Álgebra Exemplos

$3 x + 4 = y$ , $2 y - 3 = x$

Etapa 1

Coloque cada equação do plano na forma padrão.

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Etapa 1.1

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$3 x = y - 4, 2 y - 3 = x$

Etapa 1.2

Subtraia $y$ dos dois lados da equação.

$3 x - y = - 4, 2 y - 3 = x$

Etapa 1.3

Some $3$ aos dois lados da equação.

$3 x - y = - 4, 2 y = x + 3$

Etapa 1.4

Subtraia $x$ dos dois lados da equação.

$3 x - y = - 4, 2 y - x = 3$

Etapa 2

Para encontrar a intersecção da reta através de um ponto $(p, q, r)$ perpendicular ao plano $P_{1}$ $a x + b y + c z = d$ e ao plano $P_{2}$ $e x + f y + g z = h$ :

1. Encontre os vetores normais do plano $P_{1}$ e do plano $P_{2}$ , em que os vetores normais são $n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ e $n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ . Verifique se o produto escalar é 0.

2. Crie um conjunto de equações paramétricas como $x = p + a t$ , $y = q + b t$ e $z = r + c t$ .

3. Substitua essas equações na equação do plano $P_{2}$ , como $e (p + a t) + f (q + b t) + g (r + c t) = h$ , e resolva $t$ .

4. Usando o valor de $t$ , resolva as equações paramétricas $x = p + a t$ , $y = q + b t$ e $z = r + c t$ para $t$ para encontrar a intersecção $(x, y, z)$ .

Etapa 3

Encontre os vetores normais de cada plano e determine se eles são perpendiculares ao calcular o produto escalar.

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Etapa 3.1

$P_{1}$ é $3 x - y = - 4$ . Encontre o vetor normal $n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ da equação do plano da forma $a x + b y + c z = d$ .

$n_{1} = ⟨ 3, - 1, 0 ⟩$

Etapa 3.2

$P_{2}$ é $2 y - x = 3$ . Encontre o vetor normal $n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ da equação do plano da forma $e x + f y + g z = h$ .

$n_{2} = ⟨ - 1, 2, 0 ⟩$

Etapa 3.3

Calcule o produto escalar de $n_{1}$ e $n_{2}$ com a soma dos produtos dos valores de $x$ , $y$ e $z$ correspondentes nos vetores normais.

$3 \cdot - 1 - 1 \cdot 2 + 0 \cdot 0$

Etapa 3.4

Simplifique o produto escalar.

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Etapa 3.4.1

Remova os parênteses.

$3 \cdot - 1 - 1 \cdot 2 + 0 \cdot 0$

Etapa 3.4.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.4.2.1

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$- 3 - 1 \cdot 2 + 0 \cdot 0$

Etapa 3.4.2.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- 3 - 2 + 0 \cdot 0$

Etapa 3.4.2.3

Multiplique $0$ por $0$ .

$- 3 - 2 + 0$

Etapa 3.4.3

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 3.4.3.1

Subtraia $2$ de $- 3$ .

$- 5 + 0$

Etapa 3.4.3.2

Some $- 5$ e $0$ .

$- 5$

Etapa 4

Em seguida, crie um conjunto de equações paramétricas $x = p + a t$ , $y = q + b t$ e $z = r + c t$ usando a origem $(0, 0, 0)$ para o ponto $(p, q, r)$ e os valores do vetor normal $- 5$ para os valores de $a$ , $b$ e $c$ . Esse conjunto de equações paramétricas representa a reta através da origem que é perpendicular a $P_{1}$ $3 x - y = - 4$ .

$x = 0 + 3 \cdot t$

$y = 0 + - 1 \cdot t$

$z = 0 + 0 \cdot t$

Etapa 5

Substitua a expressão de $x$ , $y$ e $z$ na equação por $P_{2}$ $2 y - x = 3$ .

$2 (0 - 1 \cdot t) - (0 + 3 \cdot t) = 3$

Etapa 6

Resolva a equação para $t$ .

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Etapa 6.1

Simplifique $2 (0 - 1 \cdot t) - (0 + 3 \cdot t)$ .

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Etapa 6.1.1

Combine os termos opostos em $2 (0 - 1 \cdot t) - (0 + 3 \cdot t)$ .

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Etapa 6.1.1.1

Subtraia $1 \cdot t$ de $0$ .

$2 (- 1 \cdot t) - (0 + 3 \cdot t) = 3$

Etapa 6.1.1.2

Some $0$ e $3 \cdot t$ .

