^{2}}]$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d t} [- \frac{5}{\sqrt{t}}]$ .

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Etapa 3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{t}$ como $t^{\frac{1}{2}}$ .

$8 t^{3} + \frac{d}{d t} [- \frac{5}{t^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{t^{2}}]$

Etapa 3.2

Como $- 5$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- \frac{5}{t^{\frac{1}{2}}}$ em relação a $t$ é $- 5 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}]$ .

$8 t^{3} - 5 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{t^{2}}]$

Etapa 3.3

Reescreva $\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ como ${(t^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$8 t^{3} - 5 \frac{d}{d t} [{(t^{\frac{1}{2}})}^{- 1}] + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{t^{2}}]$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = t^{- 1}$ e $g (t) = t^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 3.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $t^{\frac{1}{2}}$ .

$8 t^{3} - 5 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]) + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{t^{2}}]$

Etapa 3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$8 t^{3} - 5 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]) + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{t^{2}}]$

Etapa 3.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $t^{\frac{1}{2}}$ .

$8 t^{3} - 5 (- {(t^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]) + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{t^{2}}]$

Etapa 3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$8 t^{3} - 5 (- {(t^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{t^{2}}]$

Etapa 3.6

Multiplique os expoentes em ${(t^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

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Etapa 3.6.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 t^{3} - 5 (- t^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{t^{2}}]$

Etapa 3.6.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.6.2.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$8 t^{3} - 5 (- t^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{t^{2}}]$

Etapa 3.6.2.2

Cancele o fator comum.

$8 t^{3} - 5 (- t^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{t^{2}}]$

Etapa 3.6.2.3

Reescreva a expressão.

$8 t^{3} - 5 (- t^{- 1} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{t^{2}}]$

Etapa 3.7

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$8 t^{3} - 5 (- t^{- 1} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{t^{2}}]$

Etapa 3.8

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$8 t^{3} - 5 (- t^{- 1} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{t^{2}}]$

Etapa 3.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$8 t^{3} - 5 (- t^{- 1} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{t^{2}}]$

Etapa 3.10

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.10.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$8 t^{3} - 5 (- t^{- 1} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}})) + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{t^{2}}]$

Etapa 3.10.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$8 t^{3} - 5 (- t^{- 1} (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}})) + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{t^{2}}]$

Etapa 3.11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$8 t^{3} - 5 (- t^{- 1} (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}})) + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{t^{2}}]$

Etapa 3.12

Combine $\frac{1}{2}$ e $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$8 t^{3} - 5 (- t^{- 1} \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{t^{2}}]$

Etapa 3.13

Combine $\frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$ e $t^{- 1}$ .

$8 t^{3} - 5 (- \frac{t^{- \frac{1}{2}} t^{- 1}}{2}) + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{t^{2}}]$

Etapa 3.14

Multiplique $t^{- \frac{1}{2}}$ por $t^{- 1}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.14.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$8 t^{3} - 5 (- \frac{t^{- \frac{1}{2} - 1}}{2}) + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{t^{2}}]$

Etapa 3.14.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$8 t^{3} - 5 (- \frac{t^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{2}) + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{t^{2}}]$

Etapa 3.14.3

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$8 t^{3} - 5 (- \frac{t^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{2}) + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{t^{2}}]$

Etapa 3.14.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$8 t^{3} - 5 (- \frac{t^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}}{2}) + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{t^{2}}]$

Etapa 3.14.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.14.5.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$8 t^{3} - 5 (- \frac{t^{\frac{- 1 - 2}{2}}}{2}) + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{t^{2}}]$

Etapa 3.14.5.2

Subtraia $2$ de $- 1$ .

$8 t^{3} - 5 (- \frac{t^{\frac{- 3}{2}}}{2}) + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{t^{2}}]$

Etapa 3.14.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$8 t^{3} - 5 (- \frac{t^{- \frac{3}{2}}}{2}) + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{t^{2}}]$

Etapa 3.15

Mova $t^{- \frac{3}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$8 t^{3} - 5 (- \frac{1}{2 t^{\frac{3}{2}}}) + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{t^{2}}]$

Etapa 3.16

Multiplique $- 1$ por $- 5$ .

$8 t^{3} + 5 \frac{1}{2 t^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{t^{2}}]$

Etapa 3.17

Combine $5$ e $\frac{1}{2 t^{\frac{3}{2}}}$ .

