Álgebra Exemplos

$- (y - 4) = x + 9$ , $x - \frac{8}{3} y = 0$

Etapa 1

Coloque cada equação do plano na forma padrão.

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Etapa 1.1

Simplifique.

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Etapa 1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- y - - 4 = x + 9, x - \frac{8}{3} y = 0$

Etapa 1.1.2

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$- y + 4 = x + 9, x - \frac{8}{3} y = 0$

Etapa 1.2

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$- y = x + 9 - 4, x - \frac{8}{3} y = 0$

Etapa 1.3

Subtraia $x$ dos dois lados da equação.

$- y - x = 9 - 4, x - \frac{8}{3} y = 0$

Etapa 1.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.4.1

Combine $y$ e $\frac{8}{3}$ .

$- y - x = 9 - 4, x - \frac{y \cdot 8}{3} = 0$

Etapa 1.4.2

Mova $8$ para a esquerda de $y$ .

$- y - x = 9 - 4, x - \frac{8 y}{3} = 0$

Etapa 1.5

Subtraia $4$ de $9$ .

$- y - x = 5, x - \frac{8 y}{3} = 0$

Etapa 2

Para encontrar a intersecção da reta através de um ponto $(p, q, r)$ perpendicular ao plano $P_{1}$ $a x + b y + c z = d$ e ao plano $P_{2}$ $e x + f y + g z = h$ :

1. Encontre os vetores normais do plano $P_{1}$ e do plano $P_{2}$ , em que os vetores normais são $n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ e $n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ . Verifique se o produto escalar é 0.

2. Crie um conjunto de equações paramétricas como $x = p + a t$ , $y = q + b t$ e $z = r + c t$ .

3. Substitua essas equações na equação do plano $P_{2}$ , como $e (p + a t) + f (q + b t) + g (r + c t) = h$ , e resolva $t$ .

4. Usando o valor de $t$ , resolva as equações paramétricas $x = p + a t$ , $y = q + b t$ e $z = r + c t$ para $t$ para encontrar a intersecção $(x, y, z)$ .

Etapa 3

Encontre os vetores normais de cada plano e determine se eles são perpendiculares ao calcular o produto escalar.

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Etapa 3.1

$P_{1}$ é $- y - x = 5$ . Encontre o vetor normal $n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ da equação do plano da forma $a x + b y + c z = d$ .

$n_{1} = ⟨ - 1, - 1, 0 ⟩$

Etapa 3.2

$P_{2}$ é $x - \frac{8 y}{3} = 0$ . Encontre o vetor normal $n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ da equação do plano da forma $e x + f y + g z = h$ .

$n_{2} = ⟨ 1, - \frac{8}{3}, 0 ⟩$

Etapa 3.3

Calcule o produto escalar de $n_{1}$ e $n_{2}$ com a soma dos produtos dos valores de $x$ , $y$ e $z$ correspondentes nos vetores normais.

$- 1 \cdot 1 - 1 \cdot (- \frac{8}{3}) + 0 \cdot 0$

Etapa 3.4

Simplifique o produto escalar.

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Etapa 3.4.1

Remova os parênteses.

$- 1 \cdot 1 - 1 \cdot (- \frac{8}{3}) + 0 \cdot 0$

Etapa 3.4.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.4.2.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 1 - 1 \cdot (- \frac{8}{3}) + 0 \cdot 0$

Etapa 3.4.2.2

Multiplique $- 1 (- \frac{8}{3})$ .

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Etapa 3.4.2.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- 1 + 1 (\frac{8}{3}) + 0 \cdot 0$

Etapa 3.4.2.2.2

Multiplique $\frac{8}{3}$ por $1$ .

$- 1 + \frac{8}{3} + 0 \cdot 0$

Etapa 3.4.2.3

Multiplique $0$ por $0$ .

$- 1 + \frac{8}{3} + 0$

Etapa 3.4.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$- 1 \cdot \frac{3}{3} + \frac{8}{3} + 0$

Etapa 3.4.4

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{8}{3} + 0$

Etapa 3.4.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 1 \cdot 3 + 8}{3} + 0$

Etapa 3.4.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.4.6.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{- 3 + 8}{3} + 0$

Etapa 3.4.6.2

Some $- 3$ e $8$ .

$\frac{5}{3} + 0$

Etapa 3.4.7

Some $\frac{5}{3}$ e $0$ .

$\frac{5}{3}$

Etapa 4

Em seguida, crie um conjunto de equações paramétricas $x = p + a t$ , $y = q + b t$ e $z = r + c t$ usando a origem $(0, 0, 0)$ para o ponto $(p, q, r)$ e os valores do vetor normal $\frac{5}{3}$ para os valores de $a$ , $b$ e $c$ . Esse conjunto de equações paramétricas representa a reta através da origem que é perpendicular a $P_{1}$ $- y - x = 5$ .

$x = 0 + - 1 \cdot t$

$y = 0 + - 1 \cdot t$

$z = 0 + 0 \cdot t$

Etapa 5

Substitua a expressão de $x$ , $y$ e $z$ na equação por $P_{2}$ $x - \frac{8 y}{3} = 0$ .

