Álgebra Exemplos

$4 \tan^{-1} (e^{u} + \sin (v))$

Etapa 1

Como $4$ é constante em relação a $v$ , a derivada de $4 \tan^{-1} (e^{u} + \sin (v))$ em relação a $v$ é $4 \frac{d}{d v} [\tan^{-1} (e^{u} + \sin (v))]$ .

$4 \frac{d}{d v} [\tan^{-1} (e^{u} + \sin (v))]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d v} [f (g (v))]$ é $f' (g (v)) g' (v)$ , em que $f (v) = \tan^{-1} (v)$ e $g (v) = e^{u} + \sin (v)$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $e^{u} + \sin (v)$ .

$4 (\frac{d}{d u_{1}} [\tan^{-1} (u_{1})] \frac{d}{d v} [e^{u} + \sin (v)])$

Etapa 2.2

A derivada de $\tan^{-1} (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ .

$4 (\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} \frac{d}{d v} [e^{u} + \sin (v)])$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $e^{u} + \sin (v)$ .

$4 (\frac{1}{1 + {(e^{u} + \sin (v))}^{2}} \frac{d}{d v} [e^{u} + \sin (v)])$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

Combine $\frac{1}{1 + {(e^{u} + \sin (v))}^{2}}$ e $4$ .

$\frac{4}{1 + {(e^{u} + \sin (v))}^{2}} \frac{d}{d v} [e^{u} + \sin (v)]$

Etapa 3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $e^{u} + \sin (v)$ com relação a $v$ é $\frac{d}{d v} [e^{u}] + \frac{d}{d v} [\sin (v)]$ .

$\frac{4}{1 + {(e^{u} + \sin (v))}^{2}} (\frac{d}{d v} [e^{u}] + \frac{d}{d v} [\sin (v)])$

Etapa 3.3

Como $e^{u}$ é constante em relação a $v$ , a derivada de $e^{u}$ em relação a $v$ é $0$ .

$\frac{4}{1 + {(e^{u} + \sin (v))}^{2}} (0 + \frac{d}{d v} [\sin (v)])$

Etapa 3.4

Some $0$ e $\frac{d}{d v} [\sin (v)]$ .

$\frac{4}{1 + {(e^{u} + \sin (v))}^{2}} \frac{d}{d v} [\sin (v)]$

Etapa 4

A derivada de $\sin (v)$ em relação a $v$ é $\cos (v)$ .

$\frac{4}{1 + {(e^{u} + \sin (v))}^{2}} \cos (v)$

Etapa 5

Combine frações.

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Etapa 5.1

Combine $\frac{4}{1 + {(e^{u} + \sin (v))}^{2}}$ e $\cos (v)$ .

$\frac{4 \cos (v)}{1 + {(e^{u} + \sin (v))}^{2}}$

Etapa 5.2

Reordene os termos.

$\frac{4 \cos (v)}{{(e^{u} + \sin (v))}^{2} + 1}$