$2 (- 1 \cdot t) - (3 \cdot t) = 3$

Etapa 6.1.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.1.2.1

Reescreva $- 1 t$ como $- t$ .

$2 (- t) - (3 \cdot t) = 3$

Etapa 6.1.2.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- 2 t - (3 \cdot t) = 3$

Etapa 6.1.2.3

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$- 2 t - 3 t = 3$

Etapa 6.1.3

Subtraia $3 t$ de $- 2 t$ .

$- 5 t = 3$

Etapa 6.2

Divida cada termo em $- 5 t = 3$ por $- 5$ e simplifique.

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Etapa 6.2.1

Divida cada termo em $- 5 t = 3$ por $- 5$ .

$\frac{- 5 t}{- 5} = \frac{3}{- 5}$

Etapa 6.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 5$ .

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Etapa 6.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 5 t}{- 5} = \frac{3}{- 5}$

Etapa 6.2.2.1.2

Divida $t$ por $1$ .

$t = \frac{3}{- 5}$

Etapa 6.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$t = - \frac{3}{5}$

Etapa 7

Resolva as equações paramétricas para $x$ , $y$ e $z$ usando o valor de $t$ .

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Etapa 7.1

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 7.1.1

Remova os parênteses.

$x = 0 + 3 \cdot (- 1 (\frac{3}{5}))$

Etapa 7.1.2

Remova os parênteses.

$x = 0 + 3 \cdot (- \frac{3}{5})$

Etapa 7.1.3

Simplifique $0 + 3 \cdot (- \frac{3}{5})$ .

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Etapa 7.1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.1.3.1.1

Multiplique $3 (- \frac{3}{5})$ .

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Etapa 7.1.3.1.1.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$x = 0 - 3 (\frac{3}{5})$

Etapa 7.1.3.1.1.2

Combine $- 3$ e $\frac{3}{5}$ .

$x = 0 + \frac{- 3 \cdot 3}{5}$

Etapa 7.1.3.1.1.3

Multiplique $- 3$ por $3$ .

$x = 0 + \frac{- 9}{5}$

Etapa 7.1.3.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = 0 - \frac{9}{5}$

Etapa 7.1.3.2

Subtraia $\frac{9}{5}$ de $0$ .

$x = - \frac{9}{5}$

Etapa 7.2

Resolva a equação para $y$ .

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Etapa 7.2.1

Remova os parênteses.

$y = 0 - 1 \cdot (- 1 (\frac{3}{5}))$

Etapa 7.2.2

Remova os parênteses.

$y = 0 - 1 \cdot (- \frac{3}{5})$

Etapa 7.2.3

Simplifique $0 - 1 \cdot (- \frac{3}{5})$ .

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Etapa 7.2.3.1

Multiplique $- 1 (- \frac{3}{5})$ .

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Etapa 7.2.3.1.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$y = 0 + 1 (\frac{3}{5})$

Etapa 7.2.3.1.2

Multiplique $\frac{3}{5}$ por $1$ .

$y = 0 + \frac{3}{5}$

Etapa 7.2.3.2

Some $0$ e $\frac{3}{5}$ .

$y = \frac{3}{5}$

Etapa 7.3

Resolva a equação para $z$ .

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Etapa 7.3.1

Remova os parênteses.

$z = 0 + 0 \cdot (- 1 (\frac{3}{5}))$

Etapa 7.3.2

Remova os parênteses.

$z = 0 + 0 \cdot (- \frac{3}{5})$

Etapa 7.3.3

Simplifique $0 + 0 \cdot (- \frac{3}{5})$ .

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Etapa 7.3.3.1

Multiplique $0 (- \frac{3}{5})$ .

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Etapa 7.3.3.1.1

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$z = 0 + 0 (\frac{3}{5})$

Etapa 7.3.3.1.2

Multiplique $0$ por $\frac{3}{5}$ .

$z = 0 + 0$

Etapa 7.3.3.2

Some $0$ e $0$ .

$z = 0$

Etapa 7.4

As equações paramétricas resolvidas para $x$ , $y$ e $z$ .

$x = - \frac{9}{5}$

$y = \frac{3}{5}$

$z = 0$

$x = - \frac{9}{5}$

$y = \frac{3}{5}$

$z = 0$

Etapa 8

Usando os valores calculados para $x$ , $y$ e $z$ , o ponto de intersecção encontrado é $(- \frac{9}{5}, \frac{3}{5}, 0)$ .

$(- \frac{9}{5}, \frac{3}{5}, 0)$