Álgebra Exemplos

$\frac{1}{2}$ , $\frac{1}{3}$ , $\frac{1}{7}$

Etapa 1

Raízes são pontos em que o gráfico faz intersecção com o eixo x $(y = 0)$ .

$y = 0$ na raiz

Etapa 2

A raiz em $x = \frac{1}{2}$ foi encontrada ao resolver $x$ quando $x - (\frac{1}{2}) = y$ e $y = 0$ .

O fator é $x - \frac{1}{2}$

Etapa 3

A raiz em $x = \frac{1}{3}$ foi encontrada ao resolver $x$ quando $x - (\frac{1}{3}) = y$ e $y = 0$ .

O fator é $x - \frac{1}{3}$

Etapa 4

A raiz em $x = \frac{1}{7}$ foi encontrada ao resolver $x$ quando $x - (\frac{1}{7}) = y$ e $y = 0$ .

O fator é $x - \frac{1}{7}$

Etapa 5

Combine todos os fatores em uma única equação.

$y = (x - \frac{1}{2}) (x - \frac{1}{3}) (x - \frac{1}{7})$

Etapa 6

Multiplique todos os fatores para simplificar a equação $y = (x - \frac{1}{2}) (x - \frac{1}{3}) (x - \frac{1}{7})$ .

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Etapa 6.1

Expanda $(x - \frac{1}{2}) (x - \frac{1}{3})$ usando o método FOIL.

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Etapa 6.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = (x (x - \frac{1}{3}) - \frac{1}{2} \cdot (x - \frac{1}{3})) (x - \frac{1}{7})$

Etapa 6.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y = (x \cdot x + x (- \frac{1}{3}) - \frac{1}{2} \cdot (x - \frac{1}{3})) (x - \frac{1}{7})$

Etapa 6.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = (x \cdot x + x (- \frac{1}{3}) - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{3})) (x - \frac{1}{7})$

Etapa 6.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.2.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$y = (x^{2} + x (- \frac{1}{3}) - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{3})) (x - \frac{1}{7})$

Etapa 6.2.1.2

Combine $x$ e $\frac{1}{3}$ .

$y = (x^{2} - \frac{x}{3} - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{3})) (x - \frac{1}{7})$

Etapa 6.2.1.3

Combine $x$ e $\frac{1}{2}$ .

$y = (x^{2} - \frac{x}{3} - \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{3})) (x - \frac{1}{7})$

Etapa 6.2.1.4

Multiplique $- \frac{1}{2} (- \frac{1}{3})$ .

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Etapa 6.2.1.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$y = (x^{2} - \frac{x}{3} - \frac{x}{2} + 1 (\frac{1}{2}) \cdot \frac{1}{3}) (x - \frac{1}{7})$

Etapa 6.2.1.4.2

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$y = (x^{2} - \frac{x}{3} - \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}) (x - \frac{1}{7})$

Etapa 6.2.1.4.3

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{3}$ .

$y = (x^{2} - \frac{x}{3} - \frac{x}{2} + \frac{1}{2 \cdot 3}) (x - \frac{1}{7})$

Etapa 6.2.1.4.4

Multiplique $2$ por $3$ .

$y = (x^{2} - \frac{x}{3} - \frac{x}{2} + \frac{1}{6}) (x - \frac{1}{7})$

Etapa 6.2.2

Para escrever $- \frac{x}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$y = (x^{2} - \frac{x}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{x}{2} + \frac{1}{6}) (x - \frac{1}{7})$

Etapa 6.2.3

Para escrever $- \frac{x}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$y = (x^{2} - \frac{x}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{x}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{6}) (x - \frac{1}{7})$

Etapa 6.2.4

Escreva cada expressão com um denominador comum de $6$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 6.2.4.1

Multiplique $\frac{x}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$y = (x^{2} - \frac{x \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{x}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{6}) (x - \frac{1}{7})$

Etapa 6.2.4.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$y = (x^{2} - \frac{x \cdot 2}{6} - \frac{x}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{6}) (x - \frac{1}{7})$

Etapa 6.2.4.3

Multiplique $\frac{x}{2}$ por $\frac{3}{3}$ .

$y = (x^{2} - \frac{x \cdot 2}{6} - \frac{x \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{1}{6}) (x - \frac{1}{7})$

Etapa 6.2.4.4

Multiplique $2$ por $3$ .

$y = (x^{2} - \frac{x \cdot 2}{6} - \frac{x \cdot 3}{6} + \frac{1}{6}) (x - \frac{1}{7})$

Etapa 6.2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = (x^{2} + \frac{- x \cdot 2 - x \cdot 3}{6} + \frac{1}{6}) (x - \frac{1}{7})$

Etapa 6.2.6

Para escrever $x^{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{6}{6}$ .

$y = (x^{2} \cdot \frac{6}{6} + \frac{- x \cdot 2 - x \cdot 3}{6} + \frac{1}{6}) (x - \frac{1}{7})$

Etapa 6.2.7

Combine $x^{2}$ e $\frac{6}{6}$ .

$y = (\frac{x^{2} \cdot 6}{6} + \frac{- x \cdot 2 - x \cdot 3}{6} + \frac{1}{6}) (x - \frac{1}{7})$

Etapa 6.2.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = (\frac{x^{2} \cdot 6 - x \cdot 2 - x \cdot 3}{6} + \frac{1}{6}) (x - \frac{1}{7})$

Etapa 6.2.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{x^{2} \cdot 6 - x \cdot 2 - x \cdot 3 + 1}{6} \cdot (x - \frac{1}{7})$

Etapa 6.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.3.1

Reordene os termos.

$y = \frac{6 x^{2} - 1 \cdot (2 x) - 1 \cdot (3 x) + 1}{6} \cdot (x - \frac{1}{7})$

Etapa 6.3.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 6.3.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$y = \frac{(6 x^{2} - 1 \cdot (2 x)) - 1 \cdot (3 x) + 1}{6} \cdot (x - \frac{1}{7})$

Etapa 6.3.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$y = \frac{2 x (3 x - 1) - (3 x - 1)}{6} \cdot (x - \frac{1}{7})$

Etapa 6.3.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $3 x - 1$ .

$y = \frac{(3 x - 1) (2 x - 1)}{6} \cdot (x - \frac{1}{7})$

Etapa 6.4

Simplifique os termos.

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Etapa 6.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{(3 x - 1) (2 x - 1)}{6} \cdot x + \frac{(3 x - 1) (2 x - 1)}{6} \cdot (- \frac{1}{7})$

Etapa 6.4.2

Combine $\frac{(3 x - 1) (2 x - 1)}{6}$ e $x$ .

$y = \frac{(3 x - 1) (2 x - 1) x}{6} + \frac{(3 x - 1) (2 x - 1)}{6} \cdot (- \frac{1}{7})$

Etapa 6.5

Multiplique $\frac{(3 x - 1) (2 x - 1)}{6} (- \frac{1}{7})$ .

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Etapa 6.5.1

Multiplique $\frac{(3 x - 1) (2 x - 1)}{6}$ por $\frac{1}{7}$ .

$y = \frac{(3 x - 1) (2 x - 1) x}{6} - \frac{(3 x - 1) (2 x - 1)}{6 \cdot 7}$

Etapa 6.5.2

Multiplique $6$ por $7$ .

$y = \frac{(3 x - 1) (2 x - 1) x}{6} - \frac{(3 x - 1) (2 x - 1)}{42}$

Etapa 6.6

Para escrever $\frac{(3 x - 1) (2 x - 1) x}{6}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{7}{7}$ .

$y = \frac{(3 x - 1) (2 x - 1) x}{6} \cdot \frac{7}{7} - \frac{(3 x - 1) (2 x - 1)}{42}$

Etapa 6.7

Escreva cada expressão com um denominador comum de $42$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 6.7.1

Multiplique $\frac{(3 x - 1) (2 x - 1) x}{6}$ por $\frac{7}{7}$ .

$y = \frac{(3 x - 1) (2 x - 1) x \cdot 7}{6 \cdot 7} - \frac{(3 x - 1) (2 x - 1)}{42}$

Etapa 6.7.2

Multiplique $6$ por $7$ .

$y = \frac{(3 x - 1) (2 x - 1) x \cdot 7}{42} - \frac{(3 x - 1) (2 x - 1)}{42}$

Etapa 6.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{(3 x - 1) (2 x - 1) x \cdot 7 - (3 x - 1) (2 x - 1)}{42}$

Etapa 6.9

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.9.1

Fatore $(3 x - 1) (2 x - 1)$ de $(3 x - 1) (2 x - 1) x \cdot 7 - (3 x - 1) (2 x - 1)$ .

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Etapa 6.9.1.1

Fatore $(3 x - 1) (2 x - 1)$ de $(3 x - 1) (2 x - 1) x \cdot 7$ .

$y = \frac{(3 x - 1) (2 x - 1) (x \cdot 7) - (3 x - 1) (2 x - 1)}{42}$

Etapa 6.9.1.2

Fatore $(3 x - 1) (2 x - 1)$ de $- (3 x - 1) (2 x - 1)$ .

$y = \frac{(3 x - 1) (2 x - 1) (x \cdot 7) + (3 x - 1) (2 x - 1) (- 1)}{42}$

Etapa 6.9.1.3

Fatore $(3 x - 1) (2 x - 1)$ de $(3 x - 1) (2 x - 1) (x \cdot 7) + (3 x - 1) (2 x - 1) (- 1)$ .

$y = \frac{(3 x - 1) (2 x - 1) (x \cdot 7 - 1)}{42}$

Etapa 6.9.2

Mova $7$ para a esquerda de $x$ .

$y = \frac{(3 x - 1) (2 x - 1) (7 x - 1)}{42}$

Etapa 6.10

Expanda $(3 x - 1) (2 x - 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 6.10.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{(3 x (2 x - 1) - 1 (2 x - 1)) (7 x - 1)}{42}$

Etapa 6.10.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{(3 x (2 x) + 3 x \cdot - 1 - 1 (2 x - 1)) (7 x - 1)}{42}$

Etapa 6.10.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{(3 x (2 x) + 3 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) (7 x - 1)}{42}$

Etapa 6.11

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 6.11.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.11.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$y = \frac{(3 \cdot (2 x \cdot x) + 3 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) (7 x - 1)}{42}$

Etapa 6.11.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 6.11.1.2.1

Mova $x$ .

$y = \frac{(3 \cdot (2 (x \cdot x)) + 3 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) (7 x - 1)}{42}$

Etapa 6.11.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$y = \frac{(3 \cdot (2 x^{2}) + 3 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) (7 x - 1)}{42}$

Etapa 6.11.1.3

Multiplique $3$ por $2$ .

$y = \frac{(6 x^{2} + 3 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) (7 x - 1)}{42}$

Etapa 6.11.1.4

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$y = \frac{(6 x^{2} - 3 x - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) (7 x - 1)}{42}$

Etapa 6.11.1.5

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$y = \frac{(6 x^{2} - 3 x - 2 x - 1 \cdot - 1) (7 x - 1)}{42}$

Etapa 6.11.1.6

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$y = \frac{(6 x^{2} - 3 x - 2 x + 1) (7 x - 1)}{42}$

Etapa 6.11.2

Subtraia $2 x$ de $- 3 x$ .

$y = \frac{(6 x^{2} - 5 x + 1) (7 x - 1)}{42}$

Etapa 6.12

Expanda $(6 x^{2} - 5 x + 1) (7 x - 1)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$y = \frac{6 x^{2} (7 x) + 6 x^{2} \cdot - 1 - 5 x (7 x) - 5 x \cdot - 1 + 1 (7 x) + 1 \cdot - 1}{42}$

Etapa 6.13

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.13.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$y = \frac{6 \cdot (7 x^{2} x) + 6 x^{2} \cdot - 1 - 5 x (7 x) - 5 x \cdot - 1 + 1 (7 x) + 1 \cdot - 1}{42}$

Etapa 6.13.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 6.13.2.1

Mova $x$ .

$y = \frac{6 \cdot (7 (x \cdot x^{2})) + 6 x^{2} \cdot - 1 - 5 x (7 x) - 5 x \cdot - 1 + 1 (7 x) + 1 \cdot - 1}{42}$

Etapa 6.13.2.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 6.13.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$y = \frac{6 \cdot (7 (x \cdot x^{2})) + 6 x^{2} \cdot - 1 - 5 x (7 x) - 5 x \cdot - 1 + 1 (7 x) + 1 \cdot - 1}{42}$

Etapa 6.13.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y = \frac{6 \cdot (7 x^{1 + 2}) + 6 x^{2} \cdot - 1 - 5 x (7 x) - 5 x \cdot - 1 + 1 (7 x) + 1 \cdot - 1}{42}$

Etapa 6.13.2.3

Some $1$ e $2$ .

$y = \frac{6 \cdot (7 x^{3}) + 6 x^{2} \cdot - 1 - 5 x (7 x) - 5 x \cdot - 1 + 1 (7 x) + 1 \cdot - 1}{42}$

Etapa 6.13.3

Multiplique $6$ por $7$ .

$y = \frac{42 x^{3} + 6 x^{2} \cdot - 1 - 5 x (7 x) - 5 x \cdot - 1 + 1 (7 x) + 1 \cdot - 1}{42}$

Etapa 6.13.4

Multiplique $- 1$ por $6$ .

$y = \frac{42 x^{3} - 6 x^{2} - 5 x (7 x) - 5 x \cdot - 1 + 1 (7 x) + 1 \cdot - 1}{42}$

Etapa 6.13.5

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$y = \frac{42 x^{3} - 6 x^{2} - 5 \cdot (7 x \cdot x) - 5 x \cdot - 1 + 1 (7 x) + 1 \cdot - 1}{42}$

Etapa 6.13.6

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 6.13.6.1

Mova $x$ .

$y = \frac{42 x^{3} - 6 x^{2} - 5 \cdot (7 (x \cdot x)) - 5 x \cdot - 1 + 1 (7 x) + 1 \cdot - 1}{42}$

Etapa 6.13.6.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$y = \frac{42 x^{3} - 6 x^{2} - 5 \cdot (7 x^{2}) - 5 x \cdot - 1 + 1 (7 x) + 1 \cdot - 1}{42}$

Etapa 6.13.7

Multiplique $- 5$ por $7$ .

$y = \frac{42 x^{3} - 6 x^{2} - 35 x^{2} - 5 x \cdot - 1 + 1 (7 x) + 1 \cdot - 1}{42}$

Etapa 6.13.8

Multiplique $- 1$ por $- 5$ .

$y = \frac{42 x^{3} - 6 x^{2} - 35 x^{2} + 5 x + 1 (7 x) + 1 \cdot - 1}{42}$

Etapa 6.13.9

Multiplique $7 x$ por $1$ .

$y = \frac{42 x^{3} - 6 x^{2} - 35 x^{2} + 5 x + 7 x + 1 \cdot - 1}{42}$

Etapa 6.13.10

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$y = \frac{42 x^{3} - 6 x^{2} - 35 x^{2} + 5 x + 7 x - 1}{42}$

Etapa 6.14

Subtraia $35 x^{2}$ de $- 6 x^{2}$ .

$y = \frac{42 x^{3} - 41 x^{2} + 5 x + 7 x - 1}{42}$

Etapa 6.15

Some $5 x$ e $7 x$ .

$y = \frac{42 x^{3} - 41 x^{2} + 12 x - 1}{42}$

Etapa 6.16

Divida a fração $\frac{42 x^{3} - 41 x^{2} + 12 x - 1}{42}$ em duas frações.

$y = \frac{42 x^{3} - 41 x^{2} + 12 x}{42} + \frac{- 1}{42}$

Etapa 6.17

Divida a fração $\frac{42 x^{3} - 41 x^{2} + 12 x}{42}$ em duas frações.

$y = \frac{42 x^{3} - 41 x^{2}}{42} + \frac{12 x}{42} + \frac{- 1}{42}$

Etapa 6.18

Divida a fração $\frac{42 x^{3} - 41 x^{2}}{42}$ em duas frações.

$y = \frac{42 x^{3}}{42} + \frac{- 41 x^{2}}{42} + \frac{12 x}{42} + \frac{- 1}{42}$

Etapa 6.19

Cancele o fator comum de $42$ .

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Etapa 6.19.1

Cancele o fator comum.

$y = \frac{42 x^{3}}{42} + \frac{- 41 x^{2}}{42} + \frac{12 x}{42} + \frac{- 1}{42}$

Etapa 6.19.2

Divida $x^{3}$ por $1$ .

$y = x^{3} + \frac{- 41 x^{2}}{42} + \frac{12 x}{42} + \frac{- 1}{42}$

Etapa 6.20

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = x^{3} - \frac{41 x^{2}}{42} + \frac{12 x}{42} + \frac{- 1}{42}$

Etapa 6.21

Cancele o fator comum de $12$ e $42$ .

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Etapa 6.21.1

Fatore $6$ de $12 x$ .

$y = x^{3} - \frac{41 x^{2}}{42} + \frac{6 (2 x)}{42} + \frac{- 1}{42}$

Etapa 6.21.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 6.21.2.1

Fatore $6$ de $42$ .

$y = x^{3} - \frac{41 x^{2}}{42} + \frac{6 (2 x)}{6 (7)} + \frac{- 1}{42}$

Etapa 6.21.2.2

Cancele o fator comum.

$y = x^{3} - \frac{41 x^{2}}{42} + \frac{6 (2 x)}{6 \cdot 7} + \frac{- 1}{42}$

Etapa 6.21.2.3

Reescreva a expressão.

$y = x^{3} - \frac{41 x^{2}}{42} + \frac{2 x}{7} + \frac{- 1}{42}$

Etapa 6.22

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = x^{3} - \frac{41 x^{2}}{42} + \frac{2 x}{7} - \frac{1}{42}$

Etapa 7