$(0 - 1 \cdot t) - \frac{8 (0 - 1 \cdot t)}{3} = 0$

Etapa 6

Resolva a equação para $t$ .

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Etapa 6.1

Simplifique $(0 - 1 \cdot t) - \frac{8 (0 - 1 \cdot t)}{3}$ .

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Etapa 6.1.1

Combine os termos opostos em $(0 - 1 \cdot t) - \frac{8 (0 - 1 \cdot t)}{3}$ .

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Etapa 6.1.1.1

Subtraia $1 \cdot t$ de $0$ .

$- 1 \cdot t - \frac{8 (0 - 1 \cdot t)}{3} = 0$

Etapa 6.1.1.2

Subtraia $1 \cdot t$ de $0$ .

$- 1 \cdot t - \frac{8 (- 1 \cdot t)}{3} = 0$

Etapa 6.1.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.1.2.1

Reescreva $- 1 t$ como $- t$ .

$- t - \frac{8 (- 1 \cdot t)}{3} = 0$

Etapa 6.1.2.2

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$- t - \frac{- 8 t}{3} = 0$

Etapa 6.1.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- t - - \frac{8 t}{3} = 0$

Etapa 6.1.2.4

Multiplique $- - \frac{8 t}{3}$ .

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Etapa 6.1.2.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- t + 1 \frac{8 t}{3} = 0$

Etapa 6.1.2.4.2

Multiplique $\frac{8 t}{3}$ por $1$ .

$- t + \frac{8 t}{3} = 0$

Etapa 6.1.3

Para escrever $- t$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$- t \cdot \frac{3}{3} + \frac{8 t}{3} = 0$

Etapa 6.1.4

Simplifique os termos.

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Etapa 6.1.4.1

Combine $- t$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- t \cdot 3}{3} + \frac{8 t}{3} = 0$

Etapa 6.1.4.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- t \cdot 3 + 8 t}{3} = 0$

Etapa 6.1.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1.5.1

Fatore $t$ de $- t \cdot 3 + 8 t$ .

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Etapa 6.1.5.1.1

Fatore $t$ de $- t \cdot 3$ .

$\frac{t (- 1 \cdot 3) + 8 t}{3} = 0$

Etapa 6.1.5.1.2

Fatore $t$ de $8 t$ .

$\frac{t (- 1 \cdot 3) + t \cdot 8}{3} = 0$

Etapa 6.1.5.1.3

Fatore $t$ de $t (- 1 \cdot 3) + t \cdot 8$ .

$\frac{t (- 1 \cdot 3 + 8)}{3} = 0$

Etapa 6.1.5.2

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{t (- 3 + 8)}{3} = 0$

Etapa 6.1.5.3

Some $- 3$ e $8$ .

$\frac{t \cdot 5}{3} = 0$

Etapa 6.1.6

Mova $5$ para a esquerda de $t$ .

$\frac{5 t}{3} = 0$

Etapa 6.2

Defina o numerador como igual a zero.

$5 t = 0$

Etapa 6.3

Divida cada termo em $5 t = 0$ por $5$ e simplifique.

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Etapa 6.3.1

Divida cada termo em $5 t = 0$ por $5$ .

$\frac{5 t}{5} = \frac{0}{5}$

Etapa 6.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.3.2.1

Cancele o fator comum de $5$ .

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Etapa 6.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{5 t}{5} = \frac{0}{5}$

Etapa 6.3.2.1.2

Divida $t$ por $1$ .

$t = \frac{0}{5}$

Etapa 6.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.3.3.1

Divida $0$ por $5$ .

$t = 0$

Etapa 7

Resolva as equações paramétricas para $x$ , $y$ e $z$ usando o valor de $t$ .

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Etapa 7.1

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 7.1.1

Remova os parênteses.

$x = 0 - 1 \cdot 0$

Etapa 7.1.2

Subtraia $0$ de $0$ .

$x = 0$

Etapa 7.2

Resolva a equação para $y$ .

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Etapa 7.2.1

Remova os parênteses.

$y = 0 - 1 \cdot 0$

Etapa 7.2.2

Subtraia $0$ de $0$ .

$y = 0$

Etapa 7.3

Resolva a equação para $z$ .

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Etapa 7.3.1

Remova os parênteses.

$z = 0 + 0 \cdot (0)$

Etapa 7.3.2

Simplifique $0 + 0 \cdot (0)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.1

Multiplique $0$ por $0$ .

$z = 0 + 0$

Etapa 7.3.2.2

Some $0$ e $0$ .

$z = 0$

Etapa 7.4

As equações paramétricas resolvidas para $x$ , $y$ e $z$ .

$x = 0$

$y = 0$

$z = 0$

$x = 0$

$y = 0$

$z = 0$

Etapa 8

Usando os valores calculados para $x$ , $y$ e $z$ , o ponto de intersecção encontrado é $(0, 0, 0)$ .

$(0, 0, 0)$