Álgebra Exemplos

$z = \sqrt{9 x y}$

Etapa 1

Reescreva $\frac{d}{d y} [\sqrt{9 x y}]$ como $\frac{d}{d y} [3 \sqrt{x y}]$ .

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Etapa 1.1

Reescreva $9 x y$ como $3^{2} (x y)$ .

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Etapa 1.1.1

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [\sqrt{3^{2} x y}]$

Etapa 1.1.2

Adicione parênteses.

$\frac{d}{d y} [\sqrt{3^{2} (x y)}]$

Etapa 1.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$\frac{d}{d y} [3 \sqrt{x y}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

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Etapa 2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x y}$ como ${(x y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d y} [3 {(x y)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 2.2

Como $3$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $3 {(x y)}^{\frac{1}{2}}$ em relação a $y$ é $3 \frac{d}{d y} [{(x y)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$3 \frac{d}{d y} [{(x y)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = y^{\frac{1}{2}}$ e $g (y) = x y$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x y$ .

$3 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d y} [x y])$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [x y])$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x y$ .

$3 (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [x y])$

Etapa 4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d y} [x y])$

Etapa 5

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [x y])$

Etapa 6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$3 (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [x y])$

Etapa 7

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$3 (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d y} [x y])$

Etapa 7.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$3 (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d y} [x y])$

Etapa 8

Combine frações.

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Etapa 8.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$3 (\frac{1}{2} {(x y)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x y])$

Etapa 8.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(x y)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$3 (\frac{{(x y)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d y} [x y])$

Etapa 8.3

Mova ${(x y)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 (\frac{1}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [x y])$

Etapa 8.4

Combine $\frac{1}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}}$ e $3$ .

$\frac{3}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [x y]$

Etapa 9

Como $x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $x y$ em relação a $y$ é $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{3}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}} (x \frac{d}{d y} [y])$

Etapa 10

Combine frações.

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Etapa 10.1

Combine $x$ e $\frac{3}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x \cdot 3}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 10.2

Mova $3$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{3 \cdot x}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 11

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{3 x}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Etapa 12

Multiplique $\frac{3 x}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}}$ por $1$ .

$\frac{3 x}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 13

Simplifique.

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Etapa 13.1

Aplique a regra do produto a $x y$ .

$\frac{3 x}{2 (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})}$

Etapa 13.2

Combine os termos.

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Etapa 13.2.1

Mova $x^{\frac{1}{2}}$ para o numerador usando a regra do expoente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{3 x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 13.2.2

Multiplique $x$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 13.2.2.1

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 (x^{- \frac{1}{2}} x)}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 13.2.2.2

Multiplique $x^{- \frac{1}{2}}$ por $x$ .

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Etapa 13.2.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{3 (x^{- \frac{1}{2}} x^{1})}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 13.2.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{3 x^{- \frac{1}{2} + 1}}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 13.2.2.3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{3 x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 13.2.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{3 x^{\frac{- 1 + 2}{2}}}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 13.2.2.5

Some $- 1$ e $2$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2 y^{\frac{1}{2}}}$