$8 t^{3} + \frac{5}{2 t^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{t^{2}}]$

Etapa 4

Avalie $\frac{d}{d t} [- \frac{1}{t^{2}}]$ .

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Etapa 4.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ é $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ , em que $f (t) = - 1$ e $g (t) = \frac{1}{t^{2}}$ .

$8 t^{3} + \frac{5}{2 t^{\frac{3}{2}}} - \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{2}}] + \frac{1}{t^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Etapa 4.2

Reescreva $\frac{1}{t^{2}}$ como ${(t^{2})}^{- 1}$ .

$8 t^{3} + \frac{5}{2 t^{\frac{3}{2}}} - \frac{d}{d t} [{(t^{2})}^{- 1}] + \frac{1}{t^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Etapa 4.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = t^{- 1}$ e $g (t) = t^{2}$ .

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Etapa 4.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $t^{2}$ .

$8 t^{3} + \frac{5}{2 t^{\frac{3}{2}}} - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d t} [t^{2}]) + \frac{1}{t^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Etapa 4.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$8 t^{3} + \frac{5}{2 t^{\frac{3}{2}}} - (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{2}]) + \frac{1}{t^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Etapa 4.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $t^{2}$ .

$8 t^{3} + \frac{5}{2 t^{\frac{3}{2}}} - (- {(t^{2})}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{2}]) + \frac{1}{t^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Etapa 4.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$8 t^{3} + \frac{5}{2 t^{\frac{3}{2}}} - (- {(t^{2})}^{- 2} (2 t)) + \frac{1}{t^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Etapa 4.5

Como $- 1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- 1$ em relação a $t$ é $0$ .

$8 t^{3} + \frac{5}{2 t^{\frac{3}{2}}} - (- {(t^{2})}^{- 2} (2 t)) + \frac{1}{t^{2}} \cdot 0$

Etapa 4.6

Multiplique os expoentes em ${(t^{2})}^{- 2}$ .

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Etapa 4.6.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 t^{3} + \frac{5}{2 t^{\frac{3}{2}}} - (- t^{2 \cdot - 2} (2 t)) + \frac{1}{t^{2}} \cdot 0$

Etapa 4.6.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$8 t^{3} + \frac{5}{2 t^{\frac{3}{2}}} - (- t^{- 4} (2 t)) + \frac{1}{t^{2}} \cdot 0$

Etapa 4.7

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$8 t^{3} + \frac{5}{2 t^{\frac{3}{2}}} - (- 2 t^{- 4} t) + \frac{1}{t^{2}} \cdot 0$

Etapa 4.8

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$8 t^{3} + \frac{5}{2 t^{\frac{3}{2}}} - (- 2 (t^{1} t^{- 4})) + \frac{1}{t^{2}} \cdot 0$

Etapa 4.9

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$8 t^{3} + \frac{5}{2 t^{\frac{3}{2}}} - (- 2 t^{1 - 4}) + \frac{1}{t^{2}} \cdot 0$

Etapa 4.10

Subtraia $4$ de $1$ .

$8 t^{3} + \frac{5}{2 t^{\frac{3}{2}}} - (- 2 t^{- 3}) + \frac{1}{t^{2}} \cdot 0$

Etapa 4.11

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$8 t^{3} + \frac{5}{2 t^{\frac{3}{2}}} + 2 t^{- 3} + \frac{1}{t^{2}} \cdot 0$

Etapa 4.12

Multiplique $\frac{1}{t^{2}}$ por $0$ .

$8 t^{3} + \frac{5}{2 t^{\frac{3}{2}}} + 2 t^{- 3} + 0$

Etapa 4.13

Some $2 t^{- 3}$ e $0$ .

$8 t^{3} + \frac{5}{2 t^{\frac{3}{2}}} + 2 t^{- 3}$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$8 t^{3} + \frac{5}{2 t^{\frac{3}{2}}} + 2 \frac{1}{t^{3}}$

Etapa 5.2

Combine $2$ e $\frac{1}{t^{3}}$ .

$8 t^{3} + \frac{5}{2 t^{\frac{3}{2}}} + \frac{2}{t^{3}}$

Etapa 5.3

Reordene os termos.

$8 t^{3} + \frac{2}{t^{3}} + \frac{5}{2 t^{\frac{3}{2}}}$