Álgebra Exemplos

$f (x) = \ln (| \ln (12 x) |)$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = | \ln (12 x) |$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $| \ln (12 x) |$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [| \ln (12 x) |]$

Etapa 1.2

A derivada de $\ln (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [| \ln (12 x) |]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $| \ln (12 x) |$ .

$\frac{1}{| \ln (12 x) |} \frac{d}{d x} [| \ln (12 x) |]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = | x |$ e $g (x) = \ln (12 x)$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $\ln (12 x)$ .

$\frac{1}{| \ln (12 x) |} (\frac{d}{d u_{2}} [| u_{2} |] \frac{d}{d x} [\ln (12 x)])$

Etapa 2.2

A derivada de $| u_{2} |$ em relação a $u_{2}$ é $\frac{u_{2}}{| u_{2} |}$ .

$\frac{1}{| \ln (12 x) |} (\frac{u_{2}}{| u_{2} |} \frac{d}{d x} [\ln (12 x)])$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $\ln (12 x)$ .

$\frac{1}{| \ln (12 x) |} (\frac{\ln (12 x)}{| \ln (12 x) |} \frac{d}{d x} [\ln (12 x)])$

Etapa 3

Multiplique $\frac{\ln (12 x)}{| \ln (12 x) |}$ por $\frac{1}{| \ln (12 x) |}$ .

$\frac{\ln (12 x)}{| \ln (12 x) | | \ln (12 x) |} \frac{d}{d x} [\ln (12 x)]$

Etapa 4

Para multiplicar valores absolutos, multiplique os termos dentro de cada um deles.

$\frac{\ln (12 x)}{| \ln (12 x) \ln (12 x) |} \frac{d}{d x} [\ln (12 x)]$

Etapa 5

Eleve $\ln (12 x)$ à potência de $1$ .

$\frac{\ln (12 x)}{| \ln^{1} (12 x) \ln (12 x) |} \frac{d}{d x} [\ln (12 x)]$

Etapa 6

Eleve $\ln (12 x)$ à potência de $1$ .

$\frac{\ln (12 x)}{| \ln^{1} (12 x) \ln^{1} (12 x) |} \frac{d}{d x} [\ln (12 x)]$

Etapa 7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\ln (12 x)}{| {\ln (12 x)}^{1 + 1} |} \frac{d}{d x} [\ln (12 x)]$

Etapa 8

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\ln (12 x)}{| \ln^{2} (12 x) |} \frac{d}{d x} [\ln (12 x)]$

Etapa 9

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 12 x$ .

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Etapa 9.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{3}$ como $12 x$ .

$\frac{\ln (12 x)}{| \ln^{2} (12 x) |} (\frac{d}{d u_{3}} [\ln (u_{3})] \frac{d}{d x} [12 x])$

Etapa 9.2

A derivada de $\ln (u_{3})$ em relação a $u_{3}$ é $\frac{1}{u_{3}}$ .

$\frac{\ln (12 x)}{| \ln^{2} (12 x) |} (\frac{1}{u_{3}} \frac{d}{d x} [12 x])$

Etapa 9.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{3}$ por $12 x$ .

$\frac{\ln (12 x)}{| \ln^{2} (12 x) |} (\frac{1}{12 x} \frac{d}{d x} [12 x])$

Etapa 10

Diferencie.

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Etapa 10.1

Multiplique $\frac{1}{12 x}$ por $\frac{\ln (12 x)}{| \ln^{2} (12 x) |}$ .

$\frac{\ln (12 x)}{12 x | \ln^{2} (12 x) |} \frac{d}{d x} [12 x]$

Etapa 10.2

Como $12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $12 x$ em relação a $x$ é $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\ln (12 x)}{12 x | \ln^{2} (12 x) |} (12 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 10.3

Simplifique os termos.

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Etapa 10.3.1

Combine $12$ e $\frac{\ln (12 x)}{12 x | \ln^{2} (12 x) |}$ .

$\frac{12 \ln (12 x)}{12 x | \ln^{2} (12 x) |} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 10.3.2

Cancele o fator comum de $12$ .

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Etapa 10.3.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{12 \ln (12 x)}{12 x | \ln^{2} (12 x) |} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 10.3.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\ln (12 x)}{x | \ln^{2} (12 x) |} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 10.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\ln (12 x)}{x | \ln^{2} (12 x) |} \cdot 1$

Etapa 10.5

Multiplique $\frac{\ln (12 x)}{x | \ln^{2} (12 x) |}$ por $1$ .

$\frac{\ln (12 x)}{x | \ln^{2} (12 x) |}$

Etapa 11

Simplifique.

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Etapa 11.1

Remova os termos não negativos do valor absoluto.

$\frac{\ln (12 x)}{x \ln^{2} (12 x)}$

Etapa 11.2

Cancele o fator comum de $\ln (12 x)$ e $\ln^{2} (12 x)$ .

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Etapa 11.2.1

Multiplique por $1$ .

$\frac{\ln (12 x) \cdot 1}{x \ln^{2} (12 x)}$

Etapa 11.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 11.2.2.1

Fatore $\ln (12 x)$ de $x \ln^{2} (12 x)$ .

$\frac{\ln (12 x) \cdot 1}{\ln (12 x) (x \ln (12 x))}$

Etapa 11.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{\ln (12 x) \cdot 1}{\ln (12 x) (x \ln (12 x))}$

Etapa 11.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{x \ln (12 x